PAGEPAGE1第10章計數原理、概率、隨機變量及其分布第2講A組基礎關1．從10名高校畢業生中選3個人擔當村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為()A．85B．56C．49D．28答案C解析分兩類：甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選；甲、乙均入選且丙沒有入選，計算可得所求選法種數為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.2．航空母艦“遼寧艦”將進行一次編隊配置科學試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅除艦和3艘護衛艦分列左右，每側3艘，同側不能都是同種艦艇，則艦艇安排方案的方法數為()A．72B．324C．648D．1296答案D解析核潛艇排列數為Aeq\o\al(2,2)，6艘艦艇隨意排列的排列數為Aeq\o\al(6,6)，同側均是同種艦艇的排列數為Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)×2，則艦艇安排方案的方法數為Aeq\o\al(2,2)(Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)×2)＝1296.3．(2024·昆明質檢)互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，先要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()A．Aeq\o\al(5,5)種 B．Aeq\o\al(2,2)種C．Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種 D．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種答案D解析由紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，則紅色菊花兩邊各一盆白色、黃色菊花，故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種擺放方法．4．(2024·石家莊模擬)某次聯歡會要支配3個歌舞類節目、2個小品類節目和1個相聲類節目的演出依次，則同類節目不相鄰的排法種數是()A．72B．120C．144D．168答案B解析解法一：先支配小品類節目和相聲類節目，然后讓歌舞類節目去插空．支配小品類節目和相聲類節目的依次有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對于第一種狀況，形式為“eq\x()，小品1，歌舞1，小品2，eq\x()，相聲，eq\x()”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(種)支配方法；同理，第三種狀況也有36種支配方法；對于其次種狀況，三個節目形成4個空，其形式為“eq\x()，小品1，eq\x()，相聲，eq\x()，小品2，eq\x()”．有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48種支配方法，故共有36＋36＋48＝120種支配方法．解法二：先不考慮小品類節目是否相鄰，保證歌舞類節目不相鄰的排法共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)，再剔除小品類節目相鄰的狀況，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝24(種)，于是符合題意的排法共有144－24＝120(種)．5．有6個座位連成一排，現有A，B，C，D，E，F共6人就坐，則B，C中至少有1人與A相鄰而坐的不同坐法有()A．192種B．336種C．384種D．432種答案B解析若A坐在第1或第6個位置，則有2Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝96種不同的坐法；若A在第2、3、4、5號位置時，則有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)－4Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝336種不同的坐法，其中，2Aeq\o\al(5,5)是A在兩側的坐法，4Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)是A在2、3、4、5號位置且和B，C都不相鄰的坐法；綜上所述，共有336＋96＝432種不同的坐法．6．數學活動小組由12名同學組成，現將這12名同學平均分成四組分別探討四個不同課題，且每組只探討一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的安排方案有()A.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)種B．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·34種C.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·43種D．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·43種答案B解析要從12個人中選3人為一組，所以有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))種，每個組選一名組長，故有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·34種，每個組還要探討一個課題，并且只能探討一個課題，所以相當于四個組排列選課題，故有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))Aeq\o\al(4,4)·34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·34種．7．(2024·湖南衡陽質檢)現要給一長、寬、高分別為3,2,1的長方體工藝品各面涂色，有紅、橙、黃、藍、綠五種顏色的涂料可供選擇，要求相鄰的面不能涂相同的顏色，且橙色跟黃色二選一，紅色要涂兩個面，則不同的涂色方案有()A．48種B．72種C．96種D．108種答案C解析若藍綠選一個，由橙黃二選一，共三種顏色涂6個面，每一種顏色只能涂相對的面，故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(種)；若藍綠選兩個，由橙黃二選一，故共有4種顏色，紅色只能涂相對的面，還有4個面，故有2×(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2))·Ceq\o\al(1,3)＝72(種)，依據分類加法計數原理，共有24＋72＝96(種)．故選C.8．