課時分層作業(四十二)(本試卷共83分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．若棱長為2eq\r(3)的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12π B．24πC．36π D．144πC[由題意知，正方體的體對角線就是球的直徑，所以2R＝eq\r(2\r(3)2＋2\r(3)2＋2\r(3)2)＝6，所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π.]2．某同學在《通用技術》的實踐課上，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4eq\r(3)的正方體的六個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)．若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的半徑是()A．2 B．4C．2eq\r(6) D．4eq\r(6)B[設截面圓半徑為r，球的半徑為R，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即2eq\r(3).根據截面圓的周長可得4π＝2πr，得r＝2，故由題意知R2＝r2＋(2eq\r(3))2，即R2＝22＋(2eq\r(3))2＝16，所以R＝4.故選B．]3．(2025·煙臺模擬)如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點重合于點A，如圖2.若三棱錐A-EFD的所有頂點均在球O的球面上，則球O的體積為()A．eq\r(6)π B．6πC．8π D．8eq\r(6)πD[由題意可得AD⊥AE，AD⊥AF，AE⊥AF，且AE＝2，AF＝2，AD＝4，所以三棱錐D-AEF可補成一個長方體，如圖所示．則三棱錐D-AEF的外接球即為長方體的外接球．設長方體的外接球的半徑為R，可得2R＝eq\r(22＋22＋42)，所以R＝eq\r(6)，所以外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝8eq\r(6)π.故選D.]4．如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球，則平面ACD1截球OA．eq\f(\r(6)π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6) D．eq\f(\r(3)π,3)C[平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內切圓，因為正方體的棱長為1，所以AC＝CD1＝AD1＝eq\r(2).所以內切圓半徑r＝tan30°·AE＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),6).所以S＝πr2＝π×eq\f(1,6)＝eq\f(π,6).故選C．]5．(2025·泰安模擬)已知四面體ABCD的各頂點都在同一球面上，若AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝4eq\r(3)，平面ABD⊥平面BCD，則該球的表面積是()A．40π B．80πC．100π D．160πB[如圖，記球心為O，△BCD的外接圓圓心為O1，△ABD的外接圓圓心為O2，BD的中點為E.因為AB＝AD，所以AE⊥BD.因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE?平面ABD，所以AE⊥平面BCD.由球的性質可知，OO1⊥平面BCD，所以OO1∥AE.同理OO2∥CE，所以四邊形OO1EO2為矩形．因為AE＝CE＝eq\r(AB2－BE2)＝6，所以O1E＝O2E＝2，O1C＝4，所以OC＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以外接球的表面積為4π×(2eq\r(5))2＝80π.故選B．]6．已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，PB＝PC＝2eq\r(5)，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，則球O的表面積為()A．eq\f(316,15)π B．eq\f(79,15)πC．eq\f(158,5)π D．eq\f(79,5)πA[如圖，在三棱錐P-ABC中，AB2＋PA2＝20＝PB2，則PA⊥AB，同理PA⊥AC，而AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC，因此PA⊥平面ABC．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，則cos∠ABC＝eq\f(\f(1,2)BC,AB)＝eq\f(1,4)，sin∠ABC＝eq\r(1－cos2∠ABC)＝eq\f(\r(15),4).令△ABC的外接圓圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，O1A＝eq\f(1,2)·eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(8,\r(15))，有OO1∥PA．