第12講直線與圓、圓與圓的位置關系目錄TOC\o"1-2"\h\u第12講直線與圓、圓與圓的位置關系 1一、直線與圓的位置關系 2基礎知識 2考點1直線與圓的位置關系 5考點2求解圓的切線問題及切線方程 6考點3圓的弦長 8考點4直線與部分圓的相交 10考點5直線與圓有關的最值 13二、圓與圓的位置關系 17基礎知識 17考點6圓與圓的位置關系 20考點7由圓與圓的位置關系確定參數 21考點8兩圓相切 22考點9兩圓的公共弦 25考點10直線與圓、圓與圓的位置關系的應用 27三、課后作業 32單選題 32多選題 34填空題 36解答題 37

一、直線與圓的位置關系基礎知識1．直線與圓的位置關系及判定方法(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點個數兩個一個零個圖形d與r的關系d<rd=rd>r方程組

解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無解(2)直線與圓的位置關系的判定方法

①代數法：通過聯立直線方程與圓的方程組成方程組，根據方程組解的個數來研究，若有兩組不同的實數解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數解，即=0，則直線與圓相切；若無實數解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當d<r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d>r時，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點引圓的切線的條數：

①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

③若點在圓內，則過此點不能作圓的切線.

(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：

①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關系可知切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.②重要結論：a.經過圓上一點P的切線方程為.

b.經過圓上一點P的切線方程為.

c.經過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為.3．圓的弦長問題設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關系式：.(2)代數法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.

①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數的關系可得或的關系式，通常把或叫作弦長公式.4．解與圓有關的最值問題(1)利用圓的幾何性質求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據條件列出所求目標——函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用參數法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.5．直線與圓的方程的應用(1)解決實際問題的步驟：①審題：認真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數據；②建系：建立適當的平面直角坐標系，通過點的坐標及已知條件，求出幾何模型的方程；③求解：利用直線、圓的性質等有關知識求解；④還原：將運算結果還原為對實際問題的解釋.(2)建系原則

建立適當的平面直角坐標系要把握兩個原則：

①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標原點，對稱軸所在的直線為坐標軸.到兩個定點的距離問題，可以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標軸上.如與三角形有關的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標軸上.考點1直線與圓的位置關系【例1.1】（23-24高二上·廣西南寧·階段練習）直線2x+y+4=0與圓x2A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心C．相切 D．相離【解題思路】求出圓心到直線的距離，與半徑比較大小，即可得到結論.【解答過程】圓x2+y其圓心坐標為0,1，半徑為r=5圓心到直線2x+y+4=0的距離d=1+4直線與圓的位置關系為相切.故選：C.【例1.2】（23-24高二上·天津濱海新·階段練習）直線l：y=x+2與圓C：x2+y?1A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【解題思路】根據圓心到直線的距離判斷即可.【解答過程】圓C：x2+y?12=5故圓心到直線的距離d=0?1+2所以直線與圓相交，故選：A.【變式1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）若直線l:ax+y=1與圓x2+y2=1A．43 B．?43 C．0 【解題思路】根據題意，結合圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出方程，即可求解.【解答過程】因為直線l:ax+y=1與圓x2可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，即?1a2+1故選：C.【變式1.2】（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習）設a,b為實數，若點P(a,b)在圓x2+y2=1外，則直線ax+by=1A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【解題思路】根據點在圓外可得a2【解答過程】點P(a,b)在圓x2+y圓心0,0到直線的距離為1a故選：C.考點2求解圓的切線問題及切線方程【例2.1】（23-24高二上·河北承德·階段練習）過點P2,3引圓x2+A．x=2 B．12x?5y+9=0C．x=2或y=3 D．x=3或y=2【解題思路】求出圓心和半徑，考慮切線的斜率不存在和存在兩種情況，結合圓心到直線距離等于半徑，得到方程，求出答案.【解答過程】根據題意，圓x2+y其圓心為1,2，半徑r=1；過點P2,3引圓x若切線的斜率不存在，切線的方程為x=2，符合題意；若切線的斜率存在，設其斜率為k，則有y?3=kx?2，即kx?y+3?2k=0則有|1?k|1+k2=1，解得k=0，此時切線的方程為綜上：切線的方程為x=2和y=3．故選：C．【例2.2】（23-24高三上·云南曲靖·階段練習）過點P0,2作圓C:x2?4x+y2+3=0的兩條切線，設切點為AA．14 B．142 C．144 【解題思路】先求PC以及切線長，再根據等面積法即可得結果.【解答過程】圓C:x2?4x+易知PC=22，圓C的半徑r=1，所以切線長所以四邊形PACB的面積為SPACB所以根據等面積法知：SPACB所以AB=故選：B．【變式2.1】（23-24高二上·重慶北碚·階段練習）過點A2,3作圓M:x2+y2=1A．3 B．23 C．7 D．【解題思路】先求得圓M的圓心坐標和半徑，再利用切線長定理即可求得AB的值.【解答過程】因為圓M:x所以圓M的圓心為M(0,0)，半徑為r=1，因為AB與圓M相切，切點為B，所以AB⊥BM，則AB2因為AM=所以AB=故選：B.【變式2.2】（23-24高二上·北京東城·期中）已知圓M:x2+y2?2x?2y?2=0，直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點，過點P作圓M的切線PA，PB，且切點為A，A．2 B．5 C．3 D．4【解題思路】|PM||AB|最小值滿足四邊形PAMB的面積最小，可轉化為動點P到點M的距離最小值，即可求解．【解答過程】∵圓M:x∴(x?1)2+如圖所示，

