高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕蔇正確.故選：D.2.設(shè)命題，則p是q的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，必有成立，反之不成立，故p是q的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋疫B續(xù).因?yàn)樵趩卧觯趩卧觯栽趩卧?，，.所以函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.4.已知，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由題意得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，則的最小值為，故C正確.故選：C.5.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】A選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，，故為偶函數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)圖象知，非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋瑸榉瞧娣桥己瘮?shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A.6.不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】由，得，解得或，則不等式的解集為或.故選：B.7.若函數(shù)，則等式（）A.5 B.6 C.63 D.64【答案】A【解析】因?yàn)椋裕瑒t，故A正確.故選：A.8.已知函數(shù)是定義R上的偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】B【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)關(guān)于成軸對(duì)稱，所以區(qū)間與區(qū)間，區(qū)間與關(guān)于對(duì)稱，由函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，可知函數(shù)在上是增函數(shù)，又函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上減函數(shù).故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】A.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)椋裕收_；C.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；D.若，則，故，所以，故正確.故選：BD.10.若函數(shù)（，且）的圖象過(guò)點(diǎn)，則（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.【答案】ACD【解析】由題意函數(shù)（，且）的圖象過(guò)點(diǎn)，得，A正確；由于在上單調(diào)遞增，故，B錯(cuò)誤；由于，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，CD正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是偶函數(shù)，則B.若的解集是，則C.若，則恒成立D.，，在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，即對(duì)任意的恒成立，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若不等式的解集為，則且、為方程的兩根，則，解得，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，，故不恒成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線且，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，在上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．【答案】且【解析】由題設(shè)，可得且，則定義域?yàn)榍?13.______．【答案】【解析】.14.借助信息技術(shù)計(jì)算的值，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)的底數(shù)越來(lái)越小，而指數(shù)越來(lái)越大，隨著越來(lái)越大，會(huì)無(wú)限趨近于（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．根據(jù)以上知識(shí)判斷，當(dāng)越來(lái)越大時(shí)，會(huì)趨近于_____.【答案】【解析】由題意知，由越來(lái)越大時(shí)，會(huì)無(wú)限趨近于，故越來(lái)越大時(shí)，會(huì)無(wú)限趨近于，則會(huì)無(wú)限趨近，故會(huì)無(wú)限趨近于.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，全集．（1）當(dāng)時(shí)，求（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，或，故．（2）因?yàn)椋裕獾茫瑢?shí)數(shù)a的取值范圍為．16.已知．（1）化簡(jiǎn)求值：；（2）若是第一象限角，，且，求的值．解：（1）原式.（2）由為第一象限角，且，即，解得，；又，且，故．.17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和最大值；（2）將的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值．解：（1）由題意，由此可得：.（2）由題意可知：，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為.18.如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設(shè)單個(gè)矩形欄目的寬度為，矩形廣告的總面積為.（1）將y表示為關(guān)于x的表達(dá)式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，矩形廣告的總面積最小?并求出總面積最小值.解：（1）單個(gè)矩形欄目的長(zhǎng)度為，，.（2）由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)cm時(shí)，矩形廣告的總面積最小，最小面積為.19.已知函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，當(dāng)時(shí)，．（1）求的值；（2）判斷的奇偶性和單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)，若方程有2個(gè)不同的解，求m的取值范圍．解：（1）令，代入得，所以．（2）令，代入，可得，所以，可得函數(shù)為奇函數(shù)；任取，且，，又因?yàn)闀r(shí)，，且，所以，所以，即，所以函數(shù)是R上的減函數(shù)．（3），即，所以，令，即，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的減函數(shù)，所以，即，令作出的圖象如圖，結(jié)合圖象，可得：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為或．湖南省婁底市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕蔇正確.故選：D.2.設(shè)命題，則p是q的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，必有成立，反之不成立，故p是q的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋疫B續(xù).因?yàn)樵趩卧觯趩卧觯栽趩卧?，，.所以函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.4.已知，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由題意得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，則的最小值為，故C正確.故選：C.5.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】A選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，，故為偶函數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)圖象知，非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋瑸榉瞧娣桥己瘮?shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A.6.不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】由，得，解得或，則不等式的解集為或.故選：B.7.若函數(shù)，則等式（）A.5 B.6 C.63 D.64【答案】A【解析】因?yàn)椋裕瑒t，故A正確.故選：A.8.已知函數(shù)是定義R上的偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】B【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)關(guān)于成軸對(duì)稱，所以區(qū)間與區(qū)間，區(qū)間與關(guān)于對(duì)稱，由函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，可知函數(shù)在上是增函數(shù)，又函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上減函數(shù).故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】A.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)椋裕收_；C.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；D.若，則，故，所以，故正確.故選：BD.10.若函數(shù)（，且）的圖象過(guò)點(diǎn)，則（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.【答案】ACD【解析】由題意函數(shù)（，且）的圖象過(guò)點(diǎn)，得，A正確；由于在上單調(diào)遞增，故，B錯(cuò)誤；由于，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，CD正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是偶函數(shù)，則B.若的解集是，則C.若，則恒成立D.，，在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，即對(duì)任意的恒成立，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若不等式的解集為，則且、為方程的兩根，則，解得，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，，故不恒成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線且，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，在上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．【答案】且【解析】由題設(shè)，可得且，則定義域?yàn)榍?13.______．【答案】【解析】.14.借助信息技術(shù)計(jì)算的值，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)的底數(shù)越來(lái)越小，而指數(shù)越來(lái)越大，隨著越來(lái)越大，會(huì)無(wú)限趨近于（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．根據(jù)以上知識(shí)判斷，當(dāng)越來(lái)越大時(shí)，會(huì)趨近于_____.【答案】【解析】由題意知，由越來(lái)越大時(shí)，會(huì)無(wú)限趨近于，故越來(lái)越大時(shí)，會(huì)無(wú)限趨近于，則會(huì)無(wú)限趨近，故會(huì)無(wú)限趨近于.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，全集．（1）當(dāng)時(shí)，求（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，或，故．（2）因?yàn)椋裕獾茫瑢?shí)數(shù)a的取值范圍為．16.已知．（1）化簡(jiǎn)求值：；（2）若是第一象限角，，且，求的值．解：（1）原式.（2）由為第一象限角，且，即，解得，；又，且，故．.17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和最大值；（2）將的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值．解：（1）由題意，由此可得：.（2）由題意可知：，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為.18.如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設(shè)單個(gè)矩形欄目的寬度為，矩形廣告的總面積為.（1）將y表示為關(guān)于x的表達(dá)式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，矩形廣告的總面積最小?并求出總面積最小值.解：（1）單個(gè)矩形欄目的長(zhǎng)度為，，.（2）由基本不等式得，當(dāng)且