高中數學競賽(預賽)訓練試題+數學競賽初賽試題(含答案)高中數學競賽（預賽）真題訓練（一）一、填空題（本題滿分56分，每小題7分。）1．已知復數滿足，則．2．設，，則的值域為．3．設等差數列的前n項和為，若，則中最大的是．4．已知O是銳角△ABC的外心，，若，且，則．5．已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，M，N分別是棱A1D1和CC1的中點．則四面體的體積為．6．設，且，，則符合條件的共有組．（注：順序不同視為不同組．）7．設，則的最小值為．8．設p是給定的正偶數，集合的所有元素的和是．二、解答題（本題滿分64分，第9題14分，第10題15分，第11題15分，第12題20分。）9．設數列滿足，，其中．（1）證明：對一切，有；（2）證明：．10．求不定方程的正整數解的組數．11．已知拋物線C：與直線l：沒有公共點，設點P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點．(1)證明：直線AB恒過定點Q；12．設為正實數，且．證明：．湖北省黃岡中學高中數學競賽（預賽）真題訓練（一）參考答案一、填空題（本題滿分56分，每小題7分。）1．已知復數滿足，則0．2．設，，則的值域為．3．設等差數列的前n項和為，若，則中最大的是．4．已知O是銳角△ABC的外心，，若，且，則．5．已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，M，N分別是棱A1D1和CC1的中點．則四面體的體積為．6．設，且，，則符合條件的共有1600組．（注：順序不同視為不同組．）7．設，則的最小值為．8．設p是給定的正偶數，集合的所有元素的和是．二、解答題（本題滿分64分，第9題14分，第10題15分，第11題15分，第12題20分。）9．設數列滿足，，其中．（1）證明：對一切，有；（2）證明：．證明（1）在已知關系式中，令，可得；令，可得①令，可得②由①得，，，，代入②，化簡得．------------------------------------------7分（2）由，得，故數列是首項為，公差為2的等差數列，因此．于是．因為，所以．------------------------------14分10．求不定方程的正整數解的組數．解令，，，則．先考慮不定方程滿足的正整數解．，，．-----------------------5分當時，有，此方程滿足的正整數解為．當時，有，此方程滿足的正整數解為．所以不定方程滿足的正整數解為．---------------------------------------10分又方程的正整數解的組數為，方程的正整數解的組數為，故由分步計數原理知，原不定方程的正整數解的組數為．-------------------------------15分11．已知拋物線C：與直線l：沒有公共點，設點P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點．(1)證明：直線AB恒過定點Q；(2)若點P與（1）中的定點Q的連線交拋物線C于M，N兩點，證明：．證明(1)設，則．由得，所以．于是拋物線C在A點處的切線方程為，即．設，則有．設，同理有．所以AB的方程為，即，所以直線AB恒過定點．------------------------------------------7分(2)PQ的方程為，與拋物線方程聯立，消去y，得．設，，則①要證，只需證明，即②由①知，②式左邊=．故②式成立，從而結論成立．------------------------------------------15分12．設為正實數，且．證明：．證明因為，要證原不等式成立，等價于證明=1\*GB3①---------------5分事實上，=2\*GB3②--------------10分由柯西不等式知=3\*GB3③--------------15分又由知=4\*GB3④由=2\*GB3②，③，④，可知①式成立，從而原不等式成立．------------------------------------20分高中數學競賽初賽試題一選擇題1.如果集合同時滿足,就稱有序集對為“好集對”。這里的有序集對意指當，是不同的集對，那么“好集對”一共有（）個。２.設函數,為()3.設是一個1203位的正整數,由從100到500的全體三位數按順序排列而成那么A除以126的余數是()4.在直角中,,為斜邊上的高,D為垂足..設數列的通項為則()5.在正整數構成的數列1.3.5.7……刪去所有和55互質的項之后,把余下的各項按從小到大的順序排成一個新的數列,易見那么6.設則二.填空題7.邊長均為整數且成等差數列,周長為60的鈍角三角形一共有______________種.8.