連接AM，BM，四邊形PAMB的面積為12要使|PM||AB|最小，則只需四邊形PAMB的面積最小，即只需△PAM的面積最小，∵|AM|=2，∴只需|PA|最小，|AM|=|PM所以只需直線2x+y+2=0上的動點P到點M的距離最小，其最小值是圓心到直線的距離d=|2+1+2|此時PM⊥l，|PA|=1，則此時四邊形PAMB的面積為2，即|PM||AB|的最小值為4．故選：D．考點3圓的弦長【例3.1】（23-24高二上·廣東·階段練習）直線x?y+3=0被圓x2+yA．5 B．25 C．5 【解題思路】判斷出圓心在直線上即可求解.【解答過程】圓x2+y2+2x?4y=0顯然圓心在直線x?y+3=0上，故直線被圓所截得的弦即為圓的直徑，長為25故選:B．【例3.2】（23-24高二上·吉林·階段練習）已知直線x+2y=0與圓M：x2+y2?2x?4y?2=0交于A，BA．2 B．22 C．23【解題思路】利用半弦長、半徑、弦心距的關系，即可得到弦長.【解答過程】由題意得圓M：x?12則圓心M到直線x+2y=0的距離為1+2×21所以AB=2故選：B.【變式3.1】（23-24高二上·安徽蚌埠·階段練習）如圖，圓x2+y2=8內有一點P0?1,1，AB為過點P0的弦，若弦

