/專題02二元一次方程組（11大題型）題型一選用合適的方法解二元一次方程組題型二圖像法解二元一次方程題型三二元一次方程的特殊解法題型四二元一次方程組的錯解復(fù)原問題題型五同解方程組的問題題型六已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)題型七二元一次方程組與不等式綜合題型八與解二元一次方程組有關(guān)的新定義問題題型九與解二元一次方程組有關(guān)的閱讀理解類問題題型十二元一次方程組與實際問題題型十一三元一次方程組與實際問題題型一選用合適的方法解二元一次方程組1．（23-24七年級下·浙江金華·期末）解方程組：(1)；(2)．2．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）解下列方程（組）：(1)(2)(3)．3．（22-23七年級下·浙江臺州·期末）小明解二元一次方程組的過程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請在小明解法的前兩步后面的括號內(nèi)填上方程變形的依據(jù)．(2)小明解方程組的結(jié)果正確嗎？如果你認為正確，請代入原方程組檢驗；如果你認為不正確，請指出他解題過程中最早在哪一步出現(xiàn)錯誤，并求出該方程組的正確解．4．（22-23七年級下·浙江紹興·期中）解下列二元一次方程組：(1)(2)．題型二圖像法解二元一次方程5．（23-24七年級下·浙江臺州·期中）閱讀下列材料：我們知道，二元一次方程有無數(shù)組解，若我們把每一組解用有序數(shù)對表示，就可以標(biāo)出一些以方程的解為坐標(biāo)的點，過這些點中的任意兩點可以作一條直線，發(fā)現(xiàn)其它點也都在這條直線上．反之，在這條直線上任意取一點，發(fā)現(xiàn)這個點的坐標(biāo)是方程的解．我們把以方程的解為坐標(biāo)的所有點組成的圖形叫做方程的圖象，記作直線．請解答以下問題：(1)在所給的平面直角坐標(biāo)系中描出點，并計算說明點A在方程的圖象上；(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出方程的圖象；(3)若直線與（2）中的相交于點B，求點B的坐標(biāo)；(4)結(jié)合坐標(biāo)網(wǎng)格，直接寫出，的長度．6．（23-24七年級下·山東濟寧·期末）(1)填表，使上下每對，的值是方程的解．(2)以上表中的值為橫坐標(biāo)，的值為縱坐標(biāo)，在圖的平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出這些點觀察并思考：①這些點是否在一條直線上?②過這些點中的任意兩點作直線，在該直線上任取一點，這個點的坐標(biāo)是方程的解嗎?(3)(2)中這樣的點我們可以找到無數(shù)個，這些點的全體叫做方程的圖象；請在圖的同一平面直角坐標(biāo)系中畫出方程的圖象，并根據(jù)兩個方程的圖象直接寫出方程組的解．(4)圖2給出了方程組的圖象，根據(jù)圖象提供的信息求的值．7．（23-24七年級下·湖北恩施·期末）【再現(xiàn)課本】在第八章的數(shù)學(xué)活動中我們曾探究過“以方程的解為坐標(biāo)（x的值為橫坐標(biāo)、y的值為縱坐標(biāo)）的點的特性”，了解了二元一次方程的解與其圖象上點的坐標(biāo)的關(guān)系．規(guī)定：以方程的解為坐標(biāo)的所有點的全體叫做方程的圖象；結(jié)論：一般地，任何一個二元一次方程的圖象都是一條直線．示例：如圖1，依據(jù)“兩點確定一條直線”，我們在畫方程的圖象時，可以取點和，作出直線．

【解決問題】（1）已知，，，則點（填“A或B或C”）在方程的圖象上．（2）請你在圖1所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出二元一次方程的圖象．觀察圖中兩個圖象，它們的交點坐標(biāo)為，由此得出二元一次方程組的解是．【拓展延伸】（3）已知點,在二元一次方程的圖象上，試求a，b的值．（4）在（3）的條件下，二元一次方程與的圖象交于點M，當(dāng)點M在第一象限時，請求出m的取值范圍．題型三二元一次方程的特殊解法8．（21-22七年級下·浙江·期末）（1）點點在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：，即把方程①代入③得：，所以．把代入①得，．所以方程組的解為．請你模仿點點的“整體代換”法解方程組．（2）表示一個兩位數(shù)，其中為的整數(shù)．圓圓在研究平方的規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：．．猜想的結(jié)果，并說明理由．9．（23-24七年級下·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于的方程組，其中，為整數(shù)．