設,且為使得取實數值的最小正整數,則對應此的為9.若正整數恰好有4個正約數,則稱為奇異數,例如6,8,10都是奇異數.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999這10個數中奇異數有_____________________個.10.平行六面體中,頂點出發的三條棱的長度分別為2,3,4,且兩兩夾角都為那么這個平行六面體的四條對角線的長度(按順序)分別為___________________11.函數的迭代的函數定義為其中=2,3,4…設,則方程組的解為_________________12.設平行四邊形中，則平行四邊形繞直線旋轉所得的旋轉體的體積為_______________三解答題13.已知橢圓和點直線兩點(可以重合).1)若為鈍角或平角(為原點),試確定的斜率的取值范圍.2)設關于長軸的對稱點為,試判斷三點是否共線,并說明理由.3)問題2)中,若三點能否共線?請說明理由.14.數列由下式確定:,試求(注表示不大于的最大整數,即的整數部分.)15.設給定的銳角的三邊長滿足其中為給定的正實數,試求的最大值,并求出當取此最大值時,的取值.2008年安徽省高中數學聯賽初賽試題一、選擇題若函數的圖象繞原點順時針旋轉后，與函數的圖象重合，則（）（A） （B）（C）（D）2.平面中，到兩條相交直線的距離之和為1的點的軌跡為（）（A）橢圓 （B）雙曲線的一部分 （C）拋物線的一部分 （D）矩形3.下列4個數中與最接近的是（）（A）-2008 （B）-1 （C）1 （D）20084.四面體的6個二面角中至多可能有（）個鈍角。（A）3 （B）4 （C）5 （D）65.寫成十進制循環小數的形式，其循環節的長度為()(A)30 (B)40 (C)50 （D）606.設多項式，則中共有（）個是偶數。（A）127 （B）1003 （C）1005 （D）1881二、填空題7.化簡多項式8.函數的值域為9.若數列滿足，且具有最小正周期2008，則10.設非負數的和等于1，則的最大值為11.設點A，B、C在橢圓上，當直線BC的方程為時，的面積最大。12.平面點集，易知可被1個三角形覆蓋（即各點在某個三角形的邊上），可被2個三角形覆蓋，則覆蓋需要個三角形。三、解答題13.將6個形狀大小相同的小球（其中紅色、黃色、藍色各2個）隨機放入3個盒子中，每個盒子中恰好放2個小球，記為盒中小于顏色相同的盒子的個數，求的分布。14.設，其中表示不超過x的最大整數。證明：無論取何正整數時，不在數列的素數只有有限多個。15.設圓與圓相交于A，B兩點，圓分別與圓，圓外切于C，D，直線EF分別與圓，圓相切于E，F，直線CE與直線DF相交于G，證明：A，B，G三點共線。2010年全國高中數學聯賽安徽賽區預賽試卷一、填空題（每小題8分，共64分）1.函數的值域是.2.函數的圖象與的圖象關于直線對稱.3.正八面體的任意兩個相鄰面所成二面角的余弦值等于.4.設橢圓與雙曲線相切，則.5.設是復數，則的最小值等于.6.設，，是實數，若方程的三個根構成公差為1的等差數列，則，，應滿足的充分必要條件是.7.設是的內心，，，，，，動點的軌跡所覆蓋的平面區域的面積等于.8.從正方體的八個頂點中隨機選取三點，構成直角三角形的概率是.二、解答題（共86分）9.（20分）設數列滿足，，.求的通項公式.10.（22分）求最小正整數使得可被2010整除.11.（22分）已知的三邊長度各不相等，，，分別是，，的平分線與邊，，的垂直平分線的交點.求證：的面積小于的面積.12.（22分）桌上放有根火柴，甲乙二人輪流從中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超過對方剛才取走火柴數目的2倍.取得最后一根火柴者獲勝.問：當時，甲是否有獲勝策略？請詳細說明理由.2011年全國高中數學聯賽安徽省預賽試題一、填空題（每小題8分，共64分）1．以表示集合的元素個數.若有限集合滿足，，，則的最大可能值為.2．設是正實數.若的最小值為10，則.3．已知實系數多項式滿足，，，則的所有可能值集合為.4．設展開式.若，則.第5題第6題5．在如圖所示的長方體中，設是矩形的中心，線段交平面于點.若，，，則.6．平面上一個半徑的動圓沿邊長的正三角形的外側滾動，其掃過區域的面積為.7．設直角坐標平面上的點與復數一一對應.若點分別對應復數（），則直線與軸的交點對應復數（用表示）.8．設n是大于4的偶數.隨機選取正n邊形的4個頂點構造四邊形，得到矩形的概率為.二、解答題（第9—10題每題22分，第11—12題每題21分，共86分）已知數列滿足，（），求的通項公式.10．已知正整數都是合數，并且兩兩互素，求證：.11．設（是實數），當時，.求的最大可能值.12．設點，在雙曲線的左支上，，直線交雙曲線的右支于點.