/第02講一元二次方程的解法（配方法和公式法）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解配方法，會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2．會(huì)用公式法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，并通過公式的推導(dǎo)，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想。1.解下列方程（x+1）2=162.再嘗試一下下列方程x2+2x=15思路：去湊完全平方的形式解：（兩邊同時(shí)架上1）（寫成完全平方公式）3.配方法：把一個(gè)一元二次方程變形為（x+h）2=k（h，k為常數(shù)）的形式，當(dāng)k≥0時(shí)，就可以用直接開平放法求出方程的解，這種一元二次方程的解法叫做配方法。配方法的解題步驟：步驟方法舉例（2x2-7x+3=0）一化二次項(xiàng)系數(shù)化1左、右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)二移移項(xiàng)將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊三配配方左、右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方四開開平方求根直接開平方法4.用配方法求解：我們把（b2-4ac≥0）稱為一元二次方程的求根公式。，把一元二次方程中各項(xiàng)系數(shù)a、b、c的值直接代入這個(gè)公式，就可以求得方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。5.公式法的步驟步驟方法舉例（2x2-7x=-3）第一步把方程化為一般形式確定a、b、c的值；先變成2x2-7x+3=0∵a=2b=-7c=3第二步求出b2-4ac的值b2-4ac=49-24=25＞0第三步當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把a(bǔ)、b及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；當(dāng)b2-4ac＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根。6.根的判別式式子b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，用它可以直接判斷一元二次方程的根的情況。的根的情況回答方式b2-4ac＞0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X1=，X2=b2-4ac=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根X1=X2=b2-4ac＜0沒有實(shí)數(shù)根原方程無解考點(diǎn)一：配方法例1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．【變式1-1】用配方法解方程時(shí)，將方程化為的形式，則a的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．12【變式1-2】把關(guān)于的一元二次方程配方，得，則．【變式1-3】（1）解方程：；（2）用配方法解方程：．考點(diǎn)二：根的判別式例2．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【變式2-1】一元二次方程解的情況，下列說法正確的是（

）A．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．方程無實(shí)數(shù)根 D．方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根【變式2-2】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【變式2-3】已知關(guān)于的方程．(1)若方程的一個(gè)實(shí)根是3，求實(shí)數(shù)的值．(2)求證：無論取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．考點(diǎn)三：根據(jù)根的情況求解例3.已知關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式3-1】關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【變式3-2】若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．【變式3-3】已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．考點(diǎn)四：公式法例4．若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個(gè)方程是（

）A． B． C． D．【變式4-1】對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“※”：※，如※．若※，則的值為（

）A． B．C．或 D．【變式4-2】歐幾里得的《原本》記載，形如的方程的圖解法是：畫，使，，，再在斜邊上截取，則的長是該方程的一個(gè)正根．當(dāng)，時(shí)，的長為．【變式4-3】解方程(1)；(2)考點(diǎn)五：配方法的應(yīng)用例5．已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，則的最小值為(

)A． B． C． D．【變式5-1】問題：聰明的你知道代數(shù)式的最小值為多少嗎？解：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以的最小值?．請用上述方法，解決代數(shù)式的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．【變式5-2】若，則M的最小值為．【變式5-3】閱讀以下材料：配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如：求代數(shù)式的最小值，．可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)代數(shù)式的最大值為________；(2)已知：，，求代數(shù)式的值．1．若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的值不可能是（

）A． B． C． D．2．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由m的值確定3．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．且4．用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A．3 B．0 C． D．5．三角形兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程的解，則這個(gè)三角形的周長是（

）A．1 B．11和13 C．11或8 D．136．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、y軸，點(diǎn)D在位于右側(cè)的反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若四邊形為正方形，則這個(gè)正方形的面積等于（

