/1.4用一元二次方程解決問題（二）【推本溯源】1.解決應(yīng)用題的一般步驟：步驟內(nèi)容摘要注意事項(xiàng)1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等等量關(guān)系往往體現(xiàn)在關(guān)鍵詞句中2.設(shè)設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會用未知數(shù)表示相關(guān)的量一般要帶單位3.列根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程方程兩邊單位要統(tǒng)一4.解解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義一般兩個(gè)根中只有一個(gè)符合實(shí)際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位2.解下列應(yīng)用（1）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護(hù)局協(xié)同自來水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過a噸時(shí)，只需交納10元水費(fèi)，如果超過a噸，除按10元收費(fèi)外，超過部分，另按每噸5a元收取水費(fèi)（水費(fèi)＋污水處理費(fèi)）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應(yīng)交水費(fèi)多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費(fèi)情況；月份用水量（噸）交水費(fèi)總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．圖表信息問題①明確該題實(shí)質(zhì)是分段計(jì)費(fèi)問題；②能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)判斷出A的范圍；③能通過觀察表格中每個(gè)月交費(fèi)總額的數(shù)據(jù)，判斷出該月的計(jì)費(fèi)方法。（2）一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時(shí)間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到0.1s）？行程問題在數(shù)學(xué)中存在著一類應(yīng)用題,其研究的對象是路程、速度、時(shí)間及這三者之間的關(guān)系,這類問題統(tǒng)稱為行程問題.上述三個(gè)量就是行程問題的三個(gè)基本量,而這三個(gè)量之間的關(guān)系路程=時(shí)間x速度;時(shí)間=路程÷速度;速度=路程÷時(shí)間。在相遇問題里的關(guān)系式變?yōu)椋合嘤鰰r(shí)間=總路程÷(甲的速度+乙的速度);追及問題的類型主要有求追及時(shí)間、求速度、求路程等幾種情況,解決問題的關(guān)鍵也是根據(jù)基本的數(shù)量關(guān)系解訣,即追及時(shí)間=路程差÷速度差;速度差=路程差÷追及時(shí)間;路程差=追及時(shí)間x速度差總路程=(甲的速度+乙的速度)x相遇時(shí)間流水行船問題順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度靜水速度=順?biāo)俣?水流速度=逆水速度+水流速度=；水流速度=順?biāo)俣?靜水速度=靜水速度-逆水速度=。（3）在今年月號的學(xué)雷鋒活動中，八年級和九年級的共青團(tuán)員去參加美化校園活動，如果八年級共青團(tuán)員單獨(dú)做小時(shí)，九年級共青團(tuán)員再單獨(dú)做小時(shí)，那么恰好能完成全部任務(wù)的；如果九年級共青團(tuán)員先做小時(shí)，剩下的由八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成，那么八年級共青團(tuán)員所用時(shí)間恰好比九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間多小時(shí)，求八九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園活動分別各需多少小時(shí)．工程問題工程問題是指兩個(gè)或兩個(gè)以上對象合作完成一項(xiàng)工程或工作,有時(shí)還將內(nèi)容延伸到相遇問題或和倍問題.解答工程問題時(shí),經(jīng)常把總工作量看作"1",若這項(xiàng)工程甲單獨(dú)做需要a天,則甲的工作效率為.可見,工作效率就是工作時(shí)問的倒數(shù)。工程問題的基本關(guān)系式為：工作效率×工作時(shí)間=工作量（4）等腰中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)移動，通過點(diǎn)引平行于、的直線與、分別交于點(diǎn)、，問：等于多少厘米時(shí)，平行四邊形的面積等于．動態(tài)幾何問題以“靜”制“動”求解：①分析出動點(diǎn)的運(yùn)行軌跡，用含有未知數(shù)的代數(shù)式把相應(yīng)的線段表示出來是解決這類問題的關(guān)鍵；②結(jié)合題意，用“靜”的方法來處理“動”的問題，本題中的“靜”是指在某一時(shí)刻兩個(gè)三角形面積之間的關(guān)系。【解惑】例1：根據(jù)下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5例2：《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10例3：如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以/s的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，如果點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過___后，，兩點(diǎn)間的距離為．

例4：如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，請直接寫出的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．例5：某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，對居民用水實(shí)行階梯收費(fèi)，每戶居民用水量每月不超過a噸時(shí)，每噸按0.3a元繳納水費(fèi)；每月超過a噸時(shí)，超過部分每噸按0.4a元繳納水費(fèi)．（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費(fèi)情況：月份用水量（噸）交水費(fèi)總金額（元）4186252486根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值【摩拳擦掌】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．2．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）______________；（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：經(jīng)過____________秒后的面積等于．3．（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）一個(gè)小球以速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止?jié)L動．小球滾動約用了________秒（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）4．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過度，那么這個(gè)月這戶居民只交10元電費(fèi)；如果超過度，這個(gè)月除了交10元電費(fèi)外，超過部分按每度元交費(fèi)．(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了度的規(guī)定，試寫出超過部分應(yīng)交的電費(fèi)．（用含的代數(shù)式表示）(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據(jù)其中的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的度是多少．月份用電量/度交電費(fèi)總數(shù)/元2月80253月45105．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個(gè)方框圈出的四個(gè)數(shù)．(1)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個(gè)最小數(shù)．6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知等腰三角形，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間記為秒，請解決下列問題：(1)若點(diǎn)在邊上，當(dāng)為何值時(shí)，？(2)是否存在這樣的值，使的面積為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在矩形中，，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動（點(diǎn)P停止移動時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動）．