第5課時一元二次方程、不等式[考試要求]1.能從實際情景中抽象出一元二次不等式.2.結合二次函數(shù)圖象，會判斷一元二次方程的根的個數(shù)，以及解一元二次不等式.3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??提醒：解集的端點是二次函數(shù)的零點，也是對應一元二次方程的根．[常用結論]1．分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0≤0，,gx≠0.))2．絕對值不等式：|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集為(－a，a)．記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間．3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件要結合其對應的函數(shù)確定．(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.(√)(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.(√)(3)eq\f(x－a,x－b)≥0等價于(x－a)(x－b)≥0.(×)(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(×)二、教材經典衍生1．(人教A版必修第一冊P53練習T1改編)不等式(x－1)(x－3)>0的解集為()A．{x|x<1} B．{x|x>3}C．{x|x<1或x>3} D．{x|1<x<3}C[由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的兩根為x1＝1，x2＝3，結合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集為{x|x<1或x>3}．故選C．]2．(人教A版必修第一冊P55習題2.3T3改編)已知集合A＝{x|x2≤25}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－7)≥0))))，則A∩B＝()A．(－∞，－5] B．[－5，－1)C．[－5，－1]∪[5,7) D．[－5，－1]D[因為x2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}．因為eq\f(x＋1,x－7)≥0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x－7≥0，,x－7≠0，))解得x＞7或x≤－1，所以集合B＝{x|x＞7或x≤－1}．所以A∩B＝[－5，－1]．故選D.]3．(人教A版必修第一冊P58復習參考題2T6改編)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.{a|a≥0}[當a＝0時，不等式為3＞0，滿足題意；當a≠0時，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝a2－4aa＋3≤0，))解得a＞0.綜上可得，a的取值范圍為{a|a≥0}．]4．(人教A版必修第一冊P55練習T2改編)如圖，在長為12m，寬為10m的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求花卉帶的寬度相同且草坪面積不超過總面積的eq\f(2,3)，那么花卉帶的寬度的取值范圍是________(單位：m)．[1,5)[設花卉帶的寬度為x米，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2x<10，,0<2x<12，))所以0<x<5，因為草坪面積不超過總面積的eq\f(2,3)，所以(12－2x)(10－2x)≤eq\f(2,3)×12×10，解得1≤x<5，所以花卉帶的寬度的取值范圍是[1,5)．]考點一一元二次不等式的解法及“三個二次”之間的關系[典例1](1)若關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－2,4)，則不等式eq\f(ax＋c,bx－c)≤0的解集為_______.(2)不等式0<x2－x－2≤4的解集為________.(1)(－∞，4)∪[8，＋∞)(2){x|－2≤x<－1或2<x≤3}[(1)因為ax2＋bx＋c>0的解集為(－2，4)，所以a<0，且對應方程的根為－2和4，所以－eq\f(b,a)＝－2＋4＝2，eq\f(c,a)＝－2×4＝－8，且a<0，不等式eq\f(ax＋c,bx－c)≤0可化為eq\f(ax－8a,－2ax＋8a)≤0，則eq\f(x－8,－2x＋8)≤0，即eq\f(x－8,4－x)≤0，解得x<4或x≥8.(2)原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－2≤4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－6≤0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2或x<－1，,－2≤x≤3.))故原不等式的解集為{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．]解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式．(2)判：計算對應方程的判別式，根據判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式的解集為R或?)．(3)求：求出對應的一元二次方程的根(解集的端點對應方程的根)．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．[跟進訓練]1．(多選)已知關于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－2或x≥3}，則下列說法正確的是()A．a<0B．ax＋c>0的解集為{x|x<6}C．8a＋4b＋3c<0D．cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))ABD[關于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－2或x≥3}，故a<0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋3＝－\f(b,a)，,－2×3＝\f(c,a)，))整理得到b＝－a，c＝－6a.對于A，a<0，正確；對于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正確；對于C,8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，錯誤；對于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－eq\f(1,2)<x<eq\f(1,3)，正確．故選ABD.]考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法[典例2]解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．解：原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)<0，因為a>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.所以當a>1時，解得eq\f(1,a)<x<1；當a＝1時，解集為?；當0<a<1時，解得1<x<eq\f(1,a).綜上，當0<a<1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；當a＝1時，不等式的解集為?；當a>1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1)).[拓展變式]在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．解：當a>0時，同典例2解析；當a＝0時，原不等式等價于－x＋1<0，即x>1；當a<0時，eq\f(1,a)<1，原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x>1或x<eq\f(1,a).綜上，當0<a<1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))，當a＝1時，不等式的解集為?，當a>1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1))，當a＝0時，不等式的解集為{x|x>1}，當a<0時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,a)或x>1)).解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟[跟進訓練]2．解關于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．解：Δ＝a2－4.①當Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2時，原不等式的解集為?.②當Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2時，方程x2＋ax＋1＝0的兩根為x1＝eq\f(－a＋\r(a2－4),2)，x2＝eq\f(－a－\r(a2－4),2)，則原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－a－\r(a2－4),2)＜x＜\f(－a＋\r(a2－4),2))))).