A．x+y?2=0 B．x?2y+5=0C．x?y+2=0 D．x+2y?15=0【解題思路】由題意，AB⊥OP，則kAB=?1【解答過程】圓x2+y2=8弦AB被點P0平分時，AB⊥OP，則k直線AB過點P0，方程為y?1=x+1，即x?y+2=0故選：C.【變式3.2】（23-24高二上·陜西西安·階段練習）圓x2+y2?2x+4y?4=0與直線x+my+2m?2=0(m∈R)交于AA．2 B．25 C．6 D．【解題思路】根據圓的一般方程求出圓的圓心和半徑，再求出直線過定點，利用弦長公式和幾何關系求最值.【解答過程】圓x2+y2?2x+4y?4=0直線x+my+2m?2=0化為my+2+x?2=0，令x?2=0y+2=0所以直線過定點2,?2，設圓心為C1，?2，直線過定點為D2,?2，根據幾何關系可知，圓心到直線距離的最大值為故選：D.考點4直線與部分圓的相交【例4.1】（23-24高二上·河南許昌·階段練習）直線y=x+b與曲線y=1?x2有兩個交點，則實數bA．?2,2C．1,2 D．【解題思路】由題可知曲線表示一個半圓，然后利用數形結合即可.【解答過程】由曲線y=1?x2當直線y=x+b與半圓y=1?x2相切時，b此時直線為y=x+2當直線y=x+b過點0,1時，b=1，此時直線為y=x+1，要使直線y=x+b與曲線y=1?x2有兩個交點，則b故選：C.【例4.2】（23-24高二上·江蘇·期中）若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?(y?1)2A．43,2 C．?2,43∪【解題思路】先求出直線l:kx?y?2=0所過的定點(0,?2)，再將曲線1?(y?1)2=x?1轉化為x?1【解答過程】直線l:kx?y?2=0恒過定點將1?(y?1)2=x?1∴曲線C:1?(y?1)2=x?1表示以(1,1)為圓心，半徑為1，且位于直線x=1右側的半圓（包括點當直線l經過點(1,0)時，l與曲線C有兩個不同的交點，此時k=2，直線記為l1當l與半圓相切時，由|k?3|k2+1=1，得當43<k≤2時，l與曲線故選：A.【變式4.1】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）若直線y=mx?2m和曲線y=1?x2有兩個不同的交點，則實數mA．0,33 B．?33,0 【解題思路】由直線過定點2,0以及曲線形狀，由直線和圓的位置關系利用點到直線距離公式可得?3【解答過程】易知直線y=mx?2m過定點2,0，曲線y=1?x2當直線與半圓相切時可得d=?2m1+m結合圖象可得m=?3若直線y=mx?2m和曲線y=1?x2即實數m的取值范圍是?3故選：B.【變式4.2】（23-24高二上·內蒙古赤峰·階段練習）曲線y=4?x2與直線y=kx?2+4A．512,1 C．34,1 【解題思路】畫出圖象，轉化為直線與半圓的交點問題，數形結合來進行求解.【解答過程】根據題意畫出圖形，如圖所示:

由題意可得，曲線y=4?x2的圖象為以0,0為圓心，2為半徑的半圓，直線l由圖當直線l與半圓相切時，圓心到直線l的距離d=r，即4?2k1+k2當直線l過B?2,0點時，直線l的斜率k=則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數k的取值范圍為34故選:C.