求證：直線與的交點在直線上.2012年安徽高中數學競賽初賽試題2007解答選擇題1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.1.逐個元素考慮歸屬的選擇.元素1必須同時屬于A和B.元素2必須至少屬于A、B中之一個，但不能同時屬于A和B，有2種選擇：屬于A但不屬于B，屬于B但不屬于A.同理，元素3和4也有2種選擇.但元素2，3，4不能同時不屬于A，也不能同時不屬于B.所以4個元素滿足條件的選擇共有種.換句話說，“好集對”一共有6個.答：C.2.令，則，且，，，.從而.令，則題設方程為，即，故，，，，解得.從而.答：A.3.注意,2,7和9兩兩互質.因為（mod2）,（mod9）,所以（mod18）.（1）又因為，（mod7）,所以（mod7）.(2)由（1），（2）兩式以及7和18互質，知（mod126）.答：C.另解：，，，，.所以，其中B，C為整數.從而，其中D，E為整數.所以A除以63的余數為6.因為A是偶數，所以A除以126的余數也為6.答：C.4.易見，即，又已知，故，，；，.顯然是首項為，公比為的等比數列的前項和.故，.從而，.故答案為A.（易知其余答案均不成立）另解：易見，即，又已知，故，，.解得，.顯然是首項為，公比為的等比數列的前項和，故，.于是數列就是斐波那契數列1，2，3，5，8，13，21，…，它滿足遞推關系.所以答案為A.5.可看成是在正整數數列1，2，3，4，5，6，7，…中刪去所有能被2，5或11整除的項之后，把余下的各項按從小至大順序排成的數列.由三階容斥原理，1，2，3，4，…，中不能被2，5或11整除的項的個數為，其中不表示不大于的最大整數，即的整數部分.估值：設，故.又因為=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍數，從而知.答：B.又解：可看成是在正整數數列1，2，3，4，5，6，7，…中刪去所有能被2，5或11整除的項之后，把余下的各項按從小至大順序排成的數列.因為2，5，11是質數，它們的最小公倍數為110.易見，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的數為,共40個.（或由歐拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的數的個數，等于1，2，3，…，110中與110互質的數的個數，等于.）顯然1，2，3，…中每連續110個整數，不能被2，5，11整除的數都有40個.所以，1，2，3，…，中，不能被2，5，11整除的數有個.大于5500中的數不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007個不能被2，5，11整除的數，亦即所求的.答：B.6.顯然；.注意到，,所以，.故.答：D.另解：，，=.因為和是實數，所以，,.答：D.填空題（滿分54分，每小題9分） 7.解：設△ABC三邊長為整數，成等差數列，為鈍角，則必有，.易解得，；，即.因此，即.另外，.易檢驗都是鈍角三角形.答：4.8.注意到，滿足，，故可令，，0＜＜.從而，-，-，故，+.取實數，當且僅當，當且僅當，Z.滿足此條件且的最小正整數為，此時.答：-1.9.易見奇異數有兩類：第一類是質數的立方（是質數）；第二類是兩個不同質數的乘積（為不同的質數）.由定義可得是奇異數（第一類）；不是奇異數；是奇異數（第二類）；是奇異數（第二類）；是奇異數（第一類）；是質數，不是奇異數；是奇異數（第一類）；是奇異數（第二類）；是奇異數（第二類）；是奇異數（第二類）.答：8.10.解：將向量，，分別記為，，.則，，，且易見，，，.所以=55，故.類似地，可算得，，，=3.答：，，，3.11.令，易見，，；令，易見，，，，.因此，題設方程組可化為（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得所以.代入（1）得，，，,,.所以原方程組的解為.答：.12.以表示平面圖形繞直線所得旋轉體體積.記直線為，作，交于，分別交，于.過作，分別交于.由于是的中點，所以分別是的中點.由對稱性，易見所求旋轉體體積為.由于，易見，，.顯然，.且，.從而由圓錐體積公式得.又，，，.從而由圓錐體積公式得.從而.答：所求體積為：13.解：I）可設：，與聯立得.這是的一元二次方程，由判別式解得.記，，則，.由題設條件，，即，得，即，即.得，，，.故的斜率的取值范圍為.因為F(1,0),所以，，從而.與共線，即與F、B三點共線.III）假設，過的直線與交于A、B，且A關于長軸的對稱點為，如果、F、B三點共線.我們另取點.設直線AP與交于，那么如II）的證明，、F、B三點必共線.故B與重合，從而直線AB和重合，就是AQ與AP重合.