取PA的中點D，連接OD，OA，則有OD⊥PA，又O1A?平面ABC即O1A⊥PA從而O1A∥OD，四邊形ODAO1為平行四邊形，OO1＝AD＝1.又OO1⊥O1因此球O的半徑R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,\r(15))))2＋12＝eq\f(79,15)，所以球O的表面積S＝4πR2＝eq\f(316,15)π.故選A．]7．如圖，已知一個球內接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為3和4，球的體積為eq\f(500π,3)，則該圓臺的側面積為()A．60π B．75πC．35π D．35eq\r(2)πD[設球的半徑為R，則eq\f(4πR3,3)＝eq\f(500π,3)，所以R＝5，取圓臺的軸截面ABCD，如圖所示．設圓臺的上、下底面圓心分別為F，E，則E，F分別為AB，CD的中點，連接OE，OF，OA，OB，OC，OD，則OA＝OB＝OC＝OD＝5，由垂徑定理可知，OE⊥AB，OF⊥CD，所以OE＝eq\r(OA2－AE2)＝eq\r(52－42)＝3，OF＝eq\r(OD2－DF2)＝eq\r(52－32)＝4.由球和圓臺的結構可知，EF＝3＋4＝7，所以AD＝eq\r(72＋1)＝5eq\r(2)，因此圓臺的側面積為π(3＋4)×5eq\r(2)＝35eq\r(2)π.故選D.]8．(2025·濰坊模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直徑為6，且AB⊥BC，BCA．8 B．12C．16 D．24C[在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，所以△ABC為直角三角形則△ABC外接圓的圓心為斜邊AC的中點，同理△A1B1C1外接圓的圓心為斜邊A1C因為直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直徑為6，所以外接球的半徑R設上、下底面的中心分別為O1，O，連接O1O，則外接球的球心G為O1O的中點，連接GC，則GC＝3.設AB＝x，所以AC＝eq\r(x2＋4)，則OC＝eq\f(\r(x2＋4),2)，在Rt△COG中，OG＝eq\r(9－\f(x2＋4,4))，則OO1＝2eq\r(9－\f(x2＋4,4))＝eq\r(32－x2)，所以該棱柱的體積V＝eq\f(1,2)×2x×eq\r(32－x2)＝eq\r(x232－x2)≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋32－x2,2)))2)＝16.當且僅當x2＝32－x2，即x＝4時，等號成立．故選C．]二、多項選擇題9．已知A，B，C三點均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3)，則下列結論正確的是()A．球O的表面積為6πB．球O的內接正方體的棱長為1C．球O的外切正方體的棱長為eq\f(4,3)D．球O的內接正四面體的棱長為2AD[設球O的半徑為R，△ABC的外接圓圓心為O，半徑為r.易得r＝eq\f(2\r(3),3).因為球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3)，所以R2－eq\f(1,9)R2＝eq\f(4,3)，得R2＝eq\f(3,2).所以球O的表面積S＝4πR2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，A正確；球O的內接正方體的棱長a滿足eq\r(3)a＝2R，得a＝eq\r(2)，B不正確；球O的外切正方體的棱長b滿足b＝2R，C不正確；球O的內接正四面體的棱長c滿足c＝eq\f(2\r(6),3)R＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，D正確．故選AD.]10．已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為3，球O與圓臺的兩個底面和側面都相切，則()A．圓臺的母線長為4B．圓臺的高為4C．圓臺的表面積為26πD．球O的表面積為12πACD[設梯形ABCD為圓臺的軸截面，則內切圓O為圓臺內切球的大圓，如圖，設圓臺上、下底面圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，球O的半徑為R，則O1，O，O2共線，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，連接OD，OE，OA，則OD，OA分別平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，∠OAD＋∠ODA＝eq\f(π,2)，∠DOA＝eq\f(π,2)，由△AOE∽△ODE，故eq\f(AE,OE)＝eq\f(OE,DE)，即OE2＝DE·AE，即R2＝r1r2＝3，解得R＝eq\r(3)，母線長為r1＋r2＝4，A正確；圓臺的高為2R＝2eq\r(3)，B錯誤；圓臺的表面積為π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正確；球O的表面積為4×π×(eq\r(3))2＝12π，D正確．故選ACD.]三、填空題11．(2023·全國甲卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，C1D1的中點．