導(dǎo)數(shù)與微分§2.1導(dǎo)數(shù)的概念1.變速直線運(yùn)動的瞬時速度當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動時,求速度的問題很容易,

就是所經(jīng)過的路程與時間比值,即當(dāng)物體做變速直線運(yùn)動時,這個比值只能表示這段時間內(nèi)物體運(yùn)動的平均速度但在實(shí)際問題中,只算出平均速度并不能滿足要求,

我們要知道物體在某個時刻的速度,

即就是要求出物體的瞬時速度一、概念的引入例1已知自由落體運(yùn)動的路程與所經(jīng)過的時間的關(guān)系是現(xiàn)求時這一時刻落體的速度分析:(1)簡單看一下什么是自由落體運(yùn)動(2)自由落體運(yùn)動的定義:物體只在重力作用下從靜止開始下落的運(yùn)動(3)自由落體運(yùn)動的性質(zhì):初速度為零的勻加速直線運(yùn)動。加速度是重力加速度,常用g表示,g=9.8m/s2我們計算從分別到各段時間內(nèi)的平均速度34.5g3.14.805g0.10.305g3.05g3.014.53005g0.010.03005g3.005g3.0014.5030005g0.0010.0030005g3.0005g……………

顯然,越小,與越接近.為此令,對上式取極限得

為此,讓時間發(fā)生一個微小的改變,則時間由變化到了,該區(qū)間經(jīng)過的時間是,雖物體在作變速運(yùn)動,但由于很小.因此在區(qū)間上可近似的看作勻速運(yùn)動,即速度看作是不變的(實(shí)際上有一些微小的變化,但變化很小很小).其平均速度為:當(dāng)趨向于0時，如果極限設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量Q的函數(shù)，即C=C(Q

)，當(dāng)產(chǎn)量Q從

變到

時，總成本相應(yīng)地改變量為

當(dāng)產(chǎn)量從

變到

時，總成本的平均變化率存在，則稱此極限是產(chǎn)量為時總成本的變化率。2、產(chǎn)品總成本的變化率定義設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，屬于該鄰域，記若存在，則稱其極限值為y=f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)，記為或二、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)定義與下面的形式等價：若y=f(x)在x=x0

的導(dǎo)數(shù)存在，則稱y=f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo)，反之稱y=f(x)在x=x0

不可導(dǎo)，此時意味著不存在.函數(shù)的可導(dǎo)性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點(diǎn)處的性態(tài)，導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點(diǎn)處變化(增大或減小)的快慢.

定義2若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．即

定義3若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則對于區(qū)間內(nèi)的每一個值，都有惟一個導(dǎo)數(shù)值與之對應(yīng)，所以是的函數(shù)，稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)．記作

顯然，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是其導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值,即

由導(dǎo)數(shù)定義可得求函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的改變量；（2）計算比值（3）求極限上面兩個引例可表示為而產(chǎn)品總成本的變化率是總成本對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)即變速直線運(yùn)動的速度是路程對時間的導(dǎo)數(shù)

即例1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解當(dāng)由1變到時，相應(yīng)的函數(shù)增量為

于是則

當(dāng)由2變到時，相應(yīng)的函數(shù)增量為

于是則2．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即同理可得1．常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.1.3利用定義計算導(dǎo)數(shù)下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義來求部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．即三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義)aT)aT

求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率。

設(shè)曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,在曲線C上取一點(diǎn)P(x0,y0)及鄰近的一點(diǎn)Q(x0

+

x,y0+

y)，過P、Q兩點(diǎn)作割線，并分別過P,Q兩點(diǎn)作x軸與y軸的平行線MP，MQ，又設(shè)割線PQ的傾斜角為β

。那么f(x0+

x)x0+

xQx0Py=f(x)Oxyf(x0)β))Q)QMf(x0+

x)x0+

xQx0Py=f(x)Oxyf(x0)j))aT

當(dāng)

x

0時，動點(diǎn)Q將沿曲線趨向于定點(diǎn)P，從而割線PQ也將隨之變動而趨向于切線PT。

此時割線PQ的斜率趨向于切線PT的斜率：

設(shè)切線PT的傾斜角為α，那么當(dāng)△x→0時，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率，即切線問題割線的極限位置——切線位置播放當(dāng)時,曲線在的法線方程為(即法線平行y軸).而當(dāng)時,曲線在的法線方程為

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：而當(dāng)時,曲線在的切線方程為例2：求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解:因?yàn)?由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線在點(diǎn)的切線的斜率為:于是所求的切線方程為:即:在點(diǎn)的法線的斜率為:于是所求的法線方程為:即:2.1.5可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù).證

因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，故有根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系,可得:兩端乘以得:由此可見:即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù).證畢.例5證明函數(shù)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).證

因?yàn)樗栽趚=0連續(xù)而即函數(shù)在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等,從而在x=0不可導(dǎo).由此可見，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件即可導(dǎo)定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).小結(jié)1導(dǎo)數(shù)的概念2用定義求導(dǎo)的方法3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法基本求導(dǎo)公式2.2導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則:定理一2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則特別地,如果可得公式注：法則（1）（2）均可推廣到有限多個可導(dǎo)函數(shù)的情形例：設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則解：