所以P與Q重合，，與假設矛盾.這就是說，時，三點、F、B不能共線.14.解：，，，.故，亦即，由得.（*）由于，且顯然，故是遞減數列，且，，故，由（*）式得，，，，，.15.證明：因為△ABC是銳角三角形，其三邊滿足，以及.因此，由平均不等式可知，從而，亦即，.上式取等式當且僅當，亦即.因此所求的的最大值為，當取最大值時，.AABxoQABxoQA1FllAA1B1C1D1BCDABCDQMPNOFEyyyy（第13題答圖）（第10題答圖）（第12題答圖）2008參考答案(網友解答，不排除有錯)1D2D3B4A（B）5C6D7.8.9.錯題10.11.12.133813.14.思路：先用反證法證明存在，使；接著用數學歸納法證時，；最后證時，，這樣即一切自然數都在數列中，結論正確。15.

利用根軸概念，只需證明$C,D,E,F四點共圓，以A（或B）為中心進行反演不難得證！2010年全國高中數學聯賽安徽賽區預賽試卷參考答案及評分標準一、填空題（每小題8分，共64分）1.答案：.提示：因，設（），則（其中，，為銳角），所以當時，，當時，，故.2.答案：提示：因兩函數圖象關于直線對稱，所以，，∴，解得.3.答案：提示：正八面體由兩個棱長都相等的正四棱錐組成，所以任意兩個相鄰面所成二面角是正四棱錐側面與底面所成二面角的兩倍.∵，∴，則.4.答案：提示：由橢圓方程知，，設其參數方程為（為參數）代入雙曲線方程，得.因兩曲線相切，∴，故.5.答案：提示：在復平面上，設，，，則當為的費馬點時，取得最小值，最小值為.6.答案：且.提示：設三個根為，，，則，右邊展開與左邊比較得，，，消去得，這就是所求的充要條件.7.答案：提示：如圖，根據向量加法的幾何意義，知點在圖中的三個平形四邊形及其內部運動，所以動點的軌跡所覆蓋的平面區域的面積等于等于面積的2倍，即.8.答案：提示：從正方體的八個頂點中隨機選取三點，共有個三角形，其中直角三角形有個，所求“構成直角三角形”的概率是.二、解答題（共86分）9.解：特征根法.又，，…………（10分）得，于是.…（20分）10.解：……（10分）又或，，或，故所求最小正整數.…………（22分）11.證明：由題設可證，，，，六點共圓.…………（10分）不妨設圓半徑為1，則有，.由于∴的面積小于的面積.…………（22分）12.解：把所有使得甲沒有有獲勝策略的初始火柴數目從小到大排序為：，，，…，不難發現其前4項分別為2，3，5，8.下面我們用數學歸納法證明：（1）滿足；（2）當時，乙總可取到最后一根火柴，并且乙此時所取的火柴數目；（3）當時，甲總可取到最后一根火柴，并且甲此時所取的火柴數目.……（10分）設（），注意到.當時，甲第一次時可取根火柴，剩余根火柴，乙無法獲勝.當時，，根據歸納假設，甲可以取到第根火柴，并且甲此時所取的火柴數目，剩余根火柴，乙無法獲勝.當時，設甲第一次時取走根火柴，若，則乙可取走所有剩小的火柴；若，則根據歸納假設，乙總可以取到第根火柴，并且乙此時所取的火柴數目，剩余根火柴，甲無法獲勝.綜上可知，.因為100不在數列，所以當時，甲有獲勝策略.…………（22分）2011解答1.10.2.2.3.{32}.4.2413.5..6..7..8..9．

.10．設的最小素因子，因為不是素數，所以.于是11．由可知滿足題設，的最大可能值為.12．設，直線的方程，則

，所以，①，所以。

把①代入上式，得.高中數學競賽初賽試題加試模擬訓練題（12）1、已知的邊上有兩個點，證明與的內切圓半徑相等的充分必要條件是與的內切圓半徑相等。2、（1）設，滿足：（a）（b）,證明：3．兩個同樣大小的正方形相交錯，其公共部分構成一個八邊形，一個正方形的邊是藍色的，另一個正方形的邊是紅色的，證明：八邊形中藍色的邊長之和等于它的紅色邊長之和．4．我們知道有1個質因子，且；有2個質因子，且………………如此下去，我們可以猜想：至少有個質因子，且。試證明之。加試模擬訓練題（12）1、已知的邊上有兩個點，證明與的內切圓半徑相等的充分必要條件是與的內切圓半徑相等。證明先證明一個引理：設的邊上的高為，內切圓半徑為r,則。設的內心為，作的平行線與圓相切，且分別與交于點，則。設的內切圓半徑分別為，則。2、（1）設，滿足：（a）（b）,證明：證明（1）當時，當時，，，則所以假設時命題成立.那么，當時，設，由條件，，，有下面用反證法證明以上結論.假設，則有++,矛盾.所以，當時，原不等式成立.3．兩個同樣大小的正方形相交錯，其公共部分構成一個八邊形，一個正方形的邊是藍色的，另一個正方形的邊是紅色的，證明：八邊形中藍色的邊長之和等于它的紅色邊長之和．Key1：（1）兩個正方形中心重合時，所構成的八邊形外切于以中心為圓心、正方形邊長為直徑的圓，由切線長定理即得．（2）中心不重合時，其中一個正方形可沿另一個正方形的兩邊平移使得中心重合，只需證明平移時紅邊長度之和不變．