11.2一元一次不等式（第1課時）數學人教版（2024）七年級下冊

1．一元一次方程的定義是什么？它的特點是什么？

只含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數都是1，這樣的方程叫作一元一次方程．

特點：

（1）含有未知數的式子都是整式；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的次數都是1．

2．解一元一次方程：（1）5x＋15＝4x－1；

（2）2(x＋5)＝3(x－5)．

解：（1）移項，得5x－4x＝－1－15．合并同類項，得x＝－16．

（2）去括號，得2x＋10＝3x－15．移項，得2x－3x＝－15－10．合并同類項，得

－x＝－25．系數化為1，得

x＝25．

觀察下面的不等式：x－7＞26，3x＜2x＋1，x＞50，－4x＞3.它們有哪些共同特征？問題

（1）只含有一個未知數；（2）未知數的次數是1；（3）含有未知數的式子都是整式．

思考：類比一元一次方程的定義，你能給出一元一次不等式的定義嗎？新知

含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是1的不等式，叫作一元一次不等式．

特點：

（1）不等號的兩邊都是整式；（2）只含一個未知數；（3）含未知數的項的次數是1．練習

判斷下列不等式是否是一元一次不等式，并說明理由．（1）x2＋1＞2；（2）＋2＞0；（3）x＞y；（4）≤1．

解：（1）中未知數的最高次數是2，故不是一元一次不等式；（2）中不等號的左邊不是整式，故不是一元一次不等式；

（3）中有兩個未知數，故不是一元一次不等式；

（4）中不等號的兩邊都是整式，且只有一個未知數，未知數的次數是1，故是一元一次不等式．問題

利用不等式的性質解不等式

x－7＞26．

解：根據不等式的性質1，不等式兩邊加7，不等號的方向不變，得x－7＋7＞26＋7，x＞33．所以這個不等式的解集是x＞33．x＞26＋7移項

解不等式時也可以“移項”，即把不等式一邊的某項變號后移到另一邊，而不等號的方向不變．思考

解一元一次方程的依據和一般步驟是什么？

解一元一次方程的依據是等式的性質．

解一元一次方程的一般步驟是：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1．

一般地，利用不等式的性質，采取與解一元一次方程相類似的步驟，就可以求出一元一次不等式的解集．

解下列不等式，并在數軸上表示解集：（1）3(x－1)＜x－2；

（2）

＋2≥

．問題x＞m

（x≥m）或

x＜m（x≤m）依據：不等式的性質

解：（1）去括號，得3x－3＜x－2．

（1）3(x－1)＜x－2；

這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示．0

移項，得3x－x＜－2＋3．

合并同類項，得2x＜1．

系數化為1，得x＜．

（2）

＋2≥

．

解：（2）去分母，得3(x－5)＋24≥2(5x＋1)．

這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示．

去括號，得3x－15＋24≥10x＋2．

移項，得3x－10x≥2＋15－24．

系數化為1，得x≤1．

合并同類項，得－7x≥－7．01思考

對比第（1）題和第（2）題的解題過程，系數化為1時應注意些什么？

要看未知數系數的符號，若未知數的系數是正數，則不等號的方向不變；若未知數系數是負數，則不等號的方向要改變．問題

解一元一次不等式的一般步驟是什么？

去分母：不等式兩邊乘各分母的最小公倍數；

去括號：把所有因式去括號展開；

移項：把含未知數的項移到不等號左邊，常數項移到不等號右邊；

合并同類項：化為ax＞b（ax≥b）或ax＜b（ax≤b）的形式（其中a≠0）；

系數化為1：不等式兩邊都除以a，得到不等式的解集．問題

每一步變形的依據是什么？

去分母

去括號

移項

合并同類項

系數化為1去括號法則不等式的性質1合并同類項法則不等式的性質2或3不等式的性質2或3思考

解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同和不同之處？

相同之處：步驟相同：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1．基本思想相同：都是運用化歸思想，將一元一次方程或一元一次不等式變形為最簡形式．思考

解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同和不同之處？

不同之處：解法依據不同：解一元一次不等式的主要依據是不等式的性質，解一元一次方程的主要依據是等式的性質．最簡形式不同：一元一次不等式的最簡形式是x＞m

（x≥m）或

x＜m（x≤m），一元一次方程的最簡形式是x＝m．

例已知3m－2x3＋2m＞1是關于x的一元一次不等式．（1）求m的值；（2）求出不等式的解集，并把解集表示在數軸上．

解：（1）因為3m－2x3＋2m＞1是關于x的一元一次不等式，所以3＋2m＝1，解得m＝－1．

例已知3m－2x3＋2m＞1是關于x的一元一次不等式．（1）求m的值；（2）求出不等式的解集，并把解集表示在數軸上．

解：（2）由（1）可知，題目中的不等式是－3－2x＞1．移項，得－2x＞1＋3．合并同類項，得－2x＞4．系數化為1，得x＜－2．