第一章集合、常用邏輯用語、不等式第1課時集合[考試要求]1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算．1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的兩種關系：屬于和不屬于，分別用符號∈和?表示．(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法和圖示法．(4)五個特定的數集的表示集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法NN*(或N＋)ZQR2．集合間的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，有(2n－1)個真子集，有(2n－2)個非空真子集．3．集合的基本運算并集交集補集圖形表示集合表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}[常用結論]1．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).3．(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B).一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}.(×)(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(×)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(×)(4)直線y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點組成的集合是{1,4}．(×)二、教材經典衍生1.(人教A版必修第一冊P8例1改編)集合A＝{2,3,4}的子集有()A．4個 B．6個C．8個 D．9個C[A＝{2,3,4}的子集個數為23＝8，故選C.]2．(多選)(人教A版必修第一冊P5習題1.1T1改編)若集合A＝{x|x2－1＝0}，則下列結論正確的是(ABC)A．1∈A B．{－1}?AC．??A D．{－1,1}?A3．(人教A版必修第一冊P35T9改編)(2023·新高考Ⅱ卷)設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C．eq\f(2,3) D．－1B[依題意，有a－2＝0或2a－2＝0，當a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不滿足A?B；當2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，滿足A?B.所以a＝1.故選B.]4．(人教A版必修第一冊P14T4改編)設全集為R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)·(x－10)＜0}，則?R(A∪B)＝______，(?RA)∩B＝______.{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或9≤x＜10}[由題意，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|2＜x＜10}，可得A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．又由?RA＝{x|x＜3或x≥9}，所以(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或9≤x＜10}．]考點一集合的概念[典例1](1)已知集合A＝{1,2,3}，則B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的個數為()A．2 B．4C．6 D．8(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________.(1)C(2)－eq\f(3,2)[(1)因為A＝{1,2,3}，所以B＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，即B中含6個元素．故選C.(2)由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－eq\f(3,2).當m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據集合中元素的互異性可知不滿足題意；當m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，符合題意，故m＝－eq\f(3,2).]解決集合含義問題的注意點一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．[跟進訓練]1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，若M＝{x|x∈P且x?Q}，則M＝()A．{1} B．{2}C．{1,2} D．{1,2,3}(2)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x－2)∈Z))))，則集合A中的元素個數為()A．3 B．4C．5 D．6(1)A(2)C[(1)因為P＝{1,2}，Q＝{2,3}，M＝{x|x∈P且x?Q}，所以M＝{1}．故選A.(2)因為eq\f(4,x－2)∈Z，所以x－2的取值有－4，－2，－1，1,2,4，所以x的值分別為－2,0,1,3,4,6，又x∈N，故x的值為0,1,3,4,6.故集合A中有5個元素．]考點二集合間的基本關系[典例2](1)設M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))，則()A．MN B．NMC．M＝N D．M∩N＝?(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實數m的取值范圍是________.(1)B(2)[－1，＋∞)[(1)因為x＝k＋eq\f(1,2)＝eq\f(2k＋1,2)，k∈Z，所以2k＋1為奇數，故NM.故選B.(2)①當B＝?時，2m－1>m＋1，解得m>2；②當B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))解得－1≤m≤2.綜上，實數m的取值范圍是[－1，＋∞)．]已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等直觀表示解決這類問題的過程，特別注意端點值的取舍，也就是“＝”加不加．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．[跟進訓練]2．(1)(2025·菏澤模擬)設集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，則實數a取值集合的真子集的個數為()A．2 B．3C．7 D．8(2)設集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝eq\r(x－1)}，若ACB，寫出一個符合條件的集合C，則C＝________.(1)C(2){x|1≤x≤4}(答案不唯一)[(1)由x2－8x＋15＝0，得(x－3)(x－5)＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3,5}．當a＝0時，B＝?，滿足B?A；當a≠0時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，因為B?A，所以eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，得a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).綜上，實數a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5)))，所以實數a取值集合的真子集的個數為23－1＝7.故選C.(2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，若ACB，則可有C＝{x|1≤x≤4}．]考點三集合的基本運算集合的運算[典例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}(2)(2024·全國甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|eq\r(x)∈A}，則?A(A∩B)＝()A．{1,4,9} B．{3,4,9}C．{1,2,3} D．{2,3,5}(1)C(2)D[(1)因為x2－x－6≥0，所以(x－3)·(x＋2)≥0，所以x≥3或x≤－2，N＝{x|x≤－2，或x≥3}，則M∩N＝{－2}．故選C.(2)因為A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|eq\r(x)∈A}，所以B＝{1,4,9,16,25,81}，則A∩B＝{1,4,9}，?A(A∩B)＝{2,3,5}．故選D.]利用集合的運算求參數[典例4]已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實數a的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．