(2024·福州質檢)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券安排給4個人，每人2張，不同的獲獎狀況有________種．(用數字作答)答案60解析把8張獎券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎，)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四組，分給4人有Aeq\o\al(4,4)種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有Ceq\o\al(2,3)種分法，再分給4人有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種分法，所以不同獲獎狀況種數為Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝24＋36＝60.9．在“心連心”活動中，五名黨員被安排到甲、乙、丙三個村子進行入戶走訪，每個村子至少支配一名黨員參與，且A，B兩名黨員必需在同一個村子的不同安排方法種數為________．答案36解析把A，B兩名黨員看作一個整體，5個人就可看成4個部分，把其中2個部分合并，共有Ceq\o\al(2,4)種方法，再把這三部分安排到三個村子，有Aeq\o\al(3,3)種不同的方法，依據分步乘法計數原理，不同安排方法種數為Ceq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(3,3)＝36種．10．從1,3,5,7,9中任取2個數字，從0,2,4,6中任取2個數字，一共可以組成________個沒有重復數字的四位數．(用數字作答)答案1260解析若取的4個數字不包括0，則可以組成的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4個數字包括0，則可以組成的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).綜上，一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260.B組實力關1．(2024·長沙模擬)三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數是()A．72B．144C．240D．288答案D解析第一步，先選一對夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個復合元素A，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種排法．其次步，假設剩下的兩對夫妻是x1，x2和y1，y2，分成三種狀況探討：①x1，x2中間有一個元素，假如是A，則y1，y2在兩端，有2種排法，假如是y1，y2中的一個，有12種排法；②x1，x2中間有兩個元素，只能是A和y1，y2中的一個，總共有8種排法；③x1，x2中間有三個元素，有2種排法．因為x1，x2有依次，所以僅有一對夫妻相鄰的排法有6×2×(2＋12＋8＋2)＝288(種)．2．《中國詩詞大會》(其次季)亮點頗多，十場競賽每場都有一首特殊設計的開場詩詞，在聲光舞美的協作下，百人團齊聲朗誦，別有韻味．若《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最終，則后六場的排法有()A．144種B．288種C．360種D．720種答案A解析依據題意，分兩步進行分析：①將《將進酒》《望岳》和另兩首詩詞共4首詩詞全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)依次，由于《將進酒》排在《望岳》前面，則這4首詩詞的排法有eq\f(A\o\al(4,4),2)＝12(種)；②這4首詩詞排好后，不含最終，有4個空位，在4個空位中任選2個，支配《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》，有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)支配方法，由分步乘法計數原理，知后六場的排法有12×12＝144(種)．故選A.3．某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，支配在周一到周五的5個夜晚值班，每名員工值一個夜班且不重復值班，其中女員工甲不能支配在星期一、星期二值班，男員工乙不能支配在星期二值班，男員工丙必需被選且支配在星期五值班，則這個單位支配夜晚值班的方案共有()A．960種 B．984種C．1080種 D．1440種答案A解析分四類：①甲、乙都不選，Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝432；②選甲不選乙，Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝216；③選乙不選甲，Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝216；④甲、乙都選，Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝96.故由分類加法計數原理可得，不同方案共有432＋216＋216＋96＝960(種)，選A.4．(2024·瀘州模擬)若一個四位數的各位數字相加和為10，則稱該數為“完備四位數”，如數字“2017”．試問用數字0,1,2,3,4,5,6,7組成的無重復數字且大于2024的“完備四位數”有________個()A．53B．59C．66D．71答案D解析從0,1,2,3,4,5,6,7中取四位相加為10的可能組合包括{1,2,3,4}，{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}，用{1,2,3,4}組成的無重復數字的“完備四位數”有Aeq\o\al(4,4)個；因為0不能放在千位上，所以{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}組成的無重復數字的“完備四位數”有4(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))個；因此用數字0,1,2,3,4,5,6,7組成的無重復數字的“完備四位數”共有Aeq\o\al(4,4)＋4(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝96個，其中由{1,2,3,4}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}組成的“完備四位數”中小于2024的分別各有Aeq\o\al(3,3)＝6個，由{0,1,2,7}組成的“完備四位數”中小于等于2024的有Aeq\o\al(3,3)＋1＝7個，由{0,2,3,5}組成的“完備四位數”中小于等于2024的有0個，因此大于2024的“完備四位數”共有96－3×6－7－0＝71個．5．(2024·山東濟寧檢測)將4名新來的同學安排到A，B，C三個班級中，每個班級至少支配1名學生，其中甲同學