設(shè)移動時(shí)間為t（s）．連接，．(1)用含t的式子表示線段的長：__________；__________．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請說明理由．8．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）如圖，已知A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動．問：(1)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時(shí)，四邊形的面積為？(2)幾秒時(shí)點(diǎn)P點(diǎn)Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點(diǎn)間距離何時(shí)最小？9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）疫情期間，“大白”成了身穿防護(hù)服的人員的代稱．開學(xué)以來，我校很多老師在繁重的課務(wù)之余承擔(dān)起了核酸檢測的任務(wù)，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟能生巧的現(xiàn)象，當(dāng)每位大白檢測人數(shù)是人時(shí)，每位同學(xué)人均檢測時(shí)間是秒，而檢測人數(shù)每提高人，人均就少耗時(shí)秒（若每位大白的檢測人數(shù)不超過人，設(shè)人均少耗時(shí)秒）．(1)補(bǔ)全下列表格：檢測人數(shù)（人）人均檢測時(shí)間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時(shí)完成了檢測任務(wù)，那么他今日檢測總?cè)藬?shù)為多少人？【知不足】1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進(jìn)行了證明．我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程即得方法.首先構(gòu)造了如圖1所示得圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據(jù)此易得．任務(wù)：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請?jiān)谙旅嫒齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠說明方程的正確構(gòu)圖是（從序號①②③中選擇）．（2）請你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計(jì)正確的構(gòu)圖，用幾何法求解方程（寫出必要的思考過程）．2．（2022春·八年級單元測試）如圖，正方形的邊長為，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動，若，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為．(1)連接，，，當(dāng)為何值時(shí)，面積為？(2)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，是否存在這樣的的值，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的的值；若不存在，請說明理由．3．（2023春·八年級單元測試）等邊，邊長為，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q以向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時(shí)的時(shí)間；(2)的面積能否為，若存在求時(shí)間，若不存在請說明理由．4．（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)校考期中）在中，，動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)開始移動，點(diǎn)M的速度為/秒，點(diǎn)N的速度為/秒，點(diǎn)M移動到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)N移動到點(diǎn)B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

5．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動，如果、分別是從同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時(shí)，(1)的面積等于平方厘米？(2)五邊形的面積最小？最小值是多少？6．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從相距70m的A、B兩個(gè)位置同時(shí)相向運(yùn)動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開始運(yùn)動后多少分鐘第一次同時(shí)到達(dá)同一位置？(2)如果甲、乙到達(dá)A或B后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運(yùn)動后多少分鐘第二次同時(shí)到達(dá)同一位置？7．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）勻變速直線運(yùn)動中，每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度（初始速度與末速度的算術(shù)平均數(shù)）與路程，時(shí)間的關(guān)系為．現(xiàn)有一個(gè)小球以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運(yùn)動．(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動約用了多少秒（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：）8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）全球疫情爆發(fā)時(shí)，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個(gè)/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個(gè)/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個(gè)/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個(gè)，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？9．（2023·重慶·模擬預(yù)測）某工程隊(duì)采用A、B兩種設(shè)備同時(shí)對長度為4800米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了米，而使用時(shí)間增加了小時(shí)，求的值．【一覽眾山小】1．（2023春·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在直角梯形中，，．動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線的方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（秒），當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

2．（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．3．（2023·四川成都·成都實(shí)外校考一模）為切實(shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動．學(xué)生堅(jiān)持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時(shí)從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個(gè)過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．4．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護(hù)人員到一個(gè)大型小區(qū)設(shè)置了、兩個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知點(diǎn)平均每人采樣720份，點(diǎn)平均每人采樣700份．(1)求、兩點(diǎn)各有多少名醫(yī)護(hù)人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護(hù)人員前往這個(gè)小區(qū)進(jìn)行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個(gè)商戶也納入這個(gè)小區(qū)采樣范圍，同時(shí)重新規(guī)劃，決定從點(diǎn)抽調(diào)部分醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)每減少1名醫(yī)護(hù)人員，人均采樣量增加10份，點(diǎn)人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從點(diǎn)抽調(diào)了多少名醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)？