綜上所述，當－2≤a≤2時，原不等式的解集為?；當a＞2或a＜－2時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－a－\r(a2－4),2)＜x＜\f(－a＋\r(a2－4),2))))).考點三一元二次不等式恒成立問題[典例3](1)(2025·濟南模擬)若關于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(－2,2](2)若不等式ax2－x＋a>0對任意的x∈(1，＋∞)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.(3)若?a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為________.(1)D(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))(3)[－1,0]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4))[(1)當a＝2時，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化為－4<0，恒成立；當a≠2時，要使關于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切實數(shù)x恒成立，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<2，,4a－22－4a－2×－4<0，))解得－2<a<2.故－2<a≤2.故選D.(2)法一(函數(shù)法)：當a＝0時，原不等式可化為x<0，易知不合題意；當a≠0時，令f(x)＝ax2－x＋a，要滿足題意，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(1,2a)≤1，,f1≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(1,2a)>1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))>0，))解得a≥eq\f(1,2)，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).法二(分離變量法)：ax2－x＋a>0?ax2＋a>x?a>eq\f(x,x2＋1).因為x∈(1，＋∞)，eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))<eq\f(1,2)，所以a≥eq\f(1,2).(3)(變更主元法)把不等式的左端看成關于a的函數(shù)，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，則由g(a)≥0對于任意的a∈[－1,3]恒成立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1≥0，,g3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋3x＋4≥0，,3x2－5x≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤4，,x≥\f(5,3)或x≤0，))所以實數(shù)x的取值范圍為[－1,0]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4)).][拓展變式]本例(2)變?yōu)椋寒攛∈[m，m＋1]時，滿足x2＋mx－1<0，求實數(shù)m的取值范圍．解：設f(x)＝x2＋mx－1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＜0，,fm＋1＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m·m－1＜0，,m＋12＋mm＋1－1＜0，))化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＜\f(1,2)，,2m2＋3m＜0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＜m＜\f(\r(2),2)，,－\f(3,2)＜m＜0，))所以－eq\f(\r(2),2)<m<0.則實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0)).恒成立問題求參數(shù)的取值范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰的取值范圍，誰就是參數(shù)．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．(3)特別注意對二次項系數(shù)為0的討論，因為不等式不一定為一元二次不等式．[跟進訓練]3．(1)設a∈R，若關于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，則()A．a≤2 B．a≥2C．a≤eq\f(5,2) D．a≥eq\f(5,2)(2)若不等式sin2x－asinx＋2≥0對任意的x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.(1)C(2)(－∞，3][(1)由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，得eq\f(x2＋1,x)≥a在1≤x≤2上有解，則a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋1,x)))max，由于eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)，而y＝x＋eq\f(1,x)在[1,2]上單調遞增，故當x＝2時，x＋eq\f(1,x)取得最大值eq\f(5,2)，故a≤eq\f(5,2).故選C．(2)設t＝sinx，因為x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以t∈(0,1]，則不等式sin2x－asinx＋2≥0對任意的x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立，即不等式t2－at＋2≥0對任意的t∈(0,1]恒成立，即a≤eq\f(t2＋2,t)＝t＋eq\f(2,t)對任意的t∈(0,1]恒成立．由對勾函數(shù)知y＝t＋eq\f(2,t)在t∈(0,1]上單調遞減，則ymin＝1＋eq\f(2,1)＝3，所以a≤3.]課時分層作業(yè)(五)(本試卷共97分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1.（2025·廣州模擬）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（0,2） B．（0,2] C．（2，） D．[2，）D[由題意，得.因為，所以，所以實數(shù)的取值范圍是[2，）.故選D.]2．下列說法正確的是()A．eq\f(x－a,x－b)≥0等價于(x－a)(x－b)≥0B．若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0C．不等式x2≤a的解集為[－eq\r(a)，eq\r(a)]D．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)沒有實數(shù)根，則一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集為RB[A錯誤，eq\f(x－a,x－b)≥0等價于(x－a)(x－b)≥0且x≠b；B正確，根據一元二次不等式解集的形式和二次項系數(shù)的符號的關系可知其正確；C錯誤，當a＝0時，其解集為{0}，當a<0時，其解集為?；D錯誤，若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)沒有實數(shù)根，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a<0)的圖象開口向下且和x軸無交點，則一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集為?.故選B.]3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，則不等式2x2＋bx＋a<0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1}A[因為不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，所以ax2＋bx＋2＝0的兩根為－1,2，且a<0，－1＋2＝－eq\f(b,a)，(－1)×2＝eq\f(2,a)，解得a＝－1，b＝1，則不等式2x2＋bx＋a＜0可化為2x2＋x－1<0，解得－1<x<eq\f(1,2)，則不等式2x2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))).故選A．]4．(2025·濱州模擬)“x2－6x－16>0”是“x<－eq\r(5)或x>8”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[由x2－6x－16>0，解得x<－2或x>8.