東城區2024—2025學年度第一學期期末統一檢測高三數學參考答案及評分標準2025.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）D （3）A （4）B（5）B（6）C （7）B （8）D （9）A（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

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）（12）（13）（答案不唯一）（14）12,140（15）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因為，由正弦定理得又因為，所以因為，所以因為，所以．………………7分（Ⅱ）若選條件=1\*GB3①：因為，所以．因為，所以.所以．此時，為鈍角，符合題意．……13分若選條件=3\*GB3③：因為△ABC的面積為，所以.由（=1\*ROMANI）知，所以.由余弦定理得，即.所以.因為為鈍角，所以.此時，為鈍角，符合題意．…13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取的中點，連接.在中，因為分別為的中點，所以且.因為為的中點，底面為菱形，所以且.所以且.所以四邊形為平行四邊形.所以.又因為，，所以平面.………………6分（Ⅱ）連接,.因為為正三角形，所以.因為側面與底面垂直，側面底面,平面，所以底面.所以.由題知為正三角形，為的中點,所以.建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則．于是，，，，，，.所以,.設是平面的法向量，則即令，則，.于是．因為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.…………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根據題中數據，在200人中愿意購買第一款新品的人數為，所以該名顧客愿意購買第一款新品的概率可估計為.………4分（Ⅱ）由題設，的所有可能值為0，1，2，3.根據題中數據，得青少年組的人數為.隨機抽取1人，此人愿意購買第二款新品的概率可估計為，此人不愿意購買第二款新品的概率可估計為.中年組的人數為.隨機抽取1人，此人愿意購買第二款新品的概率可估計為，此人不愿意購買第二款新品的概率可估計為.老年組的人數為.隨機抽取1人，此人愿意購買第二款新品的概率可估計為，此人不愿意購買第二款新品的概率可估計為.所以可估計為，可估計為，可估計為，可估計為.的分布列為：0123所以.………10分（Ⅲ）.………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）的定義域為，.，．所以曲線在點處的切線方程為，即．………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．令，．由知，在區間上單調遞減，又，則存在唯一，使得．當變化時，的情況如下：↗極大值↘由上表可知，的極值點個數為1.………………11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，且時，.若，則，符合題意；若，則由知.當，且時，，因此，與題設矛盾.綜上，的取值范圍為．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由題意得解得，．所以的方程為．………………5分（Ⅱ）設，，，，.則直線，.由得.所以，故．由得.所以，故．因為為線段中點，所以，故直線．令，則，所以．設直線與軸交于點，因為，，，共線，所以.解得．所以.因為，所以．綜上，點的橫坐標為．………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）=1\*GB3①4，3，2，1不具有性質；=2\*GB3②1，2，3，5，4具有性質.………………4分（Ⅱ）由已知.設，其中.可得，，…….又，得.即.因為，所以.所以與的奇偶性相同.因為,所以為偶數.又,所以.又數列，此時..綜上,的最小值為.………