6．（2023秋·重慶合川·九年級統(tǒng)考期末）2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹，計(jì)劃購買小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經(jīng)測算，購買兩種樹共需38800元．(1)原計(jì)劃購買小葉榕、香樟各多少棵？(2)實(shí)際購買時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降元（），且兩種樹的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購買小葉榕2棵，香樟1棵．物業(yè)管理公司實(shí)際購買的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購買兩種樹共多少棵？7．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考期中）甲、乙兩工程隊(duì)合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計(jì)劃32小時(shí)完成．甲工程隊(duì)每小時(shí)修路里程比乙工程隊(duì)的2倍多30米，剛好按時(shí)完成任務(wù)．(1)求甲工程隊(duì)每小時(shí)修的路面長度；(2)通過勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實(shí)際施工中，乙工程隊(duì)修路效率保持不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了()小時(shí)；甲工程隊(duì)的修路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了米，而修路時(shí)間比原計(jì)劃增加m小時(shí)，求m的值．8．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對長度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣出多少張電影票10．（2023秋·貴州安順·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B以的速度移動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊向點(diǎn)C以的速度移動．當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動的時(shí)間為，求：(1)當(dāng)x為何值時(shí)，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，為等腰三角形．11．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動點(diǎn)P、Q分別以，的速度從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，沿規(guī)定路線移動．

(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時(shí)間P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？(2)若點(diǎn)P沿著移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時(shí)間的面積為？12．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，它通常用字母表示，我們可以用公式來計(jì)算等差數(shù)列的和．（公式中的n表示數(shù)的個(gè)數(shù)，a表示第一個(gè)數(shù)的值，）例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120．用上面的知識解決下列問題．（1）計(jì)算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某縣決定對坡荒地進(jìn)行退耕還林．從2009年起在坡荒地上植樹造林，以后每年植樹后坡荒地的實(shí)際面積按一定規(guī)律減少，下表為2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面積的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．問到哪一年，可以將全縣所有坡荒地全部種上樹木．2009年2010年2011年2012年植樹后坡荒地的實(shí)際面積（公頃）2520024000224002040013．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2019年1月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分將每個(gè)菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對的兩對數(shù)分別相乘，再相減，例如：，．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48．（1）請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）若用一個(gè)如圖所示菱形框，再框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435，求出這5個(gè)數(shù)的最大數(shù)；（3）小明說：他用一個(gè)如圖所示菱形框，框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120．直接判斷他的說法是否正確．（不必?cái)⑹隼碛桑?/p>

1.4用一元二次方程解決問題（二）【推本溯源】1.解決應(yīng)用題的一般步驟：步驟內(nèi)容摘要注意事項(xiàng)1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等等量關(guān)系往往體現(xiàn)在關(guān)鍵詞句中2.設(shè)設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會用未知數(shù)表示相關(guān)的量一般要帶單位3.列根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程方程兩邊單位要統(tǒng)一4.解解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義一般兩個(gè)根中只有一個(gè)符合實(shí)際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位2.解下列應(yīng)用（1）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護(hù)局協(xié)同自來水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過a噸時(shí)，只需交納10元水費(fèi)，如果超過a噸，除按10元收費(fèi)外，超過部分，另按每噸5a元收取水費(fèi)（水費(fèi)＋污水處理費(fèi)）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應(yīng)交水費(fèi)多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費(fèi)情況；月份用水量（噸）交水費(fèi)總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．解：（1）3月份應(yīng)交水費(fèi)10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；由題意得：5a（7﹣a）+10＝70，解得：a＝3或a＝45a（5﹣a）+10＝40解得：a＝3或a＝2，綜上，規(guī)定用水量為3噸．則規(guī)定用水量a的值為3．圖表信息問題①明確該題實(shí)質(zhì)是分段計(jì)費(fèi)問題；②能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)判斷出A的范圍；③能通過觀察表格中每個(gè)月交費(fèi)總額的數(shù)據(jù)，判斷出該月的計(jì)費(fèi)方法。（2）一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時(shí)間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到0.1s）？解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是（m/s），那么從剎車到停車所用的時(shí)間是s；（2）從剎車到停車車速的減少值是20-0＝20，從剎車到停車每秒平均車速減少值是m/s；（3）設(shè)剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了xs，這時(shí)車速為（20-8x）m/s，則這段路程內(nèi)的平均車速為，所以x（20-4x）＝15，整理得：4x2-20x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：剎車后汽車行駛到15m時(shí)約用0.9s．