課時分層作業(yè)(三十八)(本試卷共92分．單項(xiàng)選擇題每題5分，多項(xiàng)選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項(xiàng)選擇題1．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝－7，S6＝－63，則公比q＝()A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)B[法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得q3＝eq\f(S6－S3,S3)＝eq\f(－63－－7,－7)＝8，所以q＝2.故選B．法二：由題得q≠1，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝－7，S6＝－63，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S3＝\f(a11－q3,1－q)＝－7，,S6＝\f(a11－q6,1－q)＝－63，))解得q＝2.故選B．]2．(2020·全國Ⅰ卷)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A．12 B．24C．30 D．32D[法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以eq\f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq\f(a1＋a2＋a3q,a1＋a2＋a3)＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝eq\f(1,7)，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝eq\f(1,7)×(25＋26＋27)＝eq\f(1,7)×25×(1＋2＋22)＝32.故選D.法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，則bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋an＋2＋an＋3,an＋an＋1＋an＋2)＝eq\f(an＋an＋1＋an＋2q,an＋an＋1＋an＋2)＝q，所以數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，由題意知b1＝1，b2＝2，所以等比數(shù)列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32.故選D.]3．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝3，a4＝12，在數(shù)列{bn}中，b1＝4，b4＝20，若{bn－an}是等比數(shù)列，則b2025的值為()A．6075 B．22024C．22024＋6075 D．22024－6075C[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，{bn－an}的公比為q，則由題意可得，a4＝a1＋3d，即12＝3＋3d，解得d＝3，所以an＝3＋(n－1)×3＝3n.根據(jù)已知又有b1－a1＝1，b4－a4＝8，則8＝1·q3，得q＝2，所以bn－an＝1·2n－1，進(jìn)而bn＝2n－1＋3n，故b2025＝22024＋6075.故選C．]4．(2025·濰坊模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1.若數(shù)列{an＋an＋1}是公比為2的等比數(shù)列，則a2024＝()A．eq\f(22023＋1,3) B．eq\f(22024＋1,3)C．21012－1 D．21011－1A[依題意，a1＋a2＝1，an＋an＋1＝2n－1，當(dāng)n≥2時，an－1＋an＝2n－2，則an＋1－an－1＝2n－2，所以a2024＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2024－a2022)＝1＋2＋23＋25＋…＋22021＝1＋eq\f(21－41011,1－4)＝eq\f(22023＋1,3).故選A．]5．(2023·天津高考)已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＋1＝2Sn＋2，則a4的值為()A．3 B．18C．54 D．152C[因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，an＋1＝2Sn＋2，所以a2＝2S1＋2＝2a1a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a所以a1＝2或a1＝－1(舍)，所以a2＝6，q＝3，則a4＝a1·q3＝2×33＝54.故選C．]6．(2023·新高考Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－120C[法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由題意易知q≠1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q4,1－q)＝－5，,\f(a11－q6,1－q)＝21×\f(a11－q2,1－q)，))化簡整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2＝4，,\f(a1,1－q)＝\f(1,3).))所以S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(1,3)×(1－44)＝－85.故選C．法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…為等比數(shù)列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝eq\f(5,4).當(dāng)S2＝－1時，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；當(dāng)S2＝eq\f(5,4)時，結(jié)合S4＝－5得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q4,1－q)＝－5，,\f(a11－q2,1－q)＝\f(5,4)，))化簡可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85.故選C．]7．(2025·菏澤模擬)音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數(shù)標(biāo)度單位．一個八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個等比數(shù)列．八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個音的頻率值構(gòu)成一個公比為eq\r(1200,2)的等比數(shù)列．已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若m＝eq\r(2)n，則k－l＝()A．400 B．500C．600 D．800C[由題意可知，1200個音的頻率值構(gòu)成一個公比為eq\r(1200,2)的等比數(shù)列，設(shè)第一個音為a1，所以an＝a1(eq\r(1200,2))n－1，故m＝a1(eq\r(1200,2))k－1，n＝a1(eq\r(1200,2))l－1，因?yàn)閙＝eq\r(2)n，所以eq\f(m,n)＝eq\f(a1\r(1200,2)k－1,a1\r(1200,2)l－1)＝(eq\r(1200,2))k－l＝eq\r(2)?2eq\f(k－l,1200)＝2eq\s\up7(\f(1,2))?eq\f(k－l,1200)＝eq\f(1,2)?k－l＝600.