考點5直線與圓有關的最值【例5.1】（23-24高三上·四川綿陽·階段練習）已知圓C：x(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；(2)從圓C外一點Px,y向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且PM=PO【解題思路】（1）分切線過原點或切線的斜率為?1兩種情況說明，利用點到直線的距離等于半徑列方程求解即可；（2）先利用切線長公式及PM=PO得到x,y的關系，再代入PO=【解答過程】（1）圓C的方程為：x+12+y?22=2當圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時，切線過原點或切線的斜率為?1，當切線過原點時，設切線方程為y=kx，則?k?21+k2當切線斜率為?1時，設切線方程為x+y+b=0，則?1+2+b1+1=2，解得故所求切線的方程為y=2±6x或x+y+1=0（2）由圓的切線長公式可得PM2又PM=PO，得整理得2x?4y+3=0，即x=2y?3此時PO=當且僅當y=35，即P?310【例5.2】（23-24高二上·浙江金華·階段練習）已知圓C：x2+y2?2y=0，過直線l：x+y+1=0上任意一點P，作圓的兩條切線，切點分別為A(1)求點Q到直線l的距離的最大值；(2)求｜AB｜的最小值.【解題思路】（1）根據圓心到直線的距離即可求解，（2）根據勾股定理，結合銳角三角函數可得AB=21?1【解答過程】（1）圓C：x2+y圓心C0,1到直線l：x+y+1=0所以圓上的點Q到直線l的距離的最大值為R+d=1+（2）AB=2故當PC最小時，此時AB最小，又（1）知PC的最小值為d=2，故AB【變式5.1】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知Mx,y，A1,2，B?2,?1，且MA(1)求MQ的最大值和最小值；(2)求y?2x?2(3)求y?x的最大值和最小值．【解題思路】（1）由MA=2MB（2）將問題轉化為直線與圓有交點問題，結合點到直線的距離公式計算；（3）將問題轉化為直線與圓相切問題，結合點到直線的距離公式計算.【解答過程】（1）由題意，因為MA=所以x?12整理得x+52所以點M的軌跡為以?5,?4為圓心，6為半徑的圓.所以點?5,?4到Q?2,2的距離為?5+2所以MQ的最小值為35?6，最大值為（2）設y?2x?2=k，則由題意kx?y?2k+2=0與x+52所以|?5k+4?2k+2|k解得0≤k≤84所以y?2x?2的最大值為84（3）設y?x=b，則x?y+b=0當直線與圓相切時，截距b取到最值，所以|?5+4+b|2=6，解得b=1?62所以y?x的最大值為1+62，最小值為1?6【變式5.2】（23-24高二上·海南儋州·期中）直線l:m+1x+2m+1(1)求出定點P的坐標.當直線l被圓C截得的弦最短時，求此時l的方程；(2)設直線l與圓C交于A,B兩點，當△ABC的面積最大時，求直線l方程.【解題思路】（1）將直線化為mx+2y?7+x+y?4=0，令x+2y?7=0x+y?4=0即可求解；當l與PC垂直時，直線l（2）方法1：當CP⊥l時，sin∠ACB有最大值，此時面積有最大值；方法2：根據垂徑定理與點到直線的距離公式將面積轉化為關于點到直線的距離d【解答過程】（1）由題意知l可化為mx+2y?7故x+2y?7=0x+y?4=0，解得x=1y=3，即P1,3,∴直線因為C:x?3所以圓C的圓心為3,2，半徑r=4，如圖所示：kPC當直線l被圓截得的弦長最短時，l與PC垂直，∴k∴y?3=2x?1，即2x?y+1=0（2）方法1，∵SABC=∴當CP⊥l時sin∠ACB此時，l與PC垂直，kPC=2?3∴y?3=2x?1，即2x?y+1=0方法2，設圓心到直線AB的距離為d，則AB=2∴S當d2由d2=5，d=m+1?3∴l:2x?y+1=0.