行程問題在數(shù)學(xué)中存在著一類應(yīng)用題,其研究的對象是路程、速度、時(shí)間及這三者之間的關(guān)系,這類問題統(tǒng)稱為行程問題.上述三個(gè)量就是行程問題的三個(gè)基本量,而這三個(gè)量之間的關(guān)系路程=時(shí)間x速度;時(shí)間=路程÷速度;速度=路程÷時(shí)間。在相遇問題里的關(guān)系式變?yōu)椋合嘤鰰r(shí)間=總路程÷(甲的速度+乙的速度);追及問題的類型主要有求追及時(shí)間、求速度、求路程等幾種情況,解決問題的關(guān)鍵也是根據(jù)基本的數(shù)量關(guān)系解訣,即追及時(shí)間=路程差÷速度差;速度差=路程差÷追及時(shí)間;路程差=追及時(shí)間x速度差總路程=(甲的速度+乙的速度)x相遇時(shí)間流水行船問題順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度靜水速度=順?biāo)俣?水流速度=逆水速度+水流速度=；水流速度=順?biāo)俣?靜水速度=靜水速度-逆水速度=。（3）在今年月號的學(xué)雷鋒活動中，八年級和九年級的共青團(tuán)員去參加美化校園活動，如果八年級共青團(tuán)員單獨(dú)做小時(shí)，九年級共青團(tuán)員再單獨(dú)做小時(shí)，那么恰好能完成全部任務(wù)的；如果九年級共青團(tuán)員先做小時(shí)，剩下的由八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成，那么八年級共青團(tuán)員所用時(shí)間恰好比九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間多小時(shí)，求八九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園活動分別各需多少小時(shí)．解：設(shè)九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，則八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，依題意得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合題意，∴，∴八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)．工程問題工程問題是指兩個(gè)或兩個(gè)以上對象合作完成一項(xiàng)工程或工作,有時(shí)還將內(nèi)容延伸到相遇問題或和倍問題.解答工程問題時(shí),經(jīng)常把總工作量看作"1",若這項(xiàng)工程甲單獨(dú)做需要a天,則甲的工作效率為.可見,工作效率就是工作時(shí)問的倒數(shù)。工程問題的基本關(guān)系式為：工作效率×工作時(shí)間=工作量（4）等腰中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)移動，通過點(diǎn)引平行于、的直線與、分別交于點(diǎn)、，問：等于多少厘米時(shí)，平行四邊形的面積等于．解：設(shè)，則，由題意可知和均為等腰直角三角形，的面積等于，依題意可得，解得：，即長為．故長為時(shí)，平行四邊形的面積等于．動態(tài)幾何問題以“靜”制“動”求解：①分析出動點(diǎn)的運(yùn)行軌跡，用含有未知數(shù)的代數(shù)式把相應(yīng)的線段表示出來是解決這類問題的關(guān)鍵；②結(jié)合題意，用“靜”的方法來處理“動”的問題，本題中的“靜”是指在某一時(shí)刻兩個(gè)三角形面積之間的關(guān)系。【解惑】例1：根據(jù)下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【答案】D【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，找出代數(shù)式從變?yōu)闀r(shí)的取值范圍即可判斷【詳解】時(shí)，，時(shí)，，則的解的范圍為，即一元二次方程的解大概是4.5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的解的近似值，根據(jù)表格獲得信息是解題的關(guān)鍵．例2：《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），∴．故乙走的步數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．例3：如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以/s的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，如果點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過___后，，兩點(diǎn)間的距離為．

【答案】/0.4【分析】如圖，設(shè)t秒后，，則，，在中，運(yùn)用勾股定理構(gòu)建方程求解．【詳解】如圖，設(shè)t秒后，，則，中，∴，解得或，∵點(diǎn)Q在上運(yùn)動，∴舍去故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用；用代數(shù)式表示線段長，利用勾股定理構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．例4：如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，請直接寫出的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）根據(jù)題意可得：，然后求解一元二次方程即可；（2）根據(jù)題中計(jì)算圖可得：，由，代入化簡可得：，求解方程，然后代入即可得．【詳解】解：（1）由題意可得：，，則或，解得或；（2）由題意得：，，，整理得：，∴，則或，解得或，或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正確理解題意得出與之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．例5：某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，對居民用水實(shí)行階梯收費(fèi)，每戶居民用水量每月不超過a噸時(shí)，每噸按0.3a元繳納水費(fèi)；每月超過a噸時(shí)，超過部分每噸按0.4a元繳納水費(fèi)．（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費(fèi)情況：月份用水量（噸）交水費(fèi)總金額（元）4186252486根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值【答案】（1）；（2）10【分析】（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，然后根據(jù)“用水量每月不超過a噸時(shí)，每噸按0.3a元繳納水費(fèi)；每月超過a噸時(shí)，超過部分每噸按0.4a元繳納水費(fèi)”，即可求解；（2）若，可得，從而得到，再由“用水量每月不超過a噸時(shí)，每噸按0.3a元繳納水費(fèi)；每月超過a噸時(shí)，超過部分每噸按0.4a元繳納水費(fèi)”，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，元；（2）若，有，解得：，即，不合題意，舍去，∴，根據(jù)題意得：，解得：（舍去），答：規(guī)定用水量a的值為10噸．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．【答案】【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出值，將其正值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，則依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），，即甲走的步數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）______________；（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：經(jīng)過____________秒后的面積等于．【答案】；1或7或．【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（2）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，，，，，根據(jù)的面積等于，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，如圖所示，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，，，，，依題意得：．當(dāng)時(shí)，，解得：，；當(dāng)時(shí)，，解得：（不符合題意，舍去），．∴經(jīng)過1或7或秒后，的面積等于．故答案為：1或7或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）一個(gè)小球以速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止?jié)L動．小球滾動約用了________秒（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】1.2．【分析】利用等量關(guān)系：速度時(shí)間=路程，時(shí)間為，根據(jù)題意列出方程：求解即可．【詳解】由題意得：小球的平均滾動速度是，設(shè)小球滾動5時(shí)約用了，由題意得：，整理得：，解得：，∵，∴，故小球滾動用了1.2秒．