故選C．]8．在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足a1>1，a99·a100－1>0，eq\f(a99－1,a100－1)<0，則下列結(jié)論不正確的是()A．0<q<1B．a(chǎn)99·a101－1<0C．T100的值是Tn中最大的D．使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于198C[因?yàn)閍99·a100－1>0，所以aeq\o\al(2,1)q197>1，所以q>0.因?yàn)閑q\f(a99－1,a100－1)<0，所以(a99－1)(a100－1)<0，即a99，a100一個大于1，一個小于1，因?yàn)閍1>1，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故0<q<1，即a99>1，a100<1，選項(xiàng)A正確．a(chǎn)99·a101＝aeq\o\al(2,100)<1，選項(xiàng)B正確．T100＝T99a100<T99T198＝a1a2…a198＝(a1a198)(a2a197)…(a99·a100)＝(a99aT199＝a1a2…a198a199＝(a1a199)(a2a198)…(a99a101)·a100＝aeq\o\al(199,100)<1，選項(xiàng)故選C．]二、多項(xiàng)選擇題9．Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，則()A．a(chǎn)＋c＝0 B．b是數(shù)列{an}的公比C．a(chǎn)c<0 D．{an}可能為常數(shù)列ABC[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.當(dāng)q＝1時，Sn＝na1，顯然不是Sn＝a·bn＋c的形式，故不滿足，D錯誤；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，所以c＝eq\f(a1,1－q)，a＝－eq\f(a1,1－q)，b＝q，即a＋c＝0，ac＝－eq\f(a\o\al(2,1),1－q2)<0，所以A，B，C正確．故選ABC．]10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，則()A．?dāng)?shù)列{an＋2n}是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋1))是等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2×3n－2n＋1D．Sn＝2(3n－2n)ABD[an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，又a1＋2＝4≠0，eq\f(an＋1＋2n＋1,an＋2n)＝3，故數(shù)列{an＋2n}是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an＋2n＝4×3n－1，an＝4×3n－1－2n，Sn＝eq\f(41－3n,1－3)－eq\f(21－2n,1－2)＝2(3n－2n)，故A正確，C錯誤，D正確；eq\f(an＋1,2n＋1)＋1＝eq\f(3an＋2n,2n＋1)＋1＝eq\f(3,2)·eq\f(an,2n)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋1))，又因?yàn)閑q\f(a1,21)＋1＝2≠0，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋1))是以2為首項(xiàng)，eq\f(3,2)為公比的等比數(shù)列，B正確．故選ABD.]三、填空題11．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，lnan＋1－lnan＝2，且a1a5＝e6，則a2e[lnan＋1－lnan＝lneq\f(an＋1,an)＝2，可得eq\f(an＋1,an)＝e2，所以數(shù)列{an}是公比為e2的等比數(shù)列．因?yàn)閍1a5＝aeq\o\al(2,3)＝e6，且a3>0，則a3＝e3，所以a2＝eq\f(e3,e2)＝e.]12．已知數(shù)列{an}，{bn}均為正項(xiàng)等比數(shù)列，Pn，Qn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)積，且eq\f(lnPn,lnQn)＝eq\f(5n－7,2n)，則eq\f(lna3,lnb3)的值為________.eq\f(9,5)[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則lnan＋1－lnan＝lneq\f(an＋1,an)＝lnq(常數(shù))，所以，數(shù)列{lnan}為等差數(shù)列．同理可知，數(shù)列{lnbn}也為等差數(shù)列．因?yàn)閘nP5＝ln(a1a2a3a4a5)＝lna1＋lna2＋lna3＋lna4＋lna5＝eq\f(5lna1＋lna5,2)同理可得lnQ5＝5lnb3，所以，eq\f(lna3,lnb3)＝eq\f(5lna3,5lnb3)＝eq\f(lnP5,lnQ5)＝eq\f(5×5－7,2×5)＝eq\f(9,5).]四、解答題13．(15分)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝eq\f(3,5)，且滿足an＋1＝eq\f(3an,2an＋1).(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))為等比數(shù)列；(2)若eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)<100，求滿足條件的最大整數(shù)n.解：(1)證明：由題意，數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(3an,2an＋1)，可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2an＋1,3an)＝eq\f(1,3)·eq\f(1,an)＋eq\f(2,3)，可得eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,an)＋eq\f(2,3)－1＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))，即eq\f(\f(1,an＋1)－1,\f(1,an)－1)＝eq\f(1,3).又由a1＝eq\f(3,5)，所以eq\f(1,a1)－1＝eq\f(2,3)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是首項(xiàng)為eq\f(2,3)，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列．(2)由(1)可得eq\f(1,an)－1＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，所以eq\f(1,an)＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n＋1.設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,32)＋\f