高中數學人教A版（2019）必修第一冊第三章綜合檢測卷（培優B卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．下列四組函數中，表示同一函數的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【分析】分別判斷選項中函數的定義域和對應關系，即可得到答案.【詳解】對選項A，因為定義域為R，定義域為R，定義域相同，但，所以，不是同一函數，故A錯誤；對選項B，因為定義域為R，定義域為，定義域不同，所以，不是同一函數，故B錯誤；對選項C，因為定義域為，定義域為，定義域不同，所以，不是同一函數，故C錯誤；對選項D，因為定義域為R，定義域為R，又，所以，是同一函數，故D正確.故選：D2．已知函數，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．6【答案】A【分析】由分段函數解析式，利用周期性求得，進而求目標函數值.【詳解】由分段函數知：當時，周期，所以，所以．故選：A3．已知函數是冪函數，且在上遞增，則實數（

）A．－1 B．－1或3 C．3 D．2【答案】C【分析】根據冪函數的定義和性質，列出相應的方程，即可求得答案.【詳解】由題意知：，即，解得或，∴當時，，則在上單調遞減，不合題意;當時，，則在上單調遞增，符合題意,∴,故選：C4．函數的單調遞減區間是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先求出函數的定義域，根據復合函數的單調性寫出單調區間即可．【詳解】由，得或，定義域為，的單調遞減區間為．故選A【點睛】本題考查函數的單調區間，函數的單調區間是函數定義域的子集，所以求解函數的單調區間時，必須先求出函數的定義域．5．已知是上的單調遞增函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據分段函數的單調性，即可解出.【詳解】因為是上的單調遞增函數，則

解得，故選：A.6．已知冪函數，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據冪函數的單調性與定義域可解不等式.【詳解】因為冪函數的定義域為，且是定義域上的減函數，所以若，則解得.故選：D.7．已知函數的圖象過點與，則函數在區間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件列方程求，由此可得函數的解析式，再由基本不等式求其最大值.【詳解】因為函數的圖象過點與，所以，，則，解得，，故函數的解析式為：.而，當且僅當時取等號，函數在區間上的最大值為.故選：B.8．已知奇函數在區間單調遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設易知在上遞減且，根據題設不等式討論、結合區間單調性求解集即可.【詳解】由題設，在上遞減，且，由，當時，，可得；當時，，可得；綜上，不等式解集為.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．設函數，若，則實數a可以為（

）A．1 B．0 C．－1 D．－2【答案】BCD【分析】根據題意，分，和三種情況討論，驗證是否成立，綜合可得的取值范圍，分析選項可得答案．【詳解】解：根據題意，函數，若，，，滿足，若，，，滿足，若，，，不滿足，故a的取值范圍為，分析選項：BCD符合，故選：BCD．10．已知函數，則表達正確的是（

）A．函數的單調遞減區間為， B．為函數的單調遞增區間C．函數有最小值，無最大值 D．函數滿足【答案】BC【分析】畫出圖形，利用函數圖象進行判斷．【詳解】作出的圖象，由圖象可知，A錯誤，B、C正確，因為，，所以，故D錯誤.故選：BC.11．對于定義在上的函數，則下列判斷正確的是（

）.A．若函數滿足，則是偶函數B．若函數滿足，則不是偶函數C．若函數滿足，則是上的單調增函數D．若函數滿足，則不是上的單調減函數【答案】BD【分析】根據奇偶函數的定義及特例判斷AB，由單調性的定義及特例判斷CD.【詳解】A選項，若，則，，故，又的定義域為，關于原點對稱，且，所以為奇函數，故A錯誤；B選項，依據偶函數的定義知：若為偶函數，則，則可知滿足的函數必然不是偶函數，故B正確；C選項，若，則，，故，但函數在上為減函數，在上為增函數，故C錯誤；D選項，因為，，所以不是上的單調減函數，故D正確；故選：BD12．符號表示不超過x的最大整數，如，，定義函數，則下列結論正確的是（

）A． B．函數是增函數C．方程有無數個實數根 D．的最大值為1，最小值為0【答案】AC【分析】作出函數的圖象，結合函數的圖象對該函數的最值、單調性以及周期性進行分析、判斷正誤即可．【詳解】作出的圖象如圖：對于A，由題意可知，所以A正確；對于B，函數每隔一個單位重復一次，是以1為周期的函數，函數在定義域上是周期函數，不是增函數，所以B錯誤；對于C，函數每隔一個單位重復一次，是以1為周期的函數，所以方程有無數個根，所以C正確；對于D，由圖可知，函數無最大值，最小值為0，所以D錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是畫出函數的圖象，意在考查學生數形結合的數學思想的運用.函數的圖象是研究函數的一個重要手段，要在解題中靈活運用.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數是定義在R上的奇函數，且，，則__________．【答案】【分析】根據奇函數的定義，求解函數的解析式.【詳解】∵函數是定義在R上的奇函數，