）A．24 B．18 C．16 D．127．對(duì)于代數(shù)式（，a，b，c為常數(shù)），下列說法正確的是（

）①若，則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；②存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使得；③若與方程的解相同，則．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．方程不相等的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．49．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根為．10．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍為．11．用配方法解一元二次方程時(shí)，可將原方程配方成，則的值是．12．已知實(shí)數(shù)、滿足等式，則．13．對(duì)于實(shí)數(shù)，，先定義一種新運(yùn)算“”如下：，若，則實(shí)數(shù)的值為．14．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，在反比例函數(shù)第三象限的圖象上存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線的距離最短，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．15．解方程：(1)；(2)．16．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若為滿足條件的最大整數(shù)，求此時(shí)方程的根．17．附加題(1)試用一元二次方程的求根公式，探索方程的兩根互為相反數(shù)的條件是．(2)已知、為實(shí)數(shù)，，則．(3)在直角梯形中，，度，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①設(shè)的面積為，求和之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)為何值時(shí)，以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？（分類討論）18．教科書中這樣寫道：“形如的式子稱為完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等問題．例如：分解因式：．解：原式再如：求代數(shù)式的最小值．解：，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：(1)分解因式：（應(yīng)用配方法）(2)當(dāng)為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值？并求出這個(gè)最大值．(3)利用配方法，嘗試求出等式中，的值．

第02講一元二次方程的解法（配方法和公式法）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解配方法，會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2．會(huì)用公式法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，并通過公式的推導(dǎo)，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想。1.解下列方程（x+1）2=16解：x+1=4或x+1=-4∴x1=3x2=-52.再嘗試一下下列方程x2+2x=15思路：去湊完全平方的形式解：x2+2x=1=15+1（兩邊同時(shí)架上1）（x+1）2=16（寫成完全平方公式）x+1=4或x+1=-4∴x1=3x2=-53.配方法：把一個(gè)一元二次方程變形為（x+h）2=k（h，k為常數(shù)）的形式，當(dāng)k≥0時(shí)，就可以用直接開平放法求出方程的解，這種一元二次方程的解法叫做配方法。配方法的解題步驟：步驟方法舉例（2x2-7x+3=0）一化二次項(xiàng)系數(shù)化1左、右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)二移移項(xiàng)將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊三配配方左、右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方四開開平方求根直接開平方法4.用配方法求解：我們把（b2-4ac≥0）稱為一元二次方程的求根公式。，把一元二次方程中各項(xiàng)系數(shù)a、b、c的值直接代入這個(gè)公式，就可以求得方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。5.公式法的步驟步驟方法舉例（2x2-7x=-3）第一步把方程化為一般形式確定a、b、c的值；先變成2x2-7x+3=0∵a=2b=-7c=3第二步求出b2-4ac的值b2-4ac=49-24=25＞0第三步當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把a(bǔ)、b及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；當(dāng)b2-4ac＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根。6.根的判別式式子b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，用它可以直接判斷一元二次方程的根的情況。的根的情況回答方式b2-4ac＞0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X1=，X2=b2-4ac=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根X1=X2=b2-4ac＜0沒有實(shí)數(shù)根原方程無解考點(diǎn)一：配方法例1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，將方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再寫成完全平方式即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，即，故選：A．【變式1-1】用配方法解方程時(shí)，將方程化為的形式，則a的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】A【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，根據(jù)配方法進(jìn)行計(jì)算即可求解，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∴，∴，∴，∴，故選：A．【變式1-2】把關(guān)于的一元二次方程配方，得，則．【答案】【分析】本題考查了配方法解一元二次方程；把常數(shù)項(xiàng)c移項(xiàng)后，在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)8的一半的平方得，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：配方，得∴，∴∴，故答案為：．【變式1-3】（1）解方程：；（2）用配方法解方程：．【答案】（1），；（2），【分析】本題考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟練其解法是解題的關(guān)鍵．（1）由得，或，即可求解；（2）將，配方得，即，開方后即可求解；【詳解】解：（1），或，解得：，；（2），配方得：，即，開方得：，解得：，．考點(diǎn)二：根的判別式例2．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．先計(jì)算根的判別式的值得到，再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷，然后根據(jù)根的判別式的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．【變式2-1】一元二次方程解的情況，下列說法正確的是（