以EF12[如圖，線段EF過正方體的中心，所以以EF為直徑的球的球心即正方體的中心，球的半徑為eq\f(EF,2)，而正方體的中心到每一條棱的距離均為eq\f(EF,2)，所以以EF為直徑的球與每一條棱均相切，所以共有12個公共點．]12．(2025·菏澤模擬)如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝eq\r(2)，AB＝2eq\r(2)，該棱臺的體積V＝eq\f(14\r(3),3)，則該棱臺外接球的表面積為__________.16π[如圖，連接B1D1，BD，取B1D1，BD的中點E，F，連接C1E，CF，EF，則外接球球心在直線EF上．設球心為O，連接OC，OC1，OF，則OC＝OC1＝R，則EF⊥平面ABCD.因為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝eq\r(2)，AB＝2eq\r(2)，故BD＝4，B1D1＝2，所以C1E＝1，CF＝2.設四棱臺的高為h，故eq\f(1,3)[(eq\r(2))2＋(2eq\r(2))2＋eq\r(2×8)]h＝eq\f(14\r(3),3)，解得h＝eq\r(3)，故EF＝eq\r(3).設OF＝m，則OC2＝OF2＋CF2＝m2＋4，OCeq\o\al(2,1)＝C1E2＋OE2＝12＋(eq\r(3)＋m)2，所以m2＋4＝12＋(eq\r(3)＋m)2，解得m＝0.故R＝eq\r(0＋4)＝2，故該棱臺外接球的表面積為4πR2＝16π.]13．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D．eq\r(6)πD[因為E，F分別為PA，AB的中點，所以EF∥PB．因為∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC．又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC．因為PA＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中，如圖所示．因為AB＝2，所以該正方體的棱長為eq\r(2)，所以該正方體的體對角線長為eq\r(6)，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),2)，所以球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π.故選D.]14．已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為36π，則該正四棱錐的體積最大值為()A．18 B．eq\f(64,3)C．eq\f(81,4) D．27B[如圖，設正四棱錐的底面邊長AB＝2a，高PO＝h，外接球的球心為M，則OD＝eq\r(2)a.因為球的體積為eq\f(4,3)πR3＝36π，所以球的半徑為R＝3.在Rt△MOD中，MD2＝OD2＋OM2，即32＝2a2＋(h－3)2所以正四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×4a2h＝eq\f(2,3)[9－(h－3)2]h，整理得V＝－eq\f(2,3)h3＋4h2(h＞0)，則V＝－2h2＋8h＝－2h(h－4)，當0＜h＜4時，V＞0，當h＞4時，V＜0，所以V＝－eq\f(2,3)h3＋4h2(h＞0)在(0,4)上單調遞增，在(4，＋∞)上單調遞減，所以當h＝4時，V取得最大值－eq\f(2,3)×43＋4×42＝eq\f(64,3).故選B．]15．(多選)在圓錐SO中，C是母線SA上靠近點S的三等分點，SA＝l，底面圓O的半徑為r，圓錐SO的側面積為12π，則下列說法正確的是()A．當r＝3時，過頂點S和兩條母線的截面三角形的最大面積為3eq\r(7)B．當l＝6時，從點A繞圓錐側面一周到點C的最小長度為2eq\r(13)C．當l＝6時，圓錐SO的內切球的表面積為8πD．當l＝6時，棱長為eq\f(5\r(3),3)的正四面體可以在圓錐SO內任意轉動BC[如圖，依題意可知πrl＝12π，所以rl＝12.對于A，r＝3時，l＝4，所以cos∠ASB＝eq\f(42＋42－62,2×4×4)＝－eq\f(1,8)<0，所以∠ASB為鈍角，所以過頂點S和兩條母線的截面三角形的最大面積為eq\f(1,2)×4×4＝8，故A錯誤；對于B，如圖，當l＝6時，r＝2，圓錐的高為h＝eq\r(l2－r2)＝4eq\r(2)，側面展開圖的弧長為2πr＝4π，所以圓心角∠ASC＝eq\f(4π,6)＝eq\f(2π,3)，所以AC＝eq\r(AS2＋SC2－2AS·SCcos∠ASC)＝2eq\r(13)，故B正確；對于C，設圓錐SO的內切球的球心為O1，半徑為r1，則r1＝eq\f(\f(1,2)×4×4\r(2),\f(1,2)×6＋6＋4)＝eq\r(2)，所以內切球的表面積為4πreq\o\al(2,1)＝8π，故C正確；對于D，棱長為eq\f(5\r(3),3)的正四面體A1B1C1D1，如圖所示，則正方體的棱長為eq\f(5\r(3),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(5\r(6),6)，體對角線長為eq\f(5\r(6),6)×eq\r(3)＝eq\f(5,2)eq\r(2)，所以棱長為eq\f(5\r(3),3)的正四面體A1B1C1D1的外接球半徑為r2＝eq\f(5,4)eq\r(2)，設△SAB內切圓的半徑為r3，則eq\f(1,2)×