二、圓與圓的位置關系基礎知識1．圓與圓的位置關系及判斷方法(1)圓與圓的位置關系圓與圓有五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含，其中外離和內含統稱為相離，外切和內切統稱為相切.(2)圓與圓的位置關系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關系表示如下：位置關系關系式圖示公切線條數外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1-r2|<d<r1+r2兩條內切d=|r1-r2|一條內含0≤d<|r1-r2|無②代數法：聯立兩圓方程，根據方程組解的個數即可作出判斷.

當>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當=0時，兩圓只有一個公共點，包括內切與外切；當<0時，兩圓無公共點，包括內含與外離.2．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；

②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；

③相交時，有2條公切線，都是外公切線；

④內切時，有1條公切線；

⑤內含時，無公切線.

判斷兩圓公切線的條數,實質就是判斷兩圓的位置關系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，從而確定公切線的條數，然后利用待定系數法，設公切線的方程為y=kx+b，最后根據相切的條件，得到關于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.3．兩圓的公共弦問題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.設圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長的方法

①代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長.4．圓系方程及其應用技巧具有某些共同性質的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見的圓系方程有以下幾種：

(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.

(2)與圓同心的圓系方程是.

(3)過同一定點(a,b)的圓系方程是.

(4)過直線Ax+By+C=0與圓的交點的圓系方程是.(5)過兩圓:和:的交點的圓系方程是().(其中不含有:,注意檢驗是否滿足題意,以防漏解).①當時，l:為兩圓公共弦所在的直線方程.②當兩圓相切(內切或外切)時，l為過兩圓公共切點的直線方程.考點6圓與圓的位置關系【例1.1】（23-24高二上·甘肅慶陽·期末）圓M：x?12+y2=4A．相交 B．內切 C．外切 D．相離【解題思路】求出兩圓的圓心距，則有R?r<MN【解答過程】圓M的圓心為M1,0，半徑為r=2；N:則圓N的圓心為N?2,?1，半徑為R=兩圓心之間的距離MN=且滿足R?r<MN故選：A.【例1.2】（23-24高二上·北京·期中）圓C1:x2+A．外離 B．外切 C．相交 D．內切【解題思路】根據圓心距與半徑的關系判斷.【解答過程】由題意，圓C1:x2+圓C2:(x?3)2+所以兩圓圓心距|C故選：B.【變式1.1】（23-24高一上·陜西延安·階段練習）圓x2+y2=1A．相交 B．相離C．內含 D．外切【解題思路】首先得到兩圓的圓心坐標與半徑，再求出圓心距，即可判斷.【解答過程】圓x2+y2=1圓x2+y2?2x?2y=0即x?1所以O1O2所以兩圓相交.故選：A.【變式1.2】（2024高二上·江蘇·專題練習）圓C1:xA．外切 B．相交C．內切 D．內含【解題思路】將圓的方程化為標準方程，結合圓心距以及兩半徑之間的關系即可得解.【解答過程】兩圓的標準方程分別為x2+y?1圓心分別為0,1,3,0故選：C．考點7由圓與圓的位置關系確定參數【例2.1】（23-24高二上·四川成都·階段練習）已知兩圓x2+y2=1和xA．1,15 B．1,15 C．3,5 D．3【解題思路】根據圓與圓的位置關系求參數范圍.【解答過程】由圓x2+y2=1由圓x2+y?a2=16(a>0)，設圓心C所以r2?r故選：C.【例2.2】（23-24高二上·四川達州·階段練習）已知圓C1:x2+y2A．?9 B．?11 C．9 D．11【解題思路】根據圓的方程確定圓心和半徑，結合圓與圓的位置關系即可求解.【解答過程】圓C1:x圓C2:x則其圓心及半徑為：C2(4,?3),r2=因為圓C1與圓C2相內切，所以|C1C故選：B.【變式2.1】（23-24高二上·全國·期末）若圓(x?a)2+y2=1(a≥0)與圓xA．[0,23] B．[1,5] C．[23【解題思路】根據題意得到兩圓位置關系，從而得到不等式，解出即可.【解答過程】圓(x?a)2+y2=1圓x2+(y?2)2=25因為兩圓有公共點，所以兩圓相切或相交，則有r2即4≤a2+4≤6，解得12≤a故選：C.【變式2.2】（23-24高二上·天津·階段練習）若圓C1:x2+y2A．9 B．11 C．1 D．21【解題思路】先求出兩圓圓心和半徑，再根據兩圓外切可得兩圓圓心距等于半徑之和，進而列出方程求解即可.【解答過程】由圓C1:x2+由圓C2:x則圓心C23,4，半徑r2=25?m因為兩圓外切，所以C1C2=r故選：A.考點8兩圓相切【例3.1】（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習）兩圓C1:x2+y2A．1 B．2 C．3 D．0【解題思路】先判斷出兩圓外切，從而得到公切線條數.【解答過程】C1:xC2:(x+3)則圓心距C1故公切線有3條.故選：C.【例3.2】（2024高二上·河北·學業考試）若直線l與圓C1:x+12+y2=1，圓C2A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】設直線l交x軸于點M，推導出C1為MC2的中點，A為BM【解答過程】如下圖所示，設直線l交x軸于點M，由于直線l與圓C1:x+12+y2則AC1⊥l，B∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故選：C.【變式3.1】（23-24高三上·重慶·階段練習）已知圓C1:x2+y2+4x+3=0，圓A．3x+3y=0 B．C．x+35y+8=0 【解題思路】利用點到直線的距離公式逐項驗證即可.【解答過程】由題意知：C1所以圓C1的圓心為(?2,0)，半徑為1；圓C2的圓心為對于A，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線3x+3y=0對于B，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線3x?3y=0對于C，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線x+35對于D，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d即直線x?35故選：D.【變式3.2】（23-24高二上·廣西玉林·期中）已知圓C1：x2+y2=1，圓A．圓C1與圓C2B．圓C1與圓CC．x=?1是圓C2與圓CD．圓C1與圓C2上均恰有兩點到直線【解題思路】根據兩圓圓心距離等于半徑和即可得兩圓外切判斷AB，根據直線與兩圓都相切判斷C，根據圓心到直線距離等于半徑判斷D.【解答過程】由條件可得：圓C1：x2+y2圓C2：x?32+y?42因為C1C2=3對于選項C，圓心C10,0到直線x=圓心為C23,4到直線x=所以x=?1是圓C對于選項D，圓心C10,0到直線3x+4y?5=0的距離所以圓C1：x

