/第1講 推理能力課--平行四邊形證明知識梳理一、平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。表示方法：用符號“”表示，平行四邊形記作“”。（2）平行四邊形的邊、角性質邊的性質：①平行四邊形的對邊平行；②平行四邊形的對邊相等。角的性質：①平行四邊形的對角相等；②平行四邊形的鄰角互補。（3）兩條平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另外一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。（4）平行四邊形的對角線的性質：平行四邊形的對角線互相平分。、（5）平行四邊形的周長與面積①面積公式：平行四邊形的面積=底高；②等底等高的平行四邊形的面積相等；③平行四邊形的周長等于兩鄰邊和的2倍。二、平行四邊形判定方法（1）從邊看：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）從角看：①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）從對角線看：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。三、三角形的中位線（1）定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；（2）中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

01.平行四邊形的性質01.平行四邊形的性質例題精講 例題精講例1、如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED=150°，則∠A的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．100°圖1 圖2 圖3 圖4例2、如圖2，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，已知AD=8，BD=12，AC=6，則△OBC的周長為（）A．13 B．17 C．20 D．26例3、如圖3，已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，E是BC的中點，以下說法錯誤的是（）A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE例4、如圖,4，在?ABCD中，E為邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點F．若∠B=52°，∠DAE=20°，則∠FED′的大小為．例5、如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．（1）求證：BE=CD；（2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．

02.平行四邊形的判定02.平行四邊形的判定例題精講例題精講例6、如圖，△ABC和△BEF都是等邊三角形，點D在BC邊上，點F在AB邊上，且∠EAD=60°，連接ED、CF．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）求證：四邊形EFCD是平行四邊形．03.三角形中位線03.三角形中位線例題精講例題精講例7、如圖，DE是△ABC的中位線，若BC=8，則DE的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8舉一反三舉一反三1、如圖，在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分線交AD于E，交BA的延長線于F，則AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6第1題圖 第2題圖 第4題圖 第5題圖2、如圖，平行四邊形ABCD的周長是26cm，對角線AC與BD交于點O，AC⊥AB，E是BC中點，△AOD的周長比△AOB的周長多3cm，則AE的長度為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3、如圖，在?ABCD中，E是BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．（1）求證：AB=CF；（2）連接DE，若AD=2AB，求證：DE⊥AF．4、如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（）A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CDC．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO5、如圖，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥BD交DE的延長線于點F，則下列結論正確的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE

6、如圖，等邊△ABC的邊長是4，D，E分別為AB，AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．（1）求證：DE=CF；（2）求EF的長；（3）求四邊形DEFC的面積．課堂檢測課堂檢測1、如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC+BD=16，CD=6，則△ABO的周長是（）A．10 B．14 C．20 D．22 第1題圖 第2題圖 第4題圖 第5題圖2、如圖，將?ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1=∠2=44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°3、能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值為（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：24、某地需要開辟一條隧道，隧道AB的長度無法直接測量．如圖所示，在地面上取一點C，使點C均可直接到達A，B兩點，測量找到AC和BC的中點D，E，測得DE的長為1100m，則隧道AB的長度為（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5、如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，點E是邊CD上一點，連接BE，并延長與AD的延長線相交于點F，請你只添加一個條件：，使四邊形BDFC為平行四邊形．

6、如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、AC的中點，且∠A+∠B=136°，則∠ANM=°． 第6題圖 第7題圖7、如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動．如果點E、F同時出發，設運動時間為t（s）當t=s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形．直擊中考直擊中考1、如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，從下列條件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中選出兩個可使四邊形ABCD是平行四邊形，則你選的兩個條件是．（填寫一組序號即可）2、如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

課后鞏固課后鞏固1、如圖，在?ABCD中，M是BC延長線上的一點，若∠A=135°，則∠MCD的度數是（）A．45° B．55° C．65° D．75°第1題圖 第2題圖 第4題圖 第5題圖2、如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，則平行四邊形ABCD的面積為（）A．2 B．3 C．D．63、下列結論中一定成立的是（）A．如果一個四邊形任意相鄰的兩個內角都互補，那么這個四邊形是平行四邊形B．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形C．如果四邊形ABCD的對角線AC平分BD，那么四邊形ABCD是平行四邊形D．三條邊相等的四邊形是平行四邊形4、如圖，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分線，E是AB邊的中點．則DE的長是（）A．6 B．5 C．4 D．3如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若△ABC的周長為10cm，則△DEF的周長是cm．6、如圖所示，在?ABCD中，∠C=40°，過點D作AD的垂線，交AB于點E，交CB的延長線于點F，則∠BEF的度數為．第6題圖 第7題圖7、如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE，EF⊥AB，垂足為F，連接DF，當=時，四邊形ADFE是平行四邊形．