）A．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．方程無實(shí)數(shù)根 D．方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的根與的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．先計(jì)算根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的值判斷根的情況．【詳解】解：由得：，，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：B．【變式2-2】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，掌握一元二次方程根的判別式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，∴解得，，故答案為：．【變式2-3】已知關(guān)于的方程．(1)若方程的一個(gè)實(shí)根是3，求實(shí)數(shù)的值．(2)求證：無論取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查一元二次方程的根，根的判別式：（1）將代入方程，進(jìn)行求解即可；（2）求出判別式的符號(hào)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：；（2）∵，∴；∴無論取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．考點(diǎn)三：根據(jù)根的情況求解例3.已知關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】本題考查了根的判別式及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象．首先根據(jù)一元二次方程無實(shí)數(shù)根確定k的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定其圖象的位置．【詳解】解：∵方程無實(shí)數(shù)根，∴，解得：，則函數(shù)的圖象過二，四象限，而函數(shù)的圖象過一，三象限，∴函數(shù)與函數(shù)的圖象不會(huì)相交，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，故選：A．【變式3-1】關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式與方程解的情況的關(guān)系，熟練掌握根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，即，得出關(guān)于m的一元一次不等式，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴解得．故選：B．【變式3-2】若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．【答案】且【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式．熟練掌握一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根的判別式大于0，“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”，是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到且，解不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：且，解得：且，故答案為：且．【變式3-3】已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判別式．（1）利用配方法解方程即可；（2）根據(jù)一元二次方程跟的判別式，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，配方，得，解得；（2）解：∵該方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得，即若該方程有實(shí)數(shù)根，的取值范圍是．考點(diǎn)四：公式法例4．若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個(gè)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了解一元二次方程．根據(jù)公式法解答，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的根為，∴二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，∴這個(gè)方程為．故選：D【變式4-1】對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“※”：※，如※．若※，則的值為（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義算法，得到，即可求解，本題考查了，新定義運(yùn)算，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：理解新定義運(yùn)算法則．【詳解】解：※，即：，解得：或，故選：．【變式4-2】歐幾里得的《原本》記載，形如的方程的圖解法是：畫，使，，，再在斜邊上截取，則的長是該方程的一個(gè)正根．當(dāng)，時(shí)，的長為．【答案】/【分析】本題主要考查了解一元二次方程的應(yīng)用，將，代入中，解方程即可得解，熟練掌握求根公式法解方程是解本題的關(guān)鍵．【詳解】將，代入中得，解方程得，，∵的長是方程的一個(gè)正根，∴的長為：，故答案為：．【變式4-3】解方程(1)；(2)【答案】（1）

（2），【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可；解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法．【詳解】解：（1）解得：；（2），，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，，．考點(diǎn)五：配方法的應(yīng)用例5．已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知，把變形為，即可求解．【詳解】解：點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，，，，，當(dāng)，時(shí)，有最小值為，故選：A．【變式5-1】問題：聰明的你知道代數(shù)式的最小值為多少嗎？解：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以的最小值?．請用上述方法，解決代數(shù)式的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，模仿題意的解題過程，進(jìn)行變形作答即可．【詳解】解：依題意，，∵，∴，∴所以的最小值為，故選：B．【變式5-2】若，則M的最小值為．【答案】2【分析】本題考查了因式分解和配方法，將原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式進(jìn)行進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，當(dāng)時(shí)，原式取最小值2，故答案為：2．【變式5-3】閱讀以下材料：配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如：求代數(shù)式的最小值，．可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)代數(shù)式的最大值為________；(2)已知：，，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、完全平方公式的應(yīng)用，（1）先配方，然后根據(jù)完全平方式的非負(fù)性求最大值即可；（2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非負(fù)性可得，，即可得解．掌握非負(fù)數(shù)性質(zhì)及完全平方公式是解題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意配方法的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，∴代數(shù)式的最大值為，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴代數(shù)式的值為．1．若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與的關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式的值與方程的解的個(gè)數(shù)間的關(guān)系即可得出答案．【詳解】原方程可變形為，方程有實(shí)數(shù)根，，故選：B2．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由m的值確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的判別式，根據(jù)分別對(duì)應(yīng)的是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵∴，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A3．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】B【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到，然后求出不等式的解集即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：．故選：B．4．用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A．3 B．0 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方，據(jù)此求出m、n的值即可得到答案．【詳解】解：，∴，∴，故選：D．5．三角形兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程的解，則這個(gè)三角形的周長是（