故選：C.考點9兩圓的公共弦【例4.1】（23-24高二上·四川成都·期中）圓x2+y2?4=0A．2 B．22 C．32 【解題思路】求出圓的公共弦所在直線，利用圓中半徑、半弦長、圓心距之間的關系求弦長.【解答過程】兩圓方程作差可得：?4x+4y?8=0，即兩圓公共弦所在直線方程為x?y+2=0，因為圓x2+y2?4=0所以圓心到公共弦所在直線距離d=0?0+2故弦長為l=2r故選：B.【例4.2】（23-24高二上·浙江臺州·期中）圓C1：x2+y2?2x+10y?24=0與圓A．x+2y+4=0 B．2x?4y+9=0C．x?2y+4=0 D．2x?y?4=0【解題思路】將兩圓方程作差即可得相交弦方程.【解答過程】由C1:(x?1)2+由C2:(x+1)2+所以32將兩圓方程作差得x2+y所以公共弦所在直線方程為2x?4y+9=0.故選：B.【變式4.1】（23-24高二上·海南海口·期中）圓C1：x2+y2?8x+2y+1=0與圓C2：x2+A．23 B．22 C．85【解題思路】判斷兩圓相交，求出公共弦所在直線方程，再利用圓的弦長公式計算得解.【解答過程】圓C1：(x?4)2+(y+1)2=16的圓心C1(4,?1)，半徑r1顯然|C1C2|=2把圓C1與圓C2的方程相減得直線AB的方程8x?4y?4=0，即點C2(0,1)到直線AB的距離d=2故選：C.【變式4.2】（23-24高二上·福建莆田·期中）圓O1:x2+y2=4和圓A．公共弦AB所在直線方程為x?2y+1=0B．公共弦AB的長為4C．線段AB中垂線方程為2x?y=0D．∠A【解題思路】A選項，根據兩圓的方程求公共弦所在直線的方程；B選項，利用勾股定理求弦長；C選項，根據圓的性質得到線段AB中垂線過圓心O1，然后求直線方程；D選項，利用余弦定理得到cos∠AO【解答過程】聯立兩圓的方程得到2x?4y+4=0，即x?2y+2=0，所以公共弦AB所在的直線方程為x?2y+2=0，故A錯；由O1：x2+y2=4得O10,0，半徑r1由直線AB的方程得線段AB中垂線的斜率為-2，根據圓的性質得線段AB中垂線過圓心O1，所以中垂線方程為：y=?2x，即2x+y=0圓O2的方程可整理為x+12+在三角形AO2B中，根據余弦定理得cos故選：D.考點10直線與圓、圓與圓的位置關系的應用【例5.1】（23-24高二上·廣東潮州·期中）某圓拱梁的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時，每隔3m需要一個支柱支撐，求支柱A2P2【解題思路】根據題意建立平面直角坐標系，設出圓的一般方程并利用待定系數法求出圓方程，代入點P2的橫坐標即可求出支柱A【解答過程】以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中點O為坐標原點，建立直角坐標系xOy，易知點A，B，P的坐標分別為?18,0,18,0設圓拱所在的圓的方程是x2因為點A，B，P在所求的圓上，所以182?18D+F=0182故圓拱所在的圓的方程是x2+將點P2的橫坐標x=6代入上述方程，解得y=?24+12即支柱A2【例5.2】（23-24高二上·重慶云陽·階段練習）如圖，已知一艘海監船O上配有雷達，其監測范圍是半徑為25km的圓形區域，一艘外籍輪船從位于海監船正東40km的A處出發，徑直駛向位于海監船正北30km的B(1)求外籍船航行路徑所在的直線方程；(2)這艘外籍輪船能否被海監船監測到？若能，持續時間多長？【解題思路】（1）首先以O為原點，東西方向為x軸，南北方程為y軸，建立平面直角坐標系，再利用截距式求解直線方程即可；（2）利用直線與圓的位置關系和弦長公式即可得到答案.【解答過程】（1）以O為原點，東西方向為x軸，南北方程為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示:則A(40,0),B(0,30)，則直線AB:x40+外籍船航行路徑所在的直線方程為:3x+4y?120=0;（2）點O到直線AB的距離d=|120|所以外籍輪船能被海監船監測到；檢測路線的長度l=2r則檢測時間t=14所以外籍輪船被監測到的持續時間為12【變式5.1】（23-24高二上·安徽阜陽·期中）某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為1米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實線表示），建筑物的東西兩側有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示），觀景直道與輔道距離52米.在建筑物底面中心O的北偏東45°方向52米的點A(1)在西輔道上與建筑物底面中心O距離2米處的游客，是否在攝像頭監控范圍內？(2)求觀景直道不在攝像頭的監控范圍內的長度.【解題思路】（1）建立坐標系，利用直線和圓的位置關系可以判斷；（2）根據直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點可得范圍.【解答過程】（1）設O為原點，正東方向為x軸，建立平面直角坐標系，O0,0因為OA=52,∠AOx=45依題意得，游客所在位置為B?2,0，即k則直線AB的方程為y=57x+2所以圓心O到直線AB的距離d=10所以直線AB與圓O相離，所以游客在該攝像頭的監控范圍內.（2）由圖知，過A的直線與圓O相切或相離時，攝像頭監控不會被建筑物擋住，所以設直線l過點A且和圓相切，①若直線l垂直于x軸，則直線l不會和圓相切；②若直線l不垂直于x軸，設l:y?5=kx?5，整理得l:kx?y+5?5k=0所以圓心O到直線l的距離為5?5kk2+1=1，解得所以l:y?5=34x?5即3x?4y+5=0或4x?3y?5=0，觀景直道所在直線方程為y=?5設兩條直線與y=?52的交點為由3x?4y+5=0y=?52由4x?3y?5=0y=?52所以DE=即觀景直道不在該攝像頭的監控范圍內的長度為4.375米.【變式5.2】（23-24高二上·河北·期中）如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系．