∴，則又，

∴，將0代入可得，0也滿足該式，∴，.故答案為：.14．已知點在冪函數的圖像上，有以下4種說法：①為奇函數；②為偶函數；③在上單調遞增；④在上單調遞減.其中所有正確說法的序號是___________.【答案】①④【分析】根據冪函數的定義，求出參數，再由函數的單調性和奇偶性即可判斷.【詳解】解：由題可知，，故，將點代入得，解得：，故，定義域為，又，所以為奇函數，所以①對，②錯.任取，則，即，故在上單調遞減.所以④對，③錯.故答案為：①④.15．某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產一單位產品，成本增加100元，已知總收益與年產量的關系式，則總利潤最大時，每年生產的產品數量是__________.【答案】300【分析】利用總收益與成本的差可得總利潤關于的解析式，利用分段函數的性質，分別求出兩段函數的最值，從而可得結果.【詳解】設總成本為元，總利潤為元，則，P=R-C=所以=令，得=300．當0<<300時，；當>300時，．所以當=300時，取得最大值.故答案為：300.16．已知函數，則關于的方程的所有實數根的和為_______.【答案】【解析】由可得出和，作出函數的圖象，由圖象可得出方程的根，將方程的根視為直線與函數圖象交點的橫坐標，利用對稱性可得出方程的所有根之和，進而可求出原方程所有實根之和.【詳解】，或.方程的根可視為直線與函數圖象交點的橫坐標，作出函數和直線的圖象如下圖：由圖象可知，關于的方程的實數根為、.由于函數的圖象關于直線對稱，函數的圖象關于直線對稱，關于的方程存在四個實數根、、、如圖所示，且，，，因此，所求方程的實數根的和為.故答案為：.【點睛】本題考查方程的根之和，本質上就是求函數的零點之和，利用圖象的對稱性求解是解答的關鍵，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）通過換元，令，從而得到的解析式；（2）通過令為，從而得到，列出關于和的方程組，從而得到的解析式.【詳解】（1）令，則所以即（2）因為所以即所以18．已知函數是上的偶函數.(1)求實數的值；(2)判斷并用定義法證明函數在上的單調性【答案】(1)；(2)函數在上為增函數,證明見解析.【分析】(1)根據偶函數的定義可以求出實數的值；(2)根據函數的單調性的定義,通過運算可以證明出函數在上是遞增函數.【詳解】(1)因為函數是R上的偶函數,所以,即對任意實數x恒成立,解得.(2)由(1)得,此函數在上為增函數.證明：任取,且,則因為，且，所以,,，所以,即,所以函數在上為增函數.【點睛】本題考查了偶函數的定義.考查了用定義判斷和證明函數的單調性,考查了數學運算能力.19．已知函數（為實常數），（1）判斷函數的奇偶性并證明.（2）若在上是減函數，求的取值范圍.【答案】（１）見解析（２）【分析】（1）根據函數奇偶性的定義判斷f（﹣x）與f（x）的關系，可得函數的奇偶性；（2）利用函數的單調性，構建不等式即可得到結果．【詳解】（1）函數為奇函數，證明如下：函數的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），即∴函數為奇函數；（2）設，則又在上是減函數，∴，即又，∴∴故的取值范圍是【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性，考查學生對函數的性質理解與掌握的情況，屬于中檔題．20．某租賃公司有750輛電動汽車供租賃使用,管理這些電動汽車的費用是每日元．根據調查發現，若每輛電動汽車的日租金不超過90元，則電動汽車可以全部租出；若超過90元，則每超過1元，租不出去的電動汽車就增加3輛．設每輛電動汽車的日租金為元（），用(單位：元)表示出租電動汽車的日凈收入．(日凈收入等于日出租電動汽車的總收入減去日管理費用)（1）求關于的函數解析式；（2）試問當每輛電動汽車的日租金為多少元時？才能使日凈收入最多，并求出日凈收入的最大值．【答案】(1);(2)當每輛電動汽車的日租金為170元時,才能使日凈收入最多,為85000元【分析】(1)分情況討論,當與兩種情況進行計算即可(2)分當與兩種情況表達日凈收入的表達式,再根據函數性質求解最值即可.【詳解】(1)當時,,;當時,,故關于的函數解析式為(2)由(1)有當時為增函數,故當時取最大值；當時,為二次函數，對稱軸為.故當時取最大值；故當每輛電動汽車的日租金為170元時,才能使日凈收入最多,為85000元．【點睛】本題主要考查函數的實際應用,需要根據題目條件分段列出關系式,再求解函數在每個區間段上的最大值分析即可.屬于中等題型.21．已知函數是定義在區間上的奇函數，若當，時，有．(1)比較與的大小．(2)判斷的單調性，并加以證明．(3)解不等式．【答案】(1)(2)在區間上單調遞增；證明見解析(3)【分析】（1）令，，由題意得，從而得，再由為奇函數，可得；（2）根據函數單調性的定義結合為奇函數證明即可；（3）由在區間上單調遞增，列不等式組求解.【詳解】(1)令，，因為，所以，即，因為為奇函數，所以，所以．(2)在區間上單調遞增．證明如下：在區間上任取，且，則．由題意得，因為為奇函數，所以，所以，即，所以在區間上單調遞增．(3)由（2）知在區間上單調遞增，所以，解得．故不等式的解集為．22．已知函數．（1）當時，若對恒成立，求實數的取值范圍；（2）關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本題首先可根據題意得出，然后通過去絕對值得出函數的最大值為，最后將對恒成立轉化為，通過計算即可得