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，重點(diǎn)在于求出平均每秒小球的運(yùn)動減少的速度，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過度，那么這個(gè)月這戶居民只交10元電費(fèi)；如果超過度，這個(gè)月除了交10元電費(fèi)外，超過部分按每度元交費(fèi)．(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了度的規(guī)定，試寫出超過部分應(yīng)交的電費(fèi)．（用含的代數(shù)式表示）(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據(jù)其中的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的度是多少．月份用電量/度交電費(fèi)總數(shù)/元2月80253月4510【答案】(1)x（90－x）元(2)50度【分析】（1）根據(jù)題意可得用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，再由超過部分按每度元交電費(fèi)，即可求解；（2）根據(jù)題意可得2月份用電量超過x度，列出方程，再由3月份用電45度只交電費(fèi)10元，可得x≥45，即可求解．【詳解】（1）解：∵規(guī)定用電x度，∴用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，∵超過部分按每度元交電費(fèi)，∴超過部分應(yīng)交的電費(fèi)為x（90－x）元．（2）解∶2月份用電量超過x度，依題意得x（80－x）＝25－10．整理得x2－80x＋1500＝0．解這個(gè)方程得x1＝30，x2＝50．根據(jù)題意得：3月份用電45度只交電費(fèi)10元，∴電廠規(guī)定的x≥45，∴x1＝30不合題意，舍去．∴x＝50．答：電廠規(guī)定的x度為50度．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個(gè)方框圈出的四個(gè)數(shù)．(1)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個(gè)最小數(shù)．【答案】(1)；(2)9．【分析】（1）設(shè)圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，根據(jù)日歷上兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可得答案；（2）根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為105，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為故答案為：（2）設(shè)四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)為，根據(jù)題意，得.解得（不符合題意負(fù)值舍去）答：這個(gè)最小值為9.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知等腰三角形，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間記為秒，請解決下列問題：(1)若點(diǎn)在邊上，當(dāng)為何值時(shí)，？(2)是否存在這樣的值，使的面積為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，當(dāng)時(shí)(2)存在；當(dāng)或時(shí)，的面積為【分析】（1）先根據(jù)已知條件求出的長度，再設(shè)經(jīng)過秒，是直角三角形，此時(shí)，，當(dāng)，，解方程即可；（2）設(shè)經(jīng)過秒，的面積為，連接，作于，分類討論點(diǎn)在邊上和點(diǎn)在邊上，，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，如圖所示：∵等腰三角形，，，∴，∴，∴，設(shè)經(jīng)過秒，是直角三角形，則，，當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴，∴，解得：，若點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)（2）存在，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作于，如圖所示：設(shè)經(jīng)過秒，的面積為，則，，∴，∴，∴，解得：，（舍），當(dāng)點(diǎn)在邊上，連接，，作于，如圖所示：設(shè)經(jīng)過秒，的面積為，則，，∴，∴，∴，解得：，（舍去），∴當(dāng)或時(shí)，的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、一元一次方程的應(yīng)用和三角形與動點(diǎn)問題的綜合，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在矩形中，，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動（點(diǎn)P停止移動時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動）．設(shè)移動時(shí)間為t（s）．連接，．(1)用含t的式子表示線段的長：__________；__________．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請說明理由．【答案】(1)，(2)、出發(fā)0.6和5.4秒時(shí)，，間的距離是(3)、出發(fā)3秒時(shí)四邊形為矩形【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過作于，如果設(shè)出發(fā)秒后，．那么可根據(jù)路程速度時(shí)間，用未知數(shù)表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知數(shù)的值．（3）利用矩形的性質(zhì)得出當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形求出即可【詳解】（1）解：由題意得：，∵，∴；故答案為，；（2）解：設(shè)出發(fā)秒后、兩點(diǎn)間的距離是．則，，作于，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，由勾股定理得：，解得：或，答：、出發(fā)0.6和5.4秒時(shí)，，間的距離是；（3）解：四邊形的形狀有可能為矩形；理由如下：當(dāng)四邊形為矩形，則，即，解得：．答：當(dāng)、出發(fā)3秒時(shí)四邊形為矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理及矩形的性質(zhì)，本題結(jié)合幾何知識并根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）如圖，已知A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動．問：(1)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時(shí)，四邊形的面積為？(2)幾秒時(shí)點(diǎn)P點(diǎn)Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點(diǎn)間距離何時(shí)最小？【答案】(1)5秒(2)秒或秒(3)秒【分析】（1）表示出和，利用梯形的面積公式結(jié)合四邊形的面積為，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）過作于，如果設(shè)出發(fā)秒后，厘米．那么可根據(jù)路程速度時(shí)間，用未知數(shù)表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知數(shù)的值．（3）在直角三角形中，為0時(shí)，就最小，那么可根據(jù)這個(gè)條件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此時(shí)時(shí)間的值．【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，，，依題意，得：，解得：．答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時(shí)，四邊形的面積為．（2）設(shè)出發(fā)秒后、兩點(diǎn)間的距離是10厘米．則，．作于，則，，解得：或，∴、出發(fā)或秒時(shí)，，間的距離是10厘米；（3），當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題結(jié)合幾何知識并根據(jù)題意列出方程，然后求解．9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）疫情期間，“大白”成了身穿防護(hù)服的人員的代稱．開學(xué)以來，我校很多老師在繁重的課務(wù)之余承擔(dān)起了核酸檢測的任務(wù)，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟能生巧的現(xiàn)象，當(dāng)每位大白檢測人數(shù)是人時(shí)，每位同學(xué)人均檢測時(shí)間是秒，而檢測人數(shù)每提高人，人均就少耗時(shí)秒（若每位大白的檢測人數(shù)不超過人，設(shè)人均少耗時(shí)秒）．