第十章統計與成對數據的統計分析第1課時隨機抽樣、統計圖表[考試要求]

1.理解隨機抽樣的必要性和重要性.2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機抽樣方法，掌握分層隨機抽樣的均值計算方法.3.理解統計圖表的含義．鏈接教材·夯基固本1．總體、個體、樣本調查對象的全體(或調查對象的某些指標的全體)稱為______，組成總體的每一個調查對象(或每一個調查對象的相應指標)稱為______在抽樣調查中，從總體中抽取的那部分個體稱為______，樣本中包含的個體數稱為____________，簡稱樣本量．總體個體樣本樣本容量2．簡單隨機抽樣放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統稱為簡單隨機抽樣．除非特殊聲明，所稱的簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣．(1)抽取方式：_______________抽取；(2)特點：每個個體被抽到的概率______；(3)常用方法：抽簽法和____________.逐個不放回相等隨機數法3．分層隨機抽樣(1)分層隨機抽樣的相關概念一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行___________抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本____________作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為___.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．簡單隨機合在一起層(2)分層隨機抽樣的樣本均值與樣本方差4．統計圖表(1)常見的統計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、_______________等．(2)作頻率分布直方圖的步驟①求______；②決定______與______；③將______分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．頻率分布直方圖極差組距組數數據[常用結論]總體數是N，樣本容量為n，每一層的總體數分別是N1，N2，…，Nm，每一層中抽取的樣本數為n1，n2，…，nm，則滿足關系：一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)簡單隨機抽樣中，每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關．(

)(2)抽簽法和隨機數法都是簡單隨機抽樣．(

)(3)分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關．(

)(4)頻率分布直方圖中，小長方形的面積越大，表示樣本數據落在該區間的頻率越大．(

)×√×√二、教材經典衍生1．(人教A版必修第二冊P177

練習T1改編)從某市參加升學考試的學生中隨機抽查1000名學生的數學成績進行統計分析，在這個問題中，下列說法正確的是(

)A．總體指的是該市參加升學考試的全體學生B．樣本是指1000名學生的數學成績C．樣本量指的是1000名學生D．個體指的是1000名學生中的每一名學生B

[總體指的是該市參加升學考試的全體學生的數學成績，A錯誤；樣本是指1000名學生的數學成績，B正確；樣本量是1000，C錯誤；

個體指的是每名學生的數學成績，D錯誤．]√2．(人教A版必修第二冊P185練習T3改編)一支田徑隊有男運動員56名，女運動員42名，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本．如果樣本按比例分配，那么男運動員應抽取____________名，女運動員應抽取________名．3．(人教A版必修第二冊P213例6改編)為調查高一年級學生期中考試數學成績的情況，從(1)班抽取了12名學生的成績，他們的平均分為91分，方差為3，從(2)班抽取了8名學生的成績，他們的平均分為89分，方差為5，則合在一起后的樣本均值為________，樣本方差為________.4．(人教A版必修第二冊P198練習T1改編)從某小區隨機抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的月用電量都在50～300kW·h之間，進行適當分組(每組為左閉右開區間)后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)直方圖中x的值為________；(2)在被調查的用戶中，月用電量落在區間[100,250)內的戶數為________.(1)0.0046

(2)72

[(1)根據頻率分布直方圖中各小長方形的面積和為1，得(0.0024＋0.0038＋0.0060＋x＋0.0032)×50＝1，解得x＝0.0046.(2)月用電量落在區間[100,250)內的頻率為(0.0038＋0.0060＋

0.0046)×50＝0.72，所以在被調查的用戶中月用電量落在區間[100,250)內的戶數為100×0.72＝72.]典例精研·核心考點

考點一簡單隨機抽樣[典例1]

(1)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取抽簽法抽樣、隨機數法抽樣和分層隨機抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則(

)A．p1＝p2<p3

B．p2＝p3<p1

C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3√(2)已知某班共有學生46人，該班語文老師為了了解學生每天閱讀課外書籍的時長情況，決定利用隨機數法從全班學生中抽取10人進行調查．將46名學生按01,02，…，46進行編號．現提供隨機數表的第7行至第9行：8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695565719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數據，每行結束后，下一行依然向右讀數，則得到的第8個樣本編號是(

)A．07

B．12C．39

D．44√(2)由題意可知得到的樣本編號依次為12,06,01,16,19,10,07,44,39,38，則得到的第8個樣本的編號是44.故選D.]

簡單隨機抽樣的適用范圍簡單隨機抽樣常用抽簽法(適用于總體中個體數較少的情況)和隨機數法(適用于總體中個體數較多的情況)．[跟進訓練]1．(1)(多選)(2025·聊城模擬)下列抽取樣本的方式，不是簡單隨機抽樣的是(

)A．從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本B．盒子里共有80個零件，從中逐個不放回地選出5個零件進行質量檢驗C．從80件玩具中一次性抽取3件進行質量檢驗D．某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽√√√(2)某種彩票的中獎號碼是從分別標有1，2，…，30的30個小球中逐個不放回地搖出7個小球來按規則確定中獎情況，這種從30個號碼中選7個號碼的抽樣方法是________.(1)ACD

