第七章立體幾何與空間向量第4課時空間直線、平面的平行[考試要求]從定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明．鏈接教材·夯基固本1．線面平行的判定定理和性質定理此平面內l∥aa?αl?α相交相交l∥αl?βα∩β＝b2．面面平行的判定定理和性質定理相交直線a∥βb∥βa∩b＝Pa?αb?α相交交線α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b[常用結論]1．平行關系中的三個重要結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β

，則α∥β.(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.2．與平行關系有關的性質(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．(2)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．(3)同一條直線與兩個平行平面所成的角相等．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內的任意一條直線．(

)(2)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(

)(3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．(

)(4)若直線a與平面α內的無數條直線平行，則a∥α.(

)××√×二、教材經典衍生1．(人教A版必修第二冊P142練習T2改編)平面α∥平面β的一個充分條件是(

)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α√D

[若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，排除A．若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，排除B．若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，排除C．故選D.]2．(人教A版必修第二冊P139練習T3改編)下列命題中正確的是(

)A．若a，b是兩條直線，且a∥b，則a平行于經過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，則a與α內的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD

[A錯誤，a可能在經過b的平面內；B錯誤，a與α內的直線平行或異面；C錯誤，兩個平面可能相交．故選D.]√3．(人教A版必修第二冊P170復習參考題8T7改編)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________.平行四邊形

[因為平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．]4．(人教A版必修第二冊P134例1改編)如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿足條件______時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．典例精研·核心考點

考點一直線與平面平行的判定與性質

直線與平面平行的判定[典例1]如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，E，F分別為AB，PD的中點，求證：AF∥平面PCE.證明：法一(應用線面平行的判定定理)：如圖，設M為PC的中點，連接EM，MF.因為E是AB的中點，所以AE綉FM，所以四邊形AEMF是平行四邊形，所以AF∥EM.又因為AF?平面PCE，EM?平面PCE，所以AF∥平面PCE.法二(應用面面平行的性質定理)：如圖，設G為CD的中點，連接FG，AG.因為F，G分別為PD，CD的中點，所以FG∥PC．又E為AB的中點，四邊形ABCD為平行四邊形，所以AE綉GC，所以四邊形AECG為平行四邊形，AG∥EC．又FG?平面PCE，AG?平面PCE，PC?平面PCE，EC?平面PCE，所以FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.又FG，AG?平面AFG，FG∩AG＝G，所以平面AFG∥平面PCE.又AF?平面AFG，所以AF∥平面PCE.

線面平行性質定理的應用[典例2]

(2025·威海模擬)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.證明：FG∥平面AA1B1B．證明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，FG?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．

判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．提醒：應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平面確定交線．[跟進訓練]1．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關系，并證明你的結論．解：(1)證明：如圖，記AC與BD的交點為O，連接OE.因為O，M分別為AC，EF的中點，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE.又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.

考點二平面與平面平行的判定與性質[典例3]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明：(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)因為在△ABC中，E，F分別為AB，AC的中點，所以EF∥BC．因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為A1G綉EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB．因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.[拓展變式]解：如圖，連接A1B，AB1交于點O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，2．在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點M，因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點，連接MD.因為D為BC的中點，所以A1B∥DM.因為A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質知，D1C1綉BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.又因為DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.

證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定義．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．(4)利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化．提醒：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明在一個平面內的兩條直線是相交直線．[跟進訓練]2．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，證明：B1D1∥l.證明：(1)由題設知BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1綉B1C1綉BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C．又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD.由(1)知四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.

考點三平行關系的綜合應用[典例4]

(2025·臨沂模擬)如圖，在正三棱臺ABC-A1B1C1中，BC＝3B1C1，TB＝2TC，E，F分別是BB1，CC1的中點，M為AC上一點．(1)若M是AC的中點，求證：ME∥平面AB1C1；(2)若AB1∥平面TMF，求點M的位置，并說明理由．解：(1)證明：如圖，取AB的中點N，連接MN，NE，在正三棱臺ABC-A1B1C1中，M是AC的中點，N是AB的中點，可得MN∥BC．又BC∥B1C1，所以MN∥B1C1.因為MN?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以MN∥平面AB1C1.又N，E分別是AB，BB1的中點，所以NE∥AB1.又NE?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以NE∥平面AB1C1.又MN∩NE＝N，MN?平面MNE，NE?平面MNE，所以平面MNE∥平面AB1C1.又ME?平面MNE，所以ME∥平面AB1C1.(2)在等腰梯形BCC1B1中，BC＝3B1C1，TB＝2TC，所以FT∥B1B．又B1B?平面TMF，FT?平面TMF，故B1B∥平面TMF.又AB1∥平面TMF，AB1∩B1B＝B1，B1B?平面AB1B，AB1?平面AB1B，所以平面AB1B∥平面TMF.因為平面AB1B∩平面ABC＝AB，平面TMF∩平面ABC＝MT，所以AB∥MT.在△ABC中，TB＝2TC，所以MA