(1)補(bǔ)全下列表格：檢測人數(shù)（人）人均檢測時(shí)間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時(shí)完成了檢測任務(wù)，那么他今日檢測總?cè)藬?shù)為多少人？【答案】(1)40，，29，26(2)他今日檢測總?cè)藬?shù)為人【分析】（1）設(shè)檢測人數(shù)為y，人均檢測時(shí)間為t（秒），由題意可得出y、t與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可補(bǔ)全表格；（2）根據(jù)人均檢測時(shí)間×檢測人數(shù)＝總檢測時(shí)間，可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)檢測人數(shù)為，人均檢測時(shí)間為秒，由題意得：、，補(bǔ)全表格如下：檢測人數(shù)人人均檢測時(shí)間秒（2）解：由題意得，，解得，，當(dāng)時(shí)，檢測總?cè)藬?shù)為人，每位大白的檢測人數(shù)不超過人，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，檢測總?cè)藬?shù)為人，答：他今日檢測總?cè)藬?shù)為人．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【知不足】1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進(jìn)行了證明．我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程即得方法.首先構(gòu)造了如圖1所示得圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據(jù)此易得．任務(wù)：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請?jiān)谙旅嫒齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠說明方程的正確構(gòu)圖是（從序號①②③中選擇）．（2）請你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計(jì)正確的構(gòu)圖，用幾何法求解方程（寫出必要的思考過程）．【答案】（1）②；（2）．【分析】（1）仿照案例構(gòu)造圖形，即可判斷正確構(gòu)圖；（2）仿照案例構(gòu)造圖形即可求得x的值．【詳解】解：（1）應(yīng)構(gòu)造面積是的大正方形，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形的面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進(jìn)一步可知大正方形的邊長為8，所以，得．故正確構(gòu)圖的是②．故答案為：②；（2）首先構(gòu)造了如圖2所示的圖形．圖中的大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進(jìn)一步可知大正方形的邊長為8，所以，得．【點(diǎn)睛】本題是材料閱讀題，考查了構(gòu)造圖形解一元二次方程，關(guān)鍵是讀懂材料中提供的構(gòu)圖方法，并能正確構(gòu)圖解一元二次方程．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．2．（2022春·八年級單元測試）如圖，正方形的邊長為，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動，若，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為．(1)連接，，，當(dāng)為何值時(shí)，面積為？(2)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，是否存在這樣的的值，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)秒或秒(2)存在，秒或秒【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和面積公式，利用割補(bǔ)法即可求解；（2）根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)得出一元二次方程，分情況討論以為腰的等腰三角形即可說明．【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，根據(jù)題意，得：，，，，，∵面積為，∴，∴，整理，得：，解得：．如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，∴，∴，解得：，∴當(dāng)為秒或秒時(shí)，面積為．（2）存在．如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，①當(dāng)時(shí)，可得：，解得：，（不合題意，舍去），②當(dāng)時(shí)，可得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去），如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，可知：，，，∴不存在以為腰的等腰．∴當(dāng)為秒或秒時(shí)，是以為腰的等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，割補(bǔ)法求面積．解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用．3．（2023春·八年級單元測試）等邊，邊長為，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q以向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時(shí)的時(shí)間；(2)的面積能否為，若存在求時(shí)間，若不存在請說明理由．【答案】(1)或者(2)存在，2【分析】（1）根據(jù)題意有，，即，即可得，分當(dāng)為直角三角形,且時(shí)和當(dāng)為直角三角形,且時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）過Q點(diǎn)作于點(diǎn)M，先求出，即有，進(jìn)而有，即，令，可得，解方程即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意有，，即，∵，∴，當(dāng)為直角三角形,且時(shí)，如圖，

∵等邊中，，∴，∴，∴，解得：；當(dāng)為直角三角形,且時(shí)，如圖，

∵等邊中，，∴，∴，∴，解得：；即t的值為或者；（2）存在，理由如下：過Q點(diǎn)作于點(diǎn)M，如圖，

∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，令，∴，整理得：，解得：，或者，∵，∴，即t的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用等知識，明確題意，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)正確列式，是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)校考期中）在中，，動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)開始移動，點(diǎn)M的速度為/秒，點(diǎn)N的速度為/秒，點(diǎn)M移動到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)N移動到點(diǎn)B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

【答案】2秒【分析】設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，則，據(jù)此利用三角形面積公式建立方程求解即可.【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，由題意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：經(jīng)過2秒，的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動，如果、分別是從同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時(shí)，(1)的面積等于平方厘米？(2)五邊形的面積最小？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)3秒時(shí)，五邊形的面積最小，最小值是63平方厘米【分析】（1）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，則，，再由面積公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9，則此時(shí)五邊形的面積最小，從而可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，則，，則，解得：或．∴經(jīng)過2秒或4秒時(shí)，的面積等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9，則此時(shí)五邊形的面積最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)問題，一元二次方程的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，熟練的解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從相距70m的A、B兩個(gè)位置同時(shí)相向運(yùn)動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開始運(yùn)動后多少分鐘第一次同時(shí)到達(dá)同一位置？