第六章數(shù)列第5課時數(shù)列的綜合應(yīng)用典例精研·核心考點

考點一數(shù)列模型的應(yīng)用[典例1]容器A內(nèi)裝有6L質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水溶液，容器B內(nèi)裝有4L質(zhì)量分?jǐn)?shù)為5%的鹽水溶液，先將A內(nèi)的鹽水倒1L進(jìn)入B內(nèi)，再將B內(nèi)的鹽水倒1L進(jìn)入A內(nèi)，將這樣的過程稱為一次操作．這樣反復(fù)操作n次，A，B容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為an，bn.(1)求a1，b1，并證明{an－bn}是等比數(shù)列．(2)要使A，B兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%，至少操作多少次？(取lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(3)求an，bn的表達(dá)式．

數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，那么該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定且不為零的數(shù)，那么該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比；(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，那么應(yīng)考慮是第n項an與第n＋1項an＋1的遞推關(guān)系還是前n項和Sn與前n＋1項和Sn＋1之間的遞推關(guān)系．一般地，涉及依次增加或依次減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列．A．31

B．32C．63

D．64[跟進(jìn)訓(xùn)練]√(2)(多選)剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款A(yù)0元購買一臺筆記本電腦，然后上學(xué)的時候通過勤工儉學(xué)來分期還款．小明與銀行約定：每個月還一次款，分12次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為r.設(shè)小明每個月所要還款的錢數(shù)為x元，則下列說法正確的是(

)A．小明選擇的還款方式為“等額本金還款法”B．小明選擇的還款方式為“等額本息還款法”√√√(2)A，B選項，由于每個月還款的錢數(shù)都相等，故小明選擇的還款方式為“等額本息還款法”，A錯誤，B正確；

D選項，根據(jù)“等額本息還款法”可得，第一個月月末所欠銀行貸款為A1＝A0(1＋r)－x，第二個月月末所欠銀行貸款為A2＝A1(1＋r)－x＝A0(1＋r)2－x(1＋r)－x，第三個月月末所欠銀行貸款為A3＝A2(1＋r)－x＝A0(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x，……第12個月月末所欠銀行貸款為A12＝A0(1＋r)12－x(1＋r)11－x(1＋r)10－…－x(1＋r)－x＝A0(1＋r)12－x[(1＋r)11＋(1＋r)10＋…＋(1＋r)＋1]

考點二數(shù)列中的不等式證明[典例2]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題的求解常有兩種方法：一是放縮法；二是借助函數(shù)的單調(diào)性證明．對于“和式”數(shù)列不等式，若能夠直接求和，則考慮先求和，再放縮證明不等式；若不能求和，則可考慮先放縮后求和證明不等式．放縮時要研究通項公式，放縮是為了能化簡．常見的放縮技巧：[跟進(jìn)訓(xùn)練]所以，a1＋a2＋a3＋…＋an>b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2ln2－2ln1＋2ln3－2ln2＋…＋2ln(n＋1)－2lnn＝2ln(n＋1)，所以，Sn>2ln(n＋1)，得證．

考點三數(shù)列中的不等式恒成立(1)求數(shù)列{an}的通項公式．(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn.若Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

數(shù)列與不等式的恒成立的問題可借助數(shù)列的單調(diào)性或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解答．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,2an＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解：(1)由2an＝Sn＋2，可得2an＋1＝Sn＋1＋2，兩式相減可得2an＋1－2an＝an＋1，所以an＋1＝2an.令n＝1，可得2a1＝a1＋2，所以a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為an＝2×2n－1＝2n.課時分層作業(yè)(