8、如圖，已知?ABCD中，DE⊥BC于點E，DH⊥AB于點H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點F、G、M，且DE=AD．（1）求證：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB與DG+CE之間有何數量關系，并證明你的猜想．9、如圖，已知點E，C在線段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）試判斷：四邊形AECD的形狀，并證明你的結論．10、如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E在△ABC內，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點F在邊AB上，EF∥BC．（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；（2）線段BF、AB、AC的數量之間具有怎樣的關系？證明你所得到的結論．

11、如圖Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；（2）求四邊形ADFE的周長．12、如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．13、如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的長．/

第01講推理能力課--平行四邊形證明知識梳理一、平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。表示方法：用符號“”表示，平行四邊形記作“”。（2）平行四邊形的邊、角性質邊的性質：①平行四邊形的對邊平行；②平行四邊形的對邊相等。角的性質：①平行四邊形的對角相等；②平行四邊形的鄰角互補。（3）兩條平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另外一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。（4）平行四邊形的對角線的性質：平行四邊形的對角線互相平分。、（5）平行四邊形的周長與面積①面積公式：平行四邊形的面積=底高；②等底等高的平行四邊形的面積相等；③平行四邊形的周長等于兩鄰邊和的2倍。二、平行四邊形判定方法（1）從邊看：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）從角看：①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）從對角線看：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。三、三角形的中位線（1）定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；（2）中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。考點精講01.平行四邊形的性質01.平行四邊形的性質例題精講 例題精講例1、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED=150°，則∠A的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．100°【解答】選C．由平行四邊形的性質可知：AD//BC，所以∠DEB+∠EBC=180°且∠A+∠ABC=180°，所以可先求出∠EBC=30°，再由角平分線的性質可推出∠A為120°例2、如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，已知AD=8，BD=12，AC=6，則△OBC的周長為（）A．13 B．17 C．20 D．26【解答】選B．例3、已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，E是BC的中點，以下說法錯誤的是（）A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵點E是BC的中點，∴OE是△BCD的中位線，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴選項A、B、C正確；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴選項D錯誤；故選：D．例4、如圖，在?ABCD中，E為邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點F．若∠B=52°，∠DAE=20°，則∠FED′的大小為36°．【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D=∠B=52°，由折疊的性質得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案為：36°．例5、如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．（1）求證：BE=CD；（2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面積=△ECF的面積，∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AE?BF=×4×2=4．02.平行四邊形的判定02.平行四邊形的判定例題精講例題精講例6、如圖，△ABC和△BEF都是等邊三角形，點D在BC邊上，點F在AB邊上，且∠EAD=60°，連接ED、CF．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）求證：四邊形EFCD是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵△ABC和△BEF都是等邊三角形，∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD．（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∵△BEF、△ABC是等邊三角形，∴BE=EF，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥CD，∴BE=EF=CD，∴EF=CD，且EF∥CD，∴四邊形EFCD是平行四邊形03.三角形中位線03.三角形中位線例題精講例題精講例7、如圖，DE是△ABC的中位線，若BC=8，則DE的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】∵DE是△ABC的中位線，BC=8，∴DE=BC=4，故選B．強化練習舉一反三舉一反三1、如圖，在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分線交AD于E，交BA的延長線于F，則AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故選：C．2、如圖，平行四邊形ABCD的周長是26cm，對角線AC與BD交于點O，AC⊥AB，E是BC中點，△AOD的周長比△AOB的周長多3cm，則AE的長度為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【解答】∵?ABCD的周長為26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周長比△AOB的周長多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中點，∴AE=BC=4cm；故選：B3、如圖，在?ABCD中，E是BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．（1）求證：AB=CF；（2）連接DE，若AD=2AB，求證：DE⊥AF．【解答】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，∵E為BC中點，∴BE=CE，在△ABE與△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．