(2)如果甲、乙到達(dá)A或B后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運(yùn)動后多少分鐘第二次同時(shí)到達(dá)同一位置？【答案】(1)7分鐘(2)15分鐘【分析】（1）根據(jù)題意先設(shè)n分鐘后第1次相遇，利用數(shù)列求和知識得到關(guān)于n的方程，解此方程即可得甲、乙開始運(yùn)動后幾分鐘相遇；（2）先設(shè)n分鐘后第2次相遇，依路程關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于n的方程，解方程即得第2次相遇是在開始后多少分鐘．【詳解】（1）解：設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意，有+5n＝70，整理得n2+13n﹣140＝0，解得n＝7，n＝﹣20（不符合題意，舍去）第1次相遇是在開始后7分鐘．答：甲、乙開始運(yùn)動后7分鐘第一次同時(shí)到達(dá)同一位置；（2）解：設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意，有5n＝3×70，整理得n2+13n﹣420＝0，解得n＝15，n＝﹣28（不符合題意，舍去）故第2次相遇是在開始后15分鐘．答：開始運(yùn)動后15分鐘第二次同時(shí)到達(dá)同一位置．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，列出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）勻變速直線運(yùn)動中，每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度（初始速度與末速度的算術(shù)平均數(shù)）與路程，時(shí)間的關(guān)系為．現(xiàn)有一個(gè)小球以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運(yùn)動．(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動約用了多少秒（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)小球的滾動速度平均每秒減少(2)小球滾動約用了秒【分析】（1）根據(jù)以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運(yùn)動列式計(jì)算即可；（2）設(shè)小球滾動約用了秒，由時(shí)間速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：小球的滾動速度平均每秒減少，答：小球的滾動速度平均每秒減少．（2）解：設(shè)小球滾動約用了秒，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不符題意，舍去，，答：小球滾動約用了秒．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）全球疫情爆發(fā)時(shí)，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個(gè)/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個(gè)/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個(gè)/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個(gè)，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根據(jù)題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，得該工廠最大產(chǎn)能是：個(gè)/天故答案為：；（2）根據(jù)題意，得：或∴即該工廠引進(jìn)了12或36條生產(chǎn)線．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．9．（2023·重慶·模擬預(yù)測）某工程隊(duì)采用A、B兩種設(shè)備同時(shí)對長度為4800米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了米，而使用時(shí)間增加了小時(shí)，求的值．【答案】(1)A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面110米(2)18【分析】（1）設(shè)B型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根據(jù)A型設(shè)備鋪的路+B型設(shè)備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．【詳解】（1）設(shè)B型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面x米，則A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，由題意得，解得，米，所以A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面110米；（2）根據(jù)題意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程．【一覽眾山小】1．（2023春·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在直角梯形中，，．動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線的方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（秒），當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

【答案】或【詳解】以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形有三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．【分析】解：如圖1，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于E，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴．解得：；

如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)Q作于E，同理可證四邊形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理，得，∴，解得：；

如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于E，同理可證明四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故方程無解．綜上所述，或時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是關(guān)鍵．2．（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地）列出等量關(guān)系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗(yàn)所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為，則小明的速度為，依據(jù)題意列方程得，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原式方程的解．．小紅的速度為，小明的速度為．故答案為：；．（2）解：小明的速度為，小明從A地道B地需要的時(shí)間為：．小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，．設(shè)B地到C地的距離為，依據(jù)題意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要時(shí)間為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，解題的重點(diǎn)在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時(shí)間．3．（2023·四川成都·成都實(shí)外校考一模）為切實(shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動．學(xué)生堅(jiān)持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時(shí)從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個(gè)過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480米(2)70分鐘【分析】（1）設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，既是所列分式方程的解也符合題意，則，答：小明每分鐘跑480米．