令集合A＝{x|x<－2或x>8}，集合B＝{x|x<－eq\r(5)或x>8}，則集合B是集合A的真子集，所以“x2－6x－16>0”是“x<－eq\r(5)或x>8”的必要不充分條件．故選B.]5．對任意的x∈(1,4)，不等式ax2－2x＋2>0都成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D[因為對任意的x∈(1,4)，都有ax2－2x＋2>0恒成立，所以a>eq\f(2x－2,x2)對任意的x∈(1,4)恒成立．設f(x)＝eq\f(2x－2,x2)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(2,x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，因為x∈(1,4)，所以eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1，所以當eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，即x＝2時，f(x)max＝eq\f(1,2)，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).故選D.]6．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分)，則矩形花園的其中一邊的長x(單位：m)的取值范圍是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]C[如圖，過點A作AH⊥BC于點H，交DE于點F，易知eq\f(DE,BC)＝eq\f(AF,AH)，即eq\f(x,40)＝eq\f(AF,40)，則AF＝x，F(xiàn)H＝40－x.所以矩形花園的面積S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30.故選C．]二、多項選擇題7．設[x]表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，則滿足關于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以為()A．eq\r(10) B．3C．－4.5 D．－5BC[因為不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0，即－4≤[x]≤3.又因為[x]表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以為3，－4.5.故選BC．]8．已知關于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集為{x|α<x<β}，且β－α<1，若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個不等實根，則下列關系式正確的有()A．a<0 B．β－x1＝x2－αC．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))<1 D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(β2－x\o\al(2,2)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α2－x\o\al(2,1)))BC[由題意得a>0，故A錯誤；因為將二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c－1的圖象上的所有點向上平移1個單位長度，得到二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，所以α＋β＝x1＋x2＝－eq\f(b,a)，即β－x1＝x2－α，B正確；如圖，又0<β－α<1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(β－α))<1，C正確；當α<β<0，x1<x2<0時，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(β－x2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α－x1))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(β＋x2))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α＋x1))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(β2－x\o\al(2,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(β－x2β＋x2))<|(α－x1)(α＋x1)|＝|α2－xeq\o\al(2,1)|，D錯誤．故選BC．]三、填空題9．不等式eq\f(x＋2,x－1)＞2的解集為________.{x|1＜x＜4}[原不等式可化為eq\f(x＋2,x－1)－2＞0，即eq\f(x＋2－2x－1,x－1)＞0，即eq\f(4－x,x－1)＞0，即(x－1)(x－4)＜0，解得1＜x＜4，所以原不等式的解集為{x|1＜x＜4}．]10．(1)若關于x的不等式2kx2＋kx＋eq\f(1,8)≤0的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是__________；(2)已知關于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，則實數(shù)a的取值范圍為________.(1)(0,1)(2)[－1,4][(1)由題意得，關于x的不等式2kx2＋kx＋eq\f(1,8)≤0的解集為空集，當k＝0時，eq\f(1,8)≤0不成立；當k≠0時，則需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝k2－k<0，))解得0<k<1.綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是(0,1)．(2)關于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需函數(shù)y＝x2－4x＋a2－3a的圖象與x軸有公共點，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，即(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以實數(shù)a的取值范圍是[－1,4]．]四、解答題11．(15分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2對于一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若a<0，解關于x的不等式f(x)<a－1.解：(1)?x∈R，f(x)≥－2恒成立等價于?x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，當a＝0時，x≥0，對一切實數(shù)x不恒成立，則a≠0，此時必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－a2－4a2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝3a2＋2a－1≥0，))解得a≥eq\f(1,3)，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).(2)依題意，因為a<0，所以f(x)<a－1，即ax2＋(1－a)x－1<0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－1)>0.當a＝－1時，－eq\f(1,a)＝1，解得x≠1；當－1<a<0時，－eq\f(1,a)>1，解得x<1或x>－eq\f(1,a)；當a<－1時，0<－eq\f(1,a)<1，解得x<－eq\f(1,a)或x>1.綜上，當a＝－1時，原不等式的解集為{x|x≠1}；當－1<a<0時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1或x>－\f(1,a)))))；當a<－1時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,a)或x>1)))).12．(15分)(2025·青島模擬)給出下列條件：①A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)>1))))；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}．集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m為常數(shù))，從①②③這三個條件中任選一個作為集合A，求解下列問題．(1)定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，當m＝0時，求A－B；(2)設條件p：x∈A，條件q：x∈B，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)選①：若x＋1>0，即x>－1時，eq\f(4,x＋1)>1，即4>x＋1，解得－1<x<3，若x＋1<0，則eq\f(4,x＋1)<0，則eq\f(4,x＋1)>1無解，所以eq\f(4,x＋1)>1的解集為(－1,3)，故A＝(－1,3)．由m＝0，可