4、如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（）A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CDC．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO【解答】選：D．5、如圖，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥BD交DE的延長線于點F，則下列結論正確的是（）A．EF=CFB．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE【解答】∵DE是△ABC的中位線，∴E為AC中點，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故選B．6、如圖，等邊△ABC的邊長是4，D，E分別為AB，AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．（1）求證：DE=CF；（2）求EF的長；（3）求四邊形DEFC的面積．【解答】（1）在△ABC中，∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE=BC，∵CF=BC，∴DE=CF．（2）∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，∵BC=4，BD=2，∴CD==2，∵DE∥CF，DE=CF，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴EF=CD=2．（3）過點D作DH⊥BC于H．∵∠DHC=90°，∠DCB=30°，∴DH=DC=，∵DE=CF=2，∴S四邊形DEFC=CF?DH=2×=2課堂檢測課堂檢測1、如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC+BD=16，CD=6，則△ABO的周長是（）A．10 B．14 C．20 D．22【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周長是：14．故選：B．2、如圖，將?ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1=∠2=44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折疊的性質得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故選：C．3、能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值為（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2【解答】選D．4、某地需要開辟一條隧道，隧道AB的長度無法直接測量．如圖所示，在地面上取一點C，使點C均可直接到達A，B兩點，測量找到AC和BC的中點D，E，測得DE的長為1100m，則隧道AB的長度為（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m【解答】選：B．5、如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，點E是邊CD上一點，連接BE，并延長與AD的延長線相交于點F，請你只添加一個條件：BC=DF，使四邊形BDFC為平行四邊形．【解答】∵四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，∴BC∥DF，∴當BC=DF時，四邊形BDFC是平行四邊形．故答案為：BC=DF．6、如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、AC的中點，且∠A+∠B=136°，則∠ANM=44°．【解答】在△ABC中，∵∠A+∠B=136°，∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣136°=44°，∵△ABC中，M、N分別是AB、AC的中點，∴MN∥BC，∠ANM=∠ACB=44°．故答案為：44．7、如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動．如果點E、F同時出發，設運動時間為t（s）當t=2或6s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形．【解答】①當點F在C的左側時，根據題意得：AE=tcm，BF=2tcm，則CF=BC﹣BF=6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴當AE=CF時，四邊形AECF是平行四邊形，即t=6﹣2t，解得：t=2；②當點F在C的右側時，根據題意得：AE=tcm，BF=2tcm，則CF=BF﹣BC=2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴當AE=CF時，四邊形AEFC是平行四邊形，即t=2t﹣6，解得：t=6；綜上可得：當t=2或6s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形．故答案為：2或6直擊中考直擊中考1、如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，從下列條件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中選出兩個可使四邊形ABCD是平行四邊形，則你選的兩個條件是①③．（填寫一組序號即可）【解答】可選條件①③，∵AD∥BC，∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴DO=BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故答案為：①③．2、如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．課后鞏固課后鞏固1、如圖，在?ABCD中，M是BC延長線上的一點，若∠A=135°，則∠MCD的度數是（）A．45° B．55° C．65° D．75°【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠BCD=135°，∴∠MCD=180°﹣∠DCB=180°﹣135°=45°．故選A．2、如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，則平行四邊形ABCD的面積為（）A．2 B．3 C．D．6【解答】選B．3、下列結論中一定成立的是（）A．如果一個四邊形任意相鄰的兩個內角都互補，那么這個四邊形是平行四邊形B．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形C．如果四邊形ABCD的對角線AC平分BD，那么四邊形ABCD是平行四邊形D．三條邊相等的四邊形是平行四邊形【解答】選A．4、如圖，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分線，E是AB邊的中點．則DE的長是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】∵在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分線，∴D是AC的中點．∵E是AB邊的中點，∴DE=BC=×10=5．故選B．5、如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若△ABC的周長為10cm，則△DEF的周長是5cm．【解答】如上圖所示，∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周長=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案為5．6、如圖所示，在?ABCD中，∠C=40°，過點D作AD的垂線，交AB于點E，交CB的延長線于點F，則∠BEF的度數為50°．【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．7、如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE，EF⊥AB，垂足為F，連接DF，當=時，四邊形ADFE是平行四邊形．【解答】當=時，四邊形ADFE是平行四邊形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE為等邊三角形，EF⊥AB，∴EF為∠BEA的平分線，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．故答案為：．8、如圖，已知?ABCD中，DE⊥BC于點E，DH⊥AB于點H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點F、G、M，且DE=AD．（1）求證：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB與DG+CE之間有何數量關系，并證明你的猜想．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAF=∠DFA，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=FD，∵DE⊥BC，DH⊥AB，∴∠ADG=∠FDM=90°，在△ADG和△FDM中，，∴△ADG≌△FDM（ASA）．（2）AB=DG+EC．證明：延長GD至點N，使DN=CE，連接AN，∵DE⊥BC，AD∥BC，∴∠ADN=∠DEC=90°，在△ADN和△DEC中，，∴△ADN≌△DEC（SAS），∴∠NAD=∠CDE，AN=DC，∵∠NAG=∠NAD+∠DAG，∠NGA=∠CDE+∠DFA，∴∠NAG=∠NGA，∴AN=GN=DG+CE=DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∴AB=DG+EC．9、如圖，已知點E，C在線段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）試判斷：四邊形AECD的形狀，并證明你的結論．【解答】證明：（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵BE=EC=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．（2）四邊形AECD的形狀是平行四邊形，證明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，∵∠ACB=∠F，∴AC∥DF，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∴AD∥CF，AD=CF，∵EC=CF，∴AD∥EC，AD=CE，∴四邊形AECD是平行四邊形．10、如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E在△ABC內，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點F在邊AB上，EF∥BC．（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；（2）線段BF、AB、AC的數量之間具有怎樣的關系？證明你所得到的結論．【解答】（1）證明：延長CE交