（2）解：設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：小明從地到地鍛煉共用70分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．4．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見解析【分析】（1）設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時(shí)第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時(shí)間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入得，，解得，∴關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：對于球來說，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時(shí)第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設(shè)每次踢球t從0開始計(jì)算，因?yàn)榍蛟诓莸厣蠞L動時(shí)，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過了米，，又開始下一個(gè)循環(huán)，故第四次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過24米，故第五次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過48米，故第六次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過24米，故第七次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過48米，∵，，∴帶球走過200米，在第七次踢球時(shí)實(shí)現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護(hù)人員到一個(gè)大型小區(qū)設(shè)置了、兩個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知點(diǎn)平均每人采樣720份，點(diǎn)平均每人采樣700份．(1)求、兩點(diǎn)各有多少名醫(yī)護(hù)人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護(hù)人員前往這個(gè)小區(qū)進(jìn)行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個(gè)商戶也納入這個(gè)小區(qū)采樣范圍，同時(shí)重新規(guī)劃，決定從點(diǎn)抽調(diào)部分醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)每減少1名醫(yī)護(hù)人員，人均采樣量增加10份，點(diǎn)人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從點(diǎn)抽調(diào)了多少名醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)？【答案】(1)A檢測隊(duì)有6人，B檢測隊(duì)有7人(2)從B檢測隊(duì)中抽調(diào)了2人到A檢測隊(duì)【分析】（1）設(shè)A點(diǎn)有x名醫(yī)護(hù)人員，B點(diǎn)有y名醫(yī)護(hù)人員，根據(jù)“A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)共13名醫(yī)護(hù)人員，且當(dāng)天共采樣9220份”，即可得出關(guān)于x，y的且當(dāng)天共采樣9220份，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)從B點(diǎn)抽調(diào)了m名醫(yī)護(hù)人員到A點(diǎn)，則B點(diǎn)平均每人采樣份,根據(jù)重新規(guī)劃后當(dāng)天共采樣9360份，即可得出關(guān)于m的一元_二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)A檢測隊(duì)有人，B檢測隊(duì)有人，依題意得：，分解得：答：A檢測隊(duì)有6人，B檢測隊(duì)有7人；（2）解：設(shè)從B檢測隊(duì)中抽調(diào)了人到A檢測隊(duì)，則B檢測隊(duì)人均采樣人，依題意得：，解得：，解得：，，由于從B對抽調(diào)部分人到A檢測隊(duì)，則故，答：從B檢測隊(duì)中抽調(diào)了2人到A檢測隊(duì)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．6．（2023秋·重慶合川·九年級統(tǒng)考期末）2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹，計(jì)劃購買小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經(jīng)測算，購買兩種樹共需38800元．(1)原計(jì)劃購買小葉榕、香樟各多少棵？(2)實(shí)際購買時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降元（），且兩種樹的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購買小葉榕2棵，香樟1棵．物業(yè)管理公司實(shí)際購買的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購買兩種樹共多少棵？【答案】(1)原計(jì)劃購買小葉榕35棵、香樟15棵(2)物業(yè)管理公司實(shí)際購買兩種樹共56棵【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃購買小葉榕棵，則購買香樟棵，根據(jù)題意列出方程即可得出答案．（2）根據(jù)給出的條件先列出小葉榕與香樟的單價(jià)表達(dá)式分別為元每棵，元每棵，再列出實(shí)際購買棵樹的表達(dá)式，得到方程式求出滿足條件的值，即可得出答案．【詳解】（1）設(shè)原計(jì)劃購買小葉榕棵，則購買香樟棵，根據(jù)題意，可得，解得，．答：原計(jì)劃購買小葉榕35棵、香樟15棵．（2）根據(jù)題意，可得，整理得，，解得：，，∵，∴，∴購買了39棵小葉榕，17棵香樟，答：物業(yè)管理公司實(shí)際購買兩種樹共56棵．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用和一元二次方程應(yīng)用的問題，熟練掌握題中的等量關(guān)系列出正確的方程解決本題的關(guān)鍵．7．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考期中）甲、乙兩工程隊(duì)合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計(jì)劃32小時(shí)完成．甲工程隊(duì)每小時(shí)修路里程比乙工程隊(duì)的2倍多30米，剛好按時(shí)完成任務(wù)．(1)求甲工程隊(duì)每小時(shí)修的路面長度；(2)通過勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實(shí)際施工中，乙工程隊(duì)修路效率保持不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了()小時(shí)；甲工程隊(duì)的修路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了米，而修路時(shí)間比原計(jì)劃增加m小時(shí)，求m的值．【答案】(1)甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度為110米(2)m的值為18【分析】（1）設(shè)乙兩工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“甲工程隊(duì)鋪設(shè)的路面長度+乙兩工程隊(duì)鋪設(shè)的路面長度=5800”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)乙兩工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意得，，解得：，則，∴甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度為110米；（2）解：根據(jù)題意得，，整理得，，解得：（舍去），∴m的值為18．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．8．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對長度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．【答案】(1)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度為90米(2)的值為10【分析】（1）設(shè)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意得，，解得：，則，答：型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度為90米；（2）根據(jù)題意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月