Key2：圖中的小三角形都相似，紅邊之和：紅色高線之和=藍邊之和：藍色高線之和，而紅色三角形面積之和=藍色三角形面積之和，由紅色三角形與藍色三角形有公共的底邊八邊形，則紅色高線之和與藍色高線之和相等，所以紅邊之和與藍邊之和．4．我們知道有1個質因子，且；有2個質因子，且………………如此下去，我們可以猜想：至少有個質因子，且。試證明之。（2006年山東省第二屆夏令營試題）證明：令＝，則＝，即要證是整數且有個質因子。下用數學歸納法證明是整數。eq\o\ac(○,1)時，結論顯然；eq\o\ac(○,2)假設時，成立；當＋1時，因為(－1)3+1=3－32＋3；因為，所以，即是整數。下證至少有個質因子。＝3－32＋3＝()3－3()2＋3().因為＝()，令，則＝由于(,3)=1，所以(,)=1，從而必有異于質因子的質因子，所以至少有個質因子。證畢！數學競賽訓練試卷（4）班級姓名一、選擇題1．設函數如果那么的值等于（）A．3B．7C．-3D．-72．已知P為四面體S-ABC的側面SBC內的一個動點，且點P與頂點S的距離等于點P到底面ABC的距離，那么在側面SBC內，動點P的軌跡是某曲線的一部分，則該曲線是（）A．圓或橢圓B．橢圓或雙曲線C．雙曲線或拋物線D．拋物線或橢圓3．給定數列{xn}，x1=1，且xn+1=，則=（） A，1 B．-1 C．2+ D．-2+4．已知，定義，則（）A．B．C．D．5．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，則△ABC（） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空題6．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則|x|-|y|的最小值是_________.7．如果：（1）a,b,c,d都屬于{1,2,3,4} （2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a （3）a是a,b,c,d中的最小數 那么，可以組成的不同的四位數abcd的個數是________.8．設則關于的方程的所有實數解之和為9．若對|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，則t的取值范圍是_______________.10．邊長為整數且面積（的數值）等于周長的直角三角形的個數為。11．對每一實數對(x,y)，函數f(t)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，試求滿足f(a)=a的所有整數a=__________.三、解答題（每小題20分，共60分）12．已知a,b,c∈R+，且滿足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。13．已知半徑為1的定圓⊙P的圓心P到定直線的距離為2，Q是上一動點，⊙Q與⊙P相外切，⊙Q交于M、N兩點，對于任意直徑MN，平面上恒有一定點A，使得∠MAN為定值。求∠MAN的度數。14．數列定義如下：，且當時，已知，求正整數n．高二數學競賽模擬試卷（4）答案一、選擇題1．設函數如果那么的值等于（）A．3B．7C．-3D．-7解：取，而當，所以，故選C.2．已知P為四面體S-ABC的側面SBC內的一個動點，且點P與頂點S的距離等于點P到底面ABC的距離，那么在側面SBC內，動點P的軌跡是某曲線的一部分，則該曲線是（）A．圓或橢圓B．橢圓或雙曲線C．雙曲線或拋物線D．拋物線或橢圓解：把問題轉化成動點P到S的距離與它到邊BC的距離比值問題，容易的出答案D3．給定數列{xn}，x1=1，且xn+1=，則=（） A，1 B．-1 C．2+ D．-2+解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。故選A。4．已知，定義，則（）A．B．C．D．解：計算可知是最小正周期為６的函數。即得，所以＝，故選C.5．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，則△ABC（） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA>0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故選B。二、填空題6．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則|x|-|y|的最小值是_________.答案：。