(1)若方程組有無窮多組解，求實數(shù)與的值；(2)當(dāng)時，方程組是否有整數(shù)解？如有，求出整數(shù)解；若沒有，請說明理由．10．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x、y滿足①，②，求和的值.本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由可得，由可得.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.解決問題：(1)已知二元一次方程組，則___________；(2)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需___________元.(3)對于實數(shù)x、y，定義新運算：，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算，已知，，那么___________.題型四二元一次方程組的錯解復(fù)原問題11．（20-21七年級下·浙江·期末）（1）已知甲、乙二人解關(guān)于的方程組，甲正確地解出，而乙把抄錯了，結(jié)果解得，求的值．（2）已知的積中不含有的二次項和一次項，求的值．12．（21-22七年級下·河南南陽·階段練習(xí)）甲乙兩名同學(xué)在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，而得解為；乙看錯了方程組中的，而得解為．(1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？(2)請你根據(jù)以上兩種結(jié)果，求出原方程組的正確解．13．（21-22七年級上·浙江·期末）（1）已知關(guān)于的方程組與有相同的解，求的值．（2）在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得到解為，乙看錯了方程組中的b，而得到解為．求原方程組的解．題型五同解方程組的問題14．（20-21七年級上·浙江杭州·期末）關(guān)于，的二元一次方程組與的解相同，求、的值．15．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組和有相同的解．(1)求出它們的相同解；(2)求的值．16．（24-25七年級下·浙江·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程組和有相同的解．(1)求出它們的相同解．(2)求和的值．題型六已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)17．（22-23七年級下·浙江·期末）若方程組的解滿足方程，求的值．18．（17-18八年級下·江西九江·期中）已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足，．(1)求m的取值范圍；(2)在m的取值范圍內(nèi)，當(dāng)m為何整數(shù)時，不等式的解為？19．（2025七年級下·浙江·專題練習(xí)）若二元一次方程組有無數(shù)組解，求k的條件．題型七二元一次方程組與不等式綜合20．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）已知關(guān)于的方程組．(1)若方程組的解滿足，求的取值范圍．(2)若x，y是等腰三角形的兩條邊長，且等腰三角形的周長為9，求的值．21．（2024·浙江·模擬預(yù)測）關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，求a的取值范圍．22．（23-24八年級上·浙江湖州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程組，若此方程組的解滿足，求的取值范圍．23．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）已知關(guān)于、的二元一次方程組（為常數(shù)）.(1)若該方程組的解、滿足，求的取值范圍；(2)若該方程組的解、均為正整數(shù)，且，直接寫出該方程組的解.題型八與解二元一次方程組有關(guān)的新定義問題24．（22-23八年級上·廣東茂名·期中）關(guān)于實數(shù)a，b，定義一種關(guān)于“※”的運算：，例如：．依據(jù)運算定義，若，且，則的值為（