(1)求該圓弧所在圓的方程；(2)若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）【解題思路】（1）根據圓的幾何性質確定圓心的位置，結合垂徑定理與勾股定理求圓心與半徑，即可圓弧所在圓的方程；（2）確定汽車通過的最大寬度，再分析可得最多可以并排通過該種汽車數量.【解答過程】（1）由圓的對稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，設該圓的半徑為r米，則r2=8故該圓弧所在圓的方程為x2（2）設與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，則d2解得d=242.24若并排通過5輛該種汽車，則安全通行的寬度為5×2.5+4×0.5=14.5>242.24若并排通過4輛該種汽車，則安全通行的寬度為4×2.5+3×0.5=11.5<242.24綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車．

三、課后作業單選題1．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習）直線ax+y?a=0a∈R與圓(x?2)2+A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【解題思路】判出直線ax+y?a=0a∈R恒過定點1,0【解答過程】由ax+y?a=0?y=?ax?1，所以直線ax+y?a=0恒過定點1,0因為(1?2)2+02<4所以直線ax+y?a=0與圓(x?2)2故選：B.2．（23-24高二上·北京·期中）已知圓C1:x2+A．相交 B．外離 C．外切 D．內含【解題思路】分別考慮C1上兩點0,?2和0,?4與C【解答過程】由于點0,?2和0,?4都在圓x2+y2+6y+8=00,?4在圓x2故選：A.3．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）兩圓x2+y2=1A．22 B．2 C．12【解題思路】兩圓x2+y2=1【解答過程】兩圓的圓心分別為0,0,?1,1,半徑均為1，故圓心距離為∵圓x2+y(x2+∵圓C1:x2+d=11+1=12∴公共弦長|AB|=21?故選：B．4．（23-24高二上·湖南長沙·期末）直線l:x+y=2，圓C:x2+y2?2x?2y?2=0．則直線A．2 B．4 C．23 D．【解題思路】將圓C的一般方程化為標準方程，可得直線l過圓心C1,1【解答過程】圓C的標準方程為x?12+y?12=4所以直線l被圓C所截得的弦長等于直徑長度4.故選:B．5．（23-24高二上·四川成都·期末）圓O1:x2+y2A．2x?3y+3=0 B．2x?3y?5=0C．2x+3y=0 D．2x?3y=0【解題思路】根據兩圓公共弦方程特征進行求解即可.【解答過程】兩個圓的方程相減，得x2故選：C.6．（23-24高二上·江蘇泰州·階段練習）已知圓C：(x?1)2+(y?1)2=4A．直線與圓相切 B．直線與圓相離C．直線與圓相交且所截弦長最短為23 【解題思路】求出直線經過定點A，根據定點與圓的位置關系即可判斷直線與圓的位置關系，結合幾何知識可知當直線與過定點A和圓心的直線垂直時，弦長有最小值，由此可求出答案.