(2)抽簽法

[(1)對于選項A，簡單隨機抽樣中總體的個數是有限的，題中是無限的，故選項A不是簡單隨機抽樣；對于選項B，滿足簡單隨機抽樣的定義，從N個個體中逐個不放回地抽取n個個體(n≤N)，故選項B是簡單隨機抽樣；對于選項C，不是簡單隨機抽樣，原因是簡單隨機抽樣是逐個抽取，而題中是一次性抽取；對于選項D，不是簡單隨機抽樣，原因是指定個子最高的5名同學是56名同學中特指的，不存在隨機性，不是等可能抽樣．故選ACD.(2)30個小球相當于號簽，攪拌均勻后逐個不放回地抽取，這是典型的抽簽法．]

考點二分層隨機抽樣

求總體或樣本容量[典例2]

(多選)航海模型項目在我國已開展四十余年，深受青少年的喜愛．該項目整合國防、科技、工程、藝術、物理、數學等知識，主要通過讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識，探究海洋奧秘，助力培養未來海洋強國的建設者．某學校為了解學生對航海模型項目的喜愛程度，用比例分配的分層隨機抽樣法從該學校高一、高二、高三年級所有學生中抽取部分學生做抽樣調查．已知該學校高一、高二、高三年級學生人數的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級學生有32人，則下列說法正確的是(

)A．該校高一年級學生人數是2000B．樣本中高二年級學生人數是28C．樣本中高三年級學生人數比高一年級學生人數多12D．該校學生總人數是8000√√因為從該校所有學生中抽取的學生總人數是80，但抽取的比例不知道，所以該校高一年級學生人數和該校學生總人數求不出來，所以AD錯誤，BC正確，故選BC.]

分層隨機抽樣的均值與方差[典例3]已知某班男、女同學的人數之比為5∶4，該班所有同學進行踢毽子比賽，比賽規則如下：每名同學用腳踢起毽子，在毽子落地前用腳接住并踢起，腳沒有接到毽子則比賽結束．現記錄了每名同學從用腳踢起毽子開始到毽子落地，腳踢到毽子的次數，已知男同學用腳踢到毽子次數的平均數為21，方差為17，女同學用腳踢到毽子次數的平均數為12，方差為17，那么全班同學用腳踢到毽子次數的平均數為________，方差為________.

分層隨機抽樣中有關計算的方法[跟進訓練]2．(1)(多選)某學校高三年級學生有500人，其中男生320人，女生180人．為了獲得該校全體高三學生的身高信息，現采用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，并觀測學生的身高(單位：cm)，計算得男生樣本的均值為174，方差為16，女生樣本的均值為164，方差為30.則下列說法正確的是(

)A．如果抽取25人作為樣本，那么抽取的樣本中男生有16人B．該校全體高三學生的身高均值為171C．抽取的樣本的方差為44.08D．如果已知男、女的樣本量都是25，那么總樣本的均值和方差可以作為總體均值和方差的估計值√√(2)(2023·新高考Ⅱ卷)某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有(

)√

考點三統計圖表[典例4]

(1)(2025·青島模擬)某鄉鎮為推動鄉村經濟發展，優化產業結構，逐步打造高品質的農業生產，在某試驗區種植了某農作物．為了解該品種農作物長勢，在實驗區隨機選取了100株該農作物苗，經測量，其高度(單位：cm)均在區間[10,20]內，按照[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16cm的為“優質苗”．則所選取的農作物樣本苗中，“優質苗”株數為(

)A．20

B．40

C．60

D．88√(2)睡眠很重要，教育部《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》中強調“小學生每天睡眠時間應達到10h，初中生應達到9h，高中生應達到8h”．某機構調查了1萬名學生的時間并利用信息得出下圖，則以下判斷正確的有(

)A．高三年級學生平均學習時間最長B．中小學生的平均睡眠時間都沒有達到《通知》中的標準，其中高中生平均睡眠時間最接近標準C．大多數年齡段學生平均睡眠時間少于學習時間D．與高中生相比，大學生平均學習時間大幅下降，釋放出的時間基本是在睡眠√(1)C

(2)B

[(1)由頻率分布直方圖知，高度不低于16cm的頻率為(0.20＋0.10)×2＝0.60，所以選取的農作物樣本苗中“優質苗”株數為100×0.60＝60.故選C.

幾種統計圖表的特點及使用方法(1)通過扇形圖可以很清楚地表示出各部分數量同總數之間的關系．(2)折線圖可以顯示隨時間(根據常用比例放置)而變化的連續數據，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數據的趨勢．(3)頻率分布直方圖的數據特點：①頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距的結果，不要誤以為縱軸上的數據是各組的頻率，不要和條形圖混淆．②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關鍵，常利用頻率分布直方圖估計總體分布．[跟進訓練]3．(1)(多選)為了解我國在芯片、軟件方面的潛力，某調查機構對我國若干大型科技公司進行調查統計，得到了這兩個行業從業者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個行業的崗位分布雷達圖，則下列說法中正確的是(

)A．芯片、軟件行業從業者中，“90后”占總人數的比例超過50%B．芯片、軟件行業中從事技術、設計崗位的“90后”人數超過總人數的25%C．芯片、軟件行業從事技術崗位的人中，“90后”比“80后”多D