）A． B．1 C． D．25．（22-23七年級下·浙江·階段練習(xí)）對于任意實數(shù)，，定義關(guān)于“”的一種運算如下：．例如．若，且，則的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．926．（24-25七年級下·浙江嘉興·期中）對于實數(shù)，我們定義如下運算：若為非負數(shù)，則；若為負數(shù)，則．例如；，則方程組的解為．27．（24-25七年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）對于有理數(shù)，，定義新運算：，，其中，是常數(shù)．已知，．(1)求，的值；(2)若關(guān)于，的方程組的解也滿足方程，求的值；28．（22-23七年級下·浙江湖州·階段練習(xí)）對于實數(shù)、，定義關(guān)于“”的一種運算：，例如．(1)求的值；(2)若，，求和的值．題型九與解二元一次方程組有關(guān)的閱讀理解類問題29．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）[閱讀材料]分解因式：．解：把代入，發(fā)現(xiàn)此多項式的值為0，由此確定中有因式，可設(shè)（為常數(shù)），通過展開多項式或代入合適的的值即可求出的值．我們把這種分解因式的方法叫“試根法”．根據(jù)以上閱讀材料，完成下列問題：(1)請完成下列因式分解：__________；__________．(2)請你用“試根法”分解因式：；(3)①若多項式（，為常數(shù)）分解因式后，有一個因式是，求代數(shù)式的值；②若多項式含有因式和，求的值．30．（24-25七年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．請根據(jù)上述思想解決下列問題：(1)已知二元一次方程組，分別求和的值；(2)對于實數(shù)x、y，定義新運算：，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，求的值．31．（23-24七年級下·廣東湛江·期末）閱讀下列解方程組的方法，然后回答并解決有關(guān)問題：解方程組時，如果我們直接考慮消元，那會很麻煩，而采用下面的解法求解會更方便．解：得，，所以③，將③，得④，，得，從而可得，所以原方程組的解為．(1)請你用上述方法解方程組．(2)猜想：關(guān)于、的方程組（是常數(shù)，）的解，并說明理由．32．（23-24七年級下·貴州遵義·期末）閱讀與思考【閱讀理解】我們把四個數(shù)a，b，c，d排成兩行兩列，記為，稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為．小李同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法時，發(fā)現(xiàn)可以利用二階行列式求解．例如：求二元一次方程組的解．解：記，，，則原方程組的解為【類比應(yīng)用】(1)若二階行列式，求x的值；(2)已知方程組利用二階行列式求得，請求，，并寫出該方程組的解．題型十二元一次方程組與實際問題33．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）學(xué)校舉行運動會，由若干名同學(xué)組成一個長方形隊列．如果原隊列中增加54人，就能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少74人，也能組成一個正方形隊列．問原長方形隊列有多少名同學(xué)？34．（23-24七年級下·浙江湖州·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何合理搭配消費券？素材一我市在2024年發(fā)放了如圖所示的南太湖消費券．規(guī)定每人可領(lǐng)取一套消費券（共4張）：包含型消費券（滿50減20元）1張，型消費券（滿100減30元）2張，型消費券（滿300減100元）1張．

素材二在此次活動中，小明一家4人各領(lǐng)到了一套消費券．某日小明一家在超市使用消費券共減了420元，請完成以下任務(wù)．任務(wù)一若小明一家用了2張型消費券，2張型消費券，則用了___________張型消費券，此時實際消費最少為____________元．任務(wù)二若小明一家用8張、、型的消費券消費，已知型比型的消費券多1張，求、、型的消費券各多少張？任務(wù)三若小明一家僅用兩種不同類型的消費券組合消費，請問該如何使用消費券，才能使得實際消費金額最小，并求出此時實際最小消費金額．35．（23-24七年級下·浙江金華·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：素材1某校“半畝方塘”勞動基地打算用如圖所示的圍欄搭建一塊蔬菜基地，已知圍欄的橫杠長為，豎杠長為，一副圍欄由2個橫杠，5個豎杠制作而成．素材2為了深度參與學(xué)校蔬菜基地的建立，勞動實踐小組打算自己購買材料，制作搭建蔬菜基地的圍欄，已知這種規(guī)格的圍欄材料每根長為，價格為50元/根．解決問題任務(wù)要求解決辦法任務(wù)1一根長的圍欄材料有哪些裁剪方法呢？（余料作廢）方法①：當(dāng)只裁剪長的用料時，最多可裁剪______根．方法②：當(dāng)先裁剪下1根長的用料時，余下部分最多能裁剪長的用料______根．