第二章函數的概念與性質高考培優1指數式、對數式、冪式的大小比較√

題型一臨界值法比較大小[典例1]

(1)(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，則a，b，c的大小關系為(

)A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>aA．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b√(1)B

(2)A

[(1)因為y＝4.2x在R上單調遞增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2－0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b.因為y＝log4.2x在(0，＋∞)上單調遞增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0，所以b>a>c.故選B.所以b>1.因為0.71<0.70.3<0.70，所以0.7<c<1，所以a<c<b.故選A．]√A．a＜b＜c

B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜aA．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b√√題型二特值法、設元法比較大小[典例2]設x，y，z為正實數，且2x＝3y＝5z，則(

)A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5zC．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3yA

[法一(特值法)：取z＝1，則由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z,3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，則由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.綜上可得，3y＜2x＜5z.故選A．√√√√題型三構造函數法比較大小[典例3]

(1)(2025·威海模擬)已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，則下列選項正確的是(

)A．a＞b＞c B．c＞a＞bC．c＞b＞a D．b＞c＞a(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則(

)A．a>2b B．a<2b

C．a>b2 D．a<b2√(2)令f(x)＝2x＋log2x，因為y＝2x在(0，＋∞)上單調遞增，y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上單調遞增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b.故選B.]√[跟進訓練]3．(1)若2x－2y＜3－x－3－y，則(

)A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0A．x＜y＜z B．y＜x＜zC．z＜x＜y D．z＜y＜x√題型四數形結合法比較大小[典例4]

(1)設x1，x2，x3均為實數，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，則(

)A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3(2)已知x，r，z均為大于0的實數，且2x＝3r＝log5z，則x，r，z的大小關系正確的是(

)A．x>r>z B．x>z>rC．z>x>r D．z>r>x√√(2)因為x，r，z均為大于0的實數，所以令2x＝3r＝log5z＝t＞1，進而將問題轉化為函數y＝2x，y＝3x，y＝log5x的圖象與直線y＝t(t＞1)的交點的橫坐標x1，x2，x3的大小關系，故作出各函數圖象，如圖，由圖可知x3＞x1＞x2，即z＞x＞r.故選C．本例(1)(2)均屬于方程根的問題，求解的關鍵是等價轉化為相應函數圖象的交點問題，如本例(2)將問題轉化為函數y＝2x，y＝3x，y＝log5x的圖象與直線y＝t(t>1)的交點的橫坐標的大小關系，再作出圖象，數形結合求解即可．√[跟進訓練]4．(多選)下列大小關系正確的是(

)A．1.92<21.9

B．22.9<2.92√√ABD

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