(－∞，－2]C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4]D[由題可得，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，由A∪B＝B可得A?B，作出數軸如圖．可知－eq\f(a,2)≥2，即a≤－4.]解決集合運算問題的注意點(1)看元素構成，集合中元素是數還是有序數對，是函數的自變量還是函數值．(2)對集合進行化簡，即解不等式，解方程，求定義域、值域等，通過化簡可以使問題變得簡單明了．(3)注意數形結合思想的應用，集合運算常用的數形結合形式有數軸和Venn圖．(4)端點值驗證．[跟進訓練]3．(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，則A∩B＝()A．{－1,0} B．{2,3}C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2}(2)已知集合A＝{－2,0,2,4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為.(1)A(2)5[(1)因為A＝{x|－eq\r(3,5)<x<eq\r(3,5)}，B＝{－3，－1,0,2,3}，且1<eq\r(3,5)<2，所以A∩B＝{－1，0}．故選A.(2)由A∩B＝A，則A?B.由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－3))≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4≤m＋3，,－2≥－m＋3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥1，,m≥5，))解得m≥5，故m的最小值為5.]考點四Venn圖的應用及創新性問題[典例5](1)如圖所示，A，B是非空集合，定義集合A⊕B為陰影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，則A⊕B＝______________.(2)某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26,15,13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有人．(1)[0,1]∪(2，＋∞)(2)8[(1)由題可知B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝(1,2]．由題意得A⊕B＝?A(A∩B)∪?B(A∩B)＝[0,1]∪(2，＋∞)．(2)設參加數學、物理、化學小組的人構成的集合分別為A，B，C，同時參加數學和化學小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖．由全班共36名同學可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同時參加數學和化學小組的有8人．]Venn圖具有形象直觀的特征，應用Venn圖可以解決兩大類問題：一是處理部分有限集合的元素個數的計數問題；二是解決抽象集合的運算問題或判斷集合間的關系問題．[跟進訓練]4．(1)已知集合P，Q均為R的子集，且(?RQ)∪P＝R，則()A．P∩Q＝R B．P?QC．Q?P D．P∪Q＝R(2)某中學為了解本校學生閱讀《西游記》和《紅樓夢》的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，既閱讀過《西游記》又閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則閱讀過《西游記》的學生人數為()A．60 B．70C．80 D．90(1)C(2)B[(1)如圖所示，集合P，Q均為R的子集，且滿足(?RQ)∪P＝R，所以Q?P.(2)根據題意作出Venn圖如下，所以閱讀過《西游記》的學生人數為10＋60＝70.故選B.]課時分層作業(一)(本試卷共68分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，則M∪N＝()A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4}C[由集合的運算，得M∪N＝{x|－3<x<4}．]2．（2025·清遠模擬）已知集合，集合，則（）A． B.C． D.C[∵，，∴故選C．]3．(2025·濟南模擬)設集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，則集合M的真子集個數為()A．8 B．7C．4 D．3B[集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}＝{x|(x－3)(x＋1)<0，x∈Z}＝{0,1,2}，則集合M中元素個數為3，故集合M的真子集個數為23－1＝7.故選B.]4．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B?A，則實數m＝()A．2 B．1C．1或2 D．0或1或2D[因為A＝{1,2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B?A，則B＝?或B＝{1}或B＝{2}，當B＝?時，m＝0，當B＝{1}時，m＝2，當B＝{2}時，m＝1.故選D.]5．若集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，B＝{(x，y)|y>x}，則集合A∩B中的元素個數為()A．0 B．1C．2 D．3C[因為A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}＝{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}，B＝{(x，y)|y>x}，所以A∩B＝{(0,4)，(1,3)}，即集合A∩B中含有2個元素．故選C.]6．(2025·菏澤模擬)若集合A＝{x|y＝eq\r(x)}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，則()A．A∩B＝? B．A∪B＝RC．B?A D．A?BC[因為A＝{x|y＝eq\r(x)}＝[0，＋∞)，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝[1，＋∞)，所以B?A.故選C.]二、多項選擇題7．已知非空集合M滿足：①M?{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，則x2∈M.則集合M可能是()A．{－1,1} B．{－1,1,2,4}C．{1} D．{1，－2,2}AC[由題意可知3?M且4?M，而－2或2與4同時出現，所以－2?M且2?M，所以滿足條件的非空集合M有{－1,1}，{1}．]8．若非空集合M，N，P滿足：M∩N＝N，M∪P＝P，則()A．P?M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩?PN＝?BC[由M∩N＝N可得N?M，由M∪P＝P，可得M?P，則推不出P?M，故選項A錯誤；由M?P可得M∩P＝M，故選項B正確；因為N?M且M?P，所以N?P，則N∪P＝P，故選項C正確；由N?M可得M∩?PN不一定為空集，故選項D錯誤．故選BC.]三、填空題9．已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，則實數m＝________.0或3[因為A∪B＝A，所以B?A.因為A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.當m＝0時，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合題意；當m＝1時，集合A、集合B均不滿足集合元素的互異性，不符合題意；當m＝3時，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合題意．綜上，m＝0或3.]10．某小學對小學生的課外活動進行了調查．調查結果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動的有15人．則接受調查的小學生共有________人．120[如圖所示，用Venn圖表示題設中的集合關系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學生分別用集合A，B，C表示，則card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24.不妨設總人數為n，Venn圖中三塊區域的人數分別為x，y，z，即card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46.由Venn圖可知，n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120.]11．設M，P是兩個非空集合，規定M－P＝{x|x∈M且x?P}，根據這一規定，M－(M－P)等于()A．M B．PC．M∪P D．M∩PD[由題意，M－(M－P)＝{x|x∈M且x?(M－P)}，用venn圖表示集合M，P的關系如圖：陰影部分表示M－P