方法③：當(dāng)先裁剪下2根長的用料時，余下部分最多能裁剪長的用料______根．任務(wù)2要求搭建蔬菜基地需用到的圍欄長為（即需要制作8副圍欄，需要的用料為：16個橫杠，40個豎杠）．勞動實踐小組打算用“任務(wù)1”中的方法②和方法③完成裁剪任務(wù)，請計算：分別用“任務(wù)1”中的方法②和方法③各裁剪多少根長的圍欄材料，才能恰好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的用料？任務(wù)3勞動實踐小組準(zhǔn)備優(yōu)化圍欄：將橫杠材料由每根調(diào)整為每根，再將其中兩根豎杠材料由每根調(diào)整為每根（其它三根豎杠長度不變）．若要搭建任務(wù)2中所需的圍欄長度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（無剩余）或者若干根的用料（可剩余）．問：購買的材料至少需要多少費用？若材料有剩余，請求出剩余材料的長度，（剩余材料不可拼接）36．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）綜合與實踐：素材1：如圖是一架自制天平，支點固定不變，左側(cè)托盤固定在點處，右側(cè)托盤的支撐點可以在橫梁段滑動，已知，，左側(cè)托盤放置一個的砝碼．任務(wù)1：若右側(cè)托盤放置物體，當(dāng)天平平衡時，求的長．素材2：若將右側(cè)托盤上的物體換成一個空礦泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑動右側(cè)托盤，當(dāng)支撐點到點時，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，當(dāng)點移動到長為時（點在點的右側(cè)），天平恰好平衡．任務(wù)2：求這個礦泉水瓶的質(zhì)量．素材3：繼續(xù)在礦泉水瓶中加水，當(dāng)加水量是第一次加水量的5倍時，移動右側(cè)支撐點，使天平平衡．任務(wù)3：請描述右側(cè)支撐點的移動過程．溫馨提示：根據(jù)杠桿原理，天平平衡時：左盤砝碼質(zhì)量右盤物體質(zhì)量．（不計托盤和橫梁的質(zhì)量）37．（23-24七年級下·浙江金華·期末）某校計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為期末獎品，采購員小慧在某文體用品店購買完畢，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不消楚，如圖所示：請根據(jù)發(fā)票中現(xiàn)有的信息，幫助小慧復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應(yīng)的金額．38．（23-24七年級下·浙江·期末）已知書店的兩類書籍的進貨價和銷售價如下表所示．種類文學(xué)類科技類進貨價（元/本）1624銷售價（元/本）2030(1)若書店銷售兩類書籍共90本，銷售額為2100元，求這兩種書籍各銷售多少本？(2)若書店銷售兩類書籍若干本，銷售額為2400元，求此次書店的總利潤為多少元？(3)為回饋客戶，書店采用促銷方案銷售兩種書籍：買3本文學(xué)類書籍送1盒水彩筆，買3本科技類書籍送2盒水彩筆（水彩筆進貨價為每盒6元）．若書店按該方案銷售，購進的兩類書籍和水彩筆數(shù)量恰好滿足上述促銷搭配方案且進貨總價為2100元，求此次書店購進兩種書籍各多少本？39．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）問題：探究什錦糖的混合比例【基本信息】糖的種類甲種糖乙種糖丙種糖售價（元/千克）302012進價（元/千克）24168什錦糖的單價＝【樣品實驗】（1）甲種糖40千克，乙種糖30千克，丙種糖30千克混合成什錦糖樣品1，求樣品1的單價；（2）甲種糖在40千克基礎(chǔ)上減少千克，乙種糖30千克不變，丙種糖在30千克基礎(chǔ)上增加千克（，為正整數(shù)），混合成什錦糖樣品2，用含，的代數(shù)式表示樣品2的單價；【解決問題】（3）若樣品2比樣品1的單價少0.8元，求滿足條件的什錦糖樣品2中甲乙丙三種糖的質(zhì)量之比．（4）在（3）的條件下，若該商店銷售什錦糖樣品2的數(shù)量為每天420千克，求該商店銷售樣品2的日利潤．40．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）小滿時節(jié)，日照增，氣溫升，降雨多，清熱利濕很重要，中醫(yī)記載：取茯苓、陳皮、白扁豆，可制成一包祛濕茶，可以寧神、健脾、化濕、開胃，某中藥店購入一批茯苓、陳皮、白扁豆各若干克，按標(biāo)準(zhǔn)制成100包袪濕茶，茯苓剛好用完，剩余的白扁豆比陳皮多；(1)購入茯苓的質(zhì)量為______；這100包祛濕茶所用原料陳皮與白扁豆的質(zhì)量比為_______