由對稱性只考慮y≥0，因為x>0，∴只須求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，這個關于y的二次方程顯然有實根，故△=16(u2-3)≥0。7．如果：（1）a,b,c,d都屬于{1,2,3,4} （2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a （3）a是a,b,c,d中的最小數 那么，可以組成的不同的四位數abcd的個數是________.答案：46個。abcd中恰有2個不同數字時，能組成C=6個不同的數。abcd中恰有3個不同數字時，能組成=16個不同數。abcd中恰有4個不同數字時，能組成A=24個不同數，所以符合要求的數共有6+16+24=46個。8．設則關于的方程的所有實數解之和為答案：4解：令變形為可以發現函數是R上的減函數。又因為，從而關于的方程的解分別為0、1、3，9．若對|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，則t的取值范圍是_______________.答案：。解：①若t2-4>0，即t<-2或t>2，則由>x(|x|≤1)恒成立，得,t+1>t2-4,t2-t-s<0解得，從而<t<-2或2<t<。②若t2-4=0，則t=2符合題意。③若t2-4<0，即-2<t<2，則由<x(|x|≤1)恒成立，得，t+1>-t2+4;t2+t-3>0，解得：t<或t>，從而<t<2。綜上所述，t的取值范圍是：<t<。10．邊長為整數且面積（的數值）等于周長的直角三角形的個數為。解：設直角三角形的三邊為a,b,,則有=a+b+,,兩邊平方并整理有ab-4a-4b+8=0,(a-4)(b-4)=8,a,b都是正整數，a=5時b=12;a=6時b=8，所以滿足題意的三角形有2個。11．對每一實數對(x,y)，函數f(t)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，試求滿足f(a)=a的所有整數a=__________.答案：1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1,y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y為正整數時，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知對一切正整數y，f(y)>0，因此y∈N*時，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即對一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1,f(-4)=1。下面證明：當整數t≤-4時，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0相加得：f(t)-f(-4)>0，因為：t≤4，故f(t)>t。綜上所述：滿足f(t)=t的整數只有t=1或t=2。三、解答題：12．解：因為(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2)2+(2+2)2=4ab+8ac+8bc+16c。所以≥。 當a=b=2c>0時等號成立。故k的最小值為100。13．解：以為x軸，點P到的垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，設Q的坐標為(x,0)，點A(k,λ)，⊙Q的半徑為r，則：M(x-r,0),N(x+r,0),P(2,0),PQ==1+r。所以x=±,∴tan∠MAN=，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，兩邊平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因為對于任意實數r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0,k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°（舍）（當Q(0,0),r=1時∠MAN=60°），故∠MAN=60°。14．解由題設易知，．又由，可得，當n為偶數時，；當是奇數時，．由，所以n為偶數，于是，所以，是奇數．于是依次可得：，是偶數，，是奇數，，是偶數，，是奇數，，是偶數，，是偶數，，是奇數，，是偶數，，是奇數，，是偶數，，所以，，解得，n＝238．高中數學競賽（預賽）訓練試題（二）姓名：班級：分數：一、填空題（本題滿分70分，每小題7分）1．方程的實數解為．2．函數R的單調減區間是.3．在△中，已知，，則＝.4．