【解答過程】由題意，圓(x?1)2+(y?1)2=4直線x+my?m?2=0變形得x?2+my?1=0，得直線過定點∵2?12+1?1由平面幾何知識可知，當直線與過定點A和圓心的直線垂直時，弦長有最小值，此時弦長為2r故選：C.7．（23-24高二上·貴州黔南·期中）已知圓C：x2+y2?4x?2my+m2+m=0，過點A．?∞,?1∪C．?1,4 D．?【解題思路】首先將圓的方程化為標準式，即可得到4?m>0，求出m的大范圍，再由點1,1在圓外，得到點到圓心的距離大于半徑，從而求出參數的取值范圍.【解答過程】圓C：x2+y則圓心為2,m，半徑r=4?m，且4?m>0，則m<4又過點1,1可作兩條直線與圓C相切，所以點1,1在圓外，所以1?22+1?m2>4?m綜上可得實數m的取值范圍是?∞故選：D.8．（23-24高二上·河北邢臺·階段練習）已知圓C:x?322+y+32=16A．?7,+∞ B．?7,18 C．?∞,?7【解題思路】根據兩圓有四條公切線得兩圓外離，由兩圓的位置關系可得答案.【解答過程】因為兩圓有四條公切線，所以兩圓外離，因為圓C的圓心為32圓D:x+22圓D的圓心為?2,4，半徑為所以32+2故選：B.多選題9．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知圓C:x?12+y?22A．直線l與圓C相交B．圓C被y軸截得的弦長為2C．點C到直線l的距離的最大值是5D．直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為2x?y?5=0【解題思路】對于A，l:m(2x+y?7)+x+y?4=0，聯立2x+y?7=0x+y?4=0求定點,根據定點在圓內即可求解；對于B，令x=0求y軸交點縱坐標即可得弦長；對于C，根據定點到圓心距離即可求解最值，對于D，根據直線l被圓C截得弦長最短，只需(3,1)與圓心(1,2)連線垂直于直線l，求直線斜率，進而求出參數m【解答過程】由l:m(2x+y?7)+x+y?4=0，則2x+y?7=0x+y?4=0，得x=3y=1，即l恒過定點由(3,1)到圓心(1,2)的距離d=5<5，故定點(3,1)在圓內，故直線l與圓令x=0，則(0?1)2+(y?2)2=25，可得y=2±26，故圓點C到直線l的距離的最大值為圓心(1,2)到定點(3,1)的距離，故最大值為5，C正確，要使直線l被圓C截得弦長最短，只需(3,1)與圓心(1,2)連線垂直于直線l，則kl所以?2m+1m+1=2，可得m=?34故選：ACD．10．（23-24高二上·河南·期末）已知圓O1:x2+A．圓O2與xB．兩圓公共弦所在直線的方程為x?y+1=0C．有且僅有一個點P，使得過點P能作兩條與兩圓都相切的直線D．兩圓的公切線段長為7【解題思路】利用圓與圓的位置關系，圓與圓的公切線條數，逐個選項分析即可.【解答過程】

圓O1:(x?1)2+y2=1的圓心為O1對于A，顯然圓O2與x對于B，易知兩圓相交，將方程x2+y2?2x=0對于C，兩圓相交，所以兩圓的公切線只有兩條，又因為兩圓半徑不相等，所以公切線交于一點P，即過點P可以作出兩條與兩圓都相切的直線，故C正確；對于D，因為O1O2故選：ACD.填空題11．（2024高二上·全國·專題練習）圓C1:x?m2+y+22=9與圓C【解題思路】利用C1C2【解答過程】因為圓C1:x?m所以C1m,?2,由題意知C1C2所以m+12+m+22=25故答案為：2或?5.12．（23-24