）A．1 B．11和13 C．11或8 D．13【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的解法，三角形三邊的關(guān)系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三邊關(guān)系判斷解得情況，并計(jì)算三角形的周長即可．【詳解】解方程得或，當(dāng)時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)時(shí)，這個(gè)三角形的周長是，故選D．6．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、y軸，點(diǎn)D在位于右側(cè)的反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若四邊形為正方形，則這個(gè)正方形的面積等于（

）A．24 B．18 C．16 D．12【答案】C【分析】本題考查的是求解反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，如圖，延長交軸于，求解反比例函數(shù)為：，證明，設(shè)正方形的邊長為，可得，再解方程可得答案．熟練的利用圖形面積建立方程是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長交軸于，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)為：，∴，∴，設(shè)正方形的邊長為，，∴，，∴，整理得，解得：，（不符合題意，舍去），∴正方形的面積為．故選：C．7．對(duì)于代數(shù)式（，a，b，c為常數(shù)），下列說法正確的是（

）①若，則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；②存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使得；③若與方程的解相同，則．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷①；根據(jù)一元二次方程(為常數(shù))最多有兩個(gè)解判斷②；將方程的解代入即可判斷③．【詳解】解：①，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．①正確；②一元二次方程（為常數(shù)）最多有兩個(gè)解，②錯(cuò)誤；③方程的解為，將代入得，即：，將代入得，即：，∴，則，即：③正確．故選：B．8．方程不相等的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查解一元二次方程，將作為一個(gè)整體，解方程，再根據(jù)根的判別式，進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，方程由兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，方程沒有實(shí)數(shù)根；故選A．9．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根為．【答案】【分析】根據(jù)是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根得到的值，進(jìn)而解答即可．本題考查了一元二次方程的根，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程的根的概念是解題的關(guān)鍵【詳解】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴解得：，∴一元二次方程的一般式為，∴解得，，∴這個(gè)方程的另一個(gè)根為，故答案為．10．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．根據(jù)根的判別式的意義得到，然后解不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得，即的取值范圍為．故答案為：11．用配方法解一元二次方程時(shí)，可將原方程配方成，則的值是．【答案】20【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)配方法的一般步驟，將配方為，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，即∴．故答案為：20．12．已知實(shí)數(shù)、滿足等式，則．【答案】【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，關(guān)鍵是把看成一個(gè)整體來計(jì)算，即換元法思想．將看作一個(gè)整體，然后用換元法解方程即可．【詳解】解：設(shè)，則有：，解得，；，故．故答案為：4．13．對(duì)于實(shí)數(shù)，，先定義一種新運(yùn)算“”如下：，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】3【分析】根據(jù)新定義，分類計(jì)算即可．本題考查了新定義運(yùn)算，正確理解運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】當(dāng)時(shí)，變形得，整理，得，解得（舍去）．當(dāng)時(shí)，變形得，解得（舍去）．故答案為：3．14．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，在反比例函數(shù)第三象限的圖象上存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線的距離最短，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次根式的運(yùn)算，一元二次方程的根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．根據(jù)反比例函數(shù)確定點(diǎn)A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出次函數(shù)解析式，過點(diǎn)點(diǎn)P作直線，當(dāng)直線與反比例函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離最短，聯(lián)立求解將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：反比例函數(shù)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，，，一次函數(shù)過點(diǎn)A、B，，解得，一次函數(shù)解析式為，過點(diǎn)P作直線，當(dāng)直線與反比例函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離最短，設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)P為直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，，即，，即，解得（不合題意，舍去）或，，解得，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．15．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；（2）先移項(xiàng)，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)，得：，配方，得：，即，開方，得，∴，；（2），移項(xiàng)，得：，因式分解，得，∴或，∴，．16．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若為滿足條件的最大整數(shù)，求此時(shí)方程的根．【答案】(1)(2)，【分析】本題考查一元二次方程的根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．（1）根據(jù)判別式大于0即可求出答案．（2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意可知，；（2）解：由（1）可知：，此時(shí)方程為：，，，．17．附加題(1)試用一元二次方程