函數在區間上的最大值是，最小值是．5．在直角坐標系中，已知圓心在原點、半徑為的圓與△的邊有公共點，其中、、，則的取值范圍為．6．設函數的定義域為R，若與都是關于的奇函數，則函數在區間上至少有個零點.（第7題）7．從正方體的條棱和條面對角線中選出條，使得其中任意（第7題）兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值為．8．圓環形手鐲上等距地鑲嵌著顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種．其中鍍金銀的概率是．9．在三棱錐中，已知，，且．已知棱的長為，則此棱錐的體積為．10．設復數列滿足，，且．若對任意N*都有，則的值是．二、解答題（本題滿分80分，每小題20分）11．直角坐標系中，設、、是橢圓上的三點．若，證明：線段的中點在橢圓上．12．已知整數列滿足，，前項依次成等差數列，從第項起依次成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)求出所有的正整數，使得．13．如圖，圓內接五邊形中，是外接圓的直徑，，垂足.過點作平行于的直線，與直線、分別交于點、．證明：(1)點、、、共圓；(2)四邊形是矩形．14．求所有正整數，，使得與都是完全平方數．高中數學競賽（預賽）訓練試題（二）詳細解答一、填空題（本題滿分70分，每小題7分）1．方程的實數解為．提示與答案：x＜0無解;當時，原方程變形為32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．2．函數R的單調減區間是.提示與答案：與f(x)=y2=1+|sin2x|的單調減區間相同，Z．3．在△中，已知，，則＝.提示與答案：，得．4．函數在區間上的最大值是，最小值是．提示與答案：極小值－4，端點函數值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐標系中，已知圓心在原點、半徑為的圓與△的邊有公共點，其中、、，則的取值范圍為．提示與答案：畫圖觀察，R最小時圓與直線段AC相切，R最大時圓過點B．[eq\f(8eq\r(5),5)，10]．6．設函數的定義域為R，若與都是關于的奇函數，則函數在區間上至少有個零點.提示與答案：f(2k-1)=0，k∈Z.又可作一個函數滿足問題中的條件，且的一個零點恰為，k∈Z.所以至少有50個零點.（第7題）7．從正方體的條棱和條面對角線中選出條，使得其中任意（第7題）兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值為．提示與答案：不能有公共端點，最多4條，圖上知4條可以．8．圓環形手鐲上等距地鑲嵌著顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種．其中鍍金銀的概率是．提示與答案：窮舉法，注意可翻轉，有6種情況，2金2銀有兩種，概率為eq\f(1,3)．9．在三棱錐中，已知，，且．已知棱的長為，則此棱錐的體積為．提示與答案：4面為全等的等腰三角形，由體積公式可求得三棱錐的體積為144．10．設復數列滿足，，且．若對任意N*都有，則的值是．提示與答案：由，恒成立，即.因為或，故，所以．二、解答題（本題滿分80分，每小題20分）11．直角坐標系中，設、、是橢圓上的三點．若，證明：線段的中點在橢圓上．解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x12,4)＋y12＝1，eq\f(x22,4)＋y22＝1．由，得M(eq\f(3,5)x1＋eq\f(4,5)x2，eq\f(3,5)y1＋eq\f(4,5)y2)．因為M是橢圓C上一點，所以eq\f((eq\f(3,5)x1＋eq\f(4,5)x2)2,4)＋(eq\f(3,5)y1＋eq\f(4,5)y2)2＝1，…6分即(eq\f(x12,4)＋y12)(eq\f(3,5))2＋(eq\f(x22,4)＋y22)(eq\f(4,5))2+2(eq\f(3,5))(eq\f(4,5))(eq\f(x1x2,4)＋y1y2)=1，得(eq\f(3,5))2＋(eq\f(4,5))2+2(eq\f(3,5))(eq\f(4,5))(eq\f(x1x2,4)＋y1y2)＝1，故eq\f(x1x2,4)＋y1y2＝0．…14分又線段AB的中點的坐標為(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，所以eq\f((\f(x1＋x2,2))2,2)＋2(eq\f(y1＋y2,2))2＝eq\f(1,2)(eq\f(x12,4)＋y12)+eq\f(1,2)(eq\f(x22,4)＋y22)+eq\f