例2設(shè)解：例1解：即

類似可得例3求y=tanx

的導(dǎo)數(shù)解：即類似可得例4求y=secx

的導(dǎo)數(shù)解：例1

定理二如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)的u處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo)，且有或?qū)τ诙啻螐?fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，此法則也稱鏈導(dǎo)法注：2.2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3解：解：例21.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例

求方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：方程兩端對x求導(dǎo)得2.2.3隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)即是由所確定的函數(shù)，其求導(dǎo)方法就是把y看成x的函數(shù)，方程兩端同時對x求導(dǎo)，然后解出。即例1解：兩邊對x求導(dǎo)得例2解一y可以寫成函數(shù)兩邊對x求導(dǎo)，由鏈導(dǎo)法有

解二稱為對數(shù)求導(dǎo)法，可用來求冪指函數(shù)和多個因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo)注：解二解：將函數(shù)取自然對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得例3

方程兩邊先同時取自然對數(shù)，然后將取了對數(shù)的結(jié)果利用對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行充分化簡,最后將化簡后的結(jié)果看作隱函數(shù),應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出其導(dǎo)數(shù)．此方法一般適用于幾個因子通過乘、除、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)及冪指函數(shù)的情形的求導(dǎo)．2.2.4取對數(shù)求導(dǎo)法例1

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解顯然直接是不好求的,我們將其兩邊取對數(shù)得化簡得即有

注意:該題也可以用下列方法求得,即將冪指函數(shù)分別看作冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)求出其導(dǎo)后相加機(jī)可.如該題

例2

求冪函數(shù)是任意實(shí)數(shù))的導(dǎo)數(shù)解兩邊取自然對數(shù)并化簡，得

將其看作隱函數(shù)兩邊同時對求導(dǎo)得上式兩邊對求導(dǎo)，得于是

即例3

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解兩邊取自然對數(shù)并化簡，得兩邊對求導(dǎo)，得于是

解

對于)0(sin>=xxyx兩邊取對數(shù),

得

xxylnsinln=,

兩邊求導(dǎo),得

xxxxyylncossin1+=￠

,

所以

=￠yy)lncossin(xxxx+=xxsin)lncossin(xxxx+.

例4求的導(dǎo)數(shù)．1、基本導(dǎo)數(shù)公式表2.2.5基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

2．函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

）（）（）（）（xvxuxvxu￠+￠=￠±][,

）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxu￠+￠=￠][,

）（）（xuCxCu￠=￠][(C是常數(shù)),

））（（）（）（）（）（）（）（）（021￠-￠=￠ú?ùê?éxvxvxvxuxvxuxvxu,

）（）（）（xvxvCxvC2￠-=￠ú?ùê?é（0)(1xv，C是常數(shù)）．

即或記作或二階導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，就稱的導(dǎo)數(shù)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，n階導(dǎo)數(shù)：二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計算：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導(dǎo)2.3高階導(dǎo)數(shù)解例2

求的階導(dǎo)數(shù)．

例1

求函數(shù)的二階及三階導(dǎo)數(shù)．解因?yàn)樗越猓禾貏e地例4解：……即同理例3解如圖，正方形金屬片的面積A與邊長x的函數(shù)關(guān)系為A=x2,受熱后當(dāng)邊長由x0伸長到x0+時,面積A相應(yīng)的增量為2.4.1函數(shù)微分的概念例1

設(shè)有一個邊長為x0的正方形金屬片，受熱后它的邊長伸長了，問其面積增加了多少？2.4函數(shù)微分的線性函數(shù)從上式可以看出，這表明這部分就是面積的增量的主要部分（線性主部）所以上式可寫成

可以表示為定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，處的增量在點(diǎn)如果函數(shù)于是,（2.3.1)式可寫成處的微分，可微，稱為在點(diǎn)處在點(diǎn)高階的無窮小，則稱函數(shù)時其中A是與無關(guān)的常數(shù)，是當(dāng)比記為由微分定義，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微與可導(dǎo)等價，且,因而在點(diǎn)x0處的微分可寫成可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱該函數(shù)在(a,b)內(nèi)可微。于是函數(shù)通常把記為，稱自變量的微分，f(x)在點(diǎn)x0處的微分又可寫成dx上式兩端同除以自變量的微分，得因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商．f(x)在(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)x處的微分記為解：例2求函數(shù)y=x2

在x=1,時的改變量和微分。于是

面積的微分為

解：面積的增量面積的增量與微分．當(dāng)半徑增大例3半徑為r的圓的面積時，求在點(diǎn)處，

微分的幾何意義當(dāng)自變量x有增量時，切線MT的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量因此，微分幾何上表示當(dāng)x有增量時，曲線

在對應(yīng)點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的增量．用近似代替就是用QP近似代替QN，并且設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖形如下圖所示.過曲線y=f(x)上一點(diǎn)M(x,y)處作切線MT,設(shè)MT的傾角為2.4.3微分形式不變性都是可導(dǎo)函數(shù)，則設(shè)函數(shù)的微分為復(fù)合函數(shù)

利用微分形式不變性，可以計算復(fù)合函數(shù)和隱