極化恒等式的應用極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的eq\f(1,4).在平行四邊形ABDC中，O是對角線的交點，則(1)平行四邊形模式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BC,\s\up6(→))|2)．(2)三角形模式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2.(3)關聯定理之平行四邊形定理(4)推廣定理之矩形大法題型一求數量積[典例1](1)設向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b等于()A．1 B．2C．3 D．5(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為.(1)A(2)eq\f(7,8)[(1)因為a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\f(1,4)×(10－6)＝1，所以a·b＝1.(2)設eq\o(DC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝9b2－a2＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝|eq\o(FD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝b2－a2＝－1，解得b2＝eq\f(5,8)，a2＝eq\f(13,8)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4b2－a2＝eq\f(7,8).]利用極化恒等式求數量積的步驟(1)取第三邊的中點；(2)利用極化恒等式將數量積轉化為中線長與第三邊邊長的一半的平方差；(3)求中線及第三邊的長度，從而求出數量積的值．[跟進訓練]1．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4eq\r(5)，AD＝8，E，O，F為線段BD的四等分點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝___________________________.27[由題意得BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝12，所以AO＝6，OE＝3，所以由極化恒等式知eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2－eq\o(OE,\s\up6(→))2＝36－9＝27.]題型二求數量積的最值(范圍)[典例2]已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1B[法一(極化恒等式)：結合題意畫出圖形，如圖1所示，設BC的中點為D，連接AD，設AD的中點為E，連接PE，PD，則有eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→)))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2)．而eq\o(EA,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，當點P與點E重合時，eq\o(PE,\s\up6(→))2有最小值0，故此時eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值為－2eq\o(EA,\s\up6(→))2＝－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2).故選B．法二(坐標法)：如圖2，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，eq\r(3))，B(－1，0)，C(1，0)，設P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2－eq\f(3,2)，當x＝0，y＝eq\f(\r(3),2)時，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值為－eq\f(3,2).故選B．]利用極化恒等式求數量積的最值(范圍)的關鍵在于求中線長的最值(范圍)，可通過觀察圖形或用點到直線的距離等求解.[跟進訓練]2．(1)(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－5,3] B．[－3,5]C．[－6,4] D．[－4,6](2)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))滿足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，且向量eq\o(OB,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))上的投影向量為eq\o(OA,\s\up6(→)).若動點C滿足|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的最小值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(4－2\r(6),3)C．eq\f(1－\r(7),2) D．eq\f(5－2\r(7),4)(1)D(2)D[(1)由題意易知，點P是單位圓C(C為圓心)上的動點．設線段AB的中點為D，則由極化恒等式易得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\o(DA,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(25,4)，又eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\f(25,4)，即|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，故eq\o(PD,\s\up6(→))eq\o\al(2,min)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－1))2＝eq\f(9,4)，eq\o(PD,\s\up6(→))eq\o\al(2,max)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋1))2＝eq\f(49,4)，所以(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))min＝eq\f(9,4)－eq\f(25,4)＝－4，(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))max＝eq\f(49,4)－eq\f(25,4)＝6.故eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是[－4,6]．故選D.(2)如圖，根據投影向量知，OA⊥AB，則∠AOB＝60°，且AB＝eq\r(3).因為|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)，所以點C在以O為圓心，半徑r＝eq\f(1,2)的圓上運動．設M是AB的中點，由極化恒等式得eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|2－e