活用二級(jí)結(jié)論

結(jié)論一奇函數(shù)的最值性質(zhì)

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的XWD,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數(shù)f(x)

在D上有最值,則f(x)皿+f(x)m=O,且若OGD,則f(0)=0.

例1已知函數(shù)和g(x)均為奇函數(shù)，〃(x)=4(x)+〃g(x)+2在區(qū)間(0,a)上有最大值5,那么

〃(%)在(-8,0)上的最小值為

A.-5B.-3C.-1D.5

【答案】C

【解析】令尸(x)=Mx)-2=qf(x)+bg(x),因?yàn)槭?X)為奇函數(shù)，〈xe(0：例)時(shí)，/z(x)<5,

F(x)=Zz(x)-2<3,又xe(―x50)時(shí)，-xe(Os+x),F(-x)<3=>F(x)>-3>

.\A(x)>-3+2=-b故選C.

【變式訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)/(x+gd+shu+2017則冢礪

一+2017

2.已知函數(shù)f(x)="(x￡R)的最大值為M,最小值為m,則M+m=.

x~+cosx+I

結(jié)論二函數(shù)周期性問(wèn)題

已知定義在R上的函數(shù)f(X),若對(duì)任意x￡R,總存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(X),則稱f(X)是周期函

數(shù),T為其一個(gè)周期.除周期函數(shù)的定義外，還有一些常見(jiàn)的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下:

(1)如果f(x+a)尸一f(x)(aW0),那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a.

1

(2)如果￡(,")=五萬(wàn)5*0),那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a.

(3)如果f(x+a)+f(x)=c(aXO),那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a,

(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a^O),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=6a.

例2【山東省德州市2019屆高三期末聯(lián)考】已知定義在R的奇函數(shù)八乃滿足fS+2)=-義無(wú))，當(dāng)01時(shí),

/(%)=，,則”2019)=()

A.20192B.1C.0D.-1

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(廣2)=?f(x),則有F(戶4)=?f(戶2)=f(x),即函數(shù)是周期為4

的周期函數(shù)，

貝I」f(2019)=f(-1+2020)=f(-1),

乂由函數(shù)為奇函數(shù)，則/?(-1)=-/,(1)=-(1)2=-1；

則f(2019)=-1；

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

1.[2018山西太原第五中學(xué)模擬】已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/("滿足)(3-力+/(可=0,且當(dāng)

xc(—|,O)時(shí)，/(x)=log2(2x+7),貝iJf(2017)=

A.-log25B.2C.-2D.log25

f(—)=

2.已知函數(shù)fU)是周期為2的奇函數(shù)，且其[-1,0]時(shí)，fU)=x,貝ij2_____.

結(jié)論三函數(shù)的對(duì)稱性

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).

u+b

⑴若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=^—對(duì)稱,特別地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,

則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

⑵若f(a+x)+f(b-x)=c，則尸f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，士，今對(duì)稱.特別地，若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,

則尸f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.

例3[2018四川省廣元市統(tǒng)考】已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(l+x)+/(l—x)=2,

^(x)=(x-l)3+l,若函數(shù)/(X)圖象與函數(shù)g(x)圖象的交點(diǎn)為(X，X),(W，%)，，(工20122018)，則

2O1S

Z(M+￡)=()

1=1

A.8072B.6054C.4036D.2018

【答案】B

【解析】由題意知，函數(shù)晨工)=(工-1/+1的圖象也關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱.

2018

+++_1

故=（再A^OI8）（X2X2OI7）1■（再（x?+再oio）=1009x2=2018,

i-1

X13

2>=（M+乃。18）+（必+乃0。）+…+（總師+>1010）=1009x2=2018

2018201S2018

所以Z（項(xiàng)+y\）=｛入+匯J：=2x2018=4036.選C.

f-lr-lR

【變式訓(xùn)練】

1.12018安徽省六安市第一中學(xué)模擬】設(shè)函數(shù)/("是定義在/?上的偶函數(shù)，且/(x+2)=/(2—力,

當(dāng)工?-2,0］時(shí),/（%）=-1,若在區(qū)間(一2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程

〃x)Tog“(x+2)=(Xa>0MWl)有且只有4個(gè)不同的根,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(―11B.(1,4)C.(1，8)D.(8,+oo)

(如

2.【2019年安徽省宿州市十三所重點(diǎn)中學(xué)】定義在R上的偶函數(shù)y=f(x),其圖像關(guān)于點(diǎn)2對(duì)稱，且當(dāng)

f(x)=-x+—

*C［0,l］時(shí)，2,則/'(〃)=()

9737

-----71-----7T1T-----71-----

A.2B.2c.2D.2

結(jié)論四反函數(shù)的圖象與性質(zhì)

若函數(shù)尸f(x)是定義在非空數(shù)集D上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)尸fYx).特別地,k或與y=log..x(a>0

且aWl)互為反函數(shù)，兩函數(shù)圖象在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)關(guān)于直線尸x對(duì)稱，即(x。，f(x。))與(「(3小。)分別在

函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=fT(X)的圖象上.

例4【2019年上海市浦東新區(qū)】已知函數(shù)/(%)=/+｝的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,7),反函數(shù)廣1(乃的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,0).

(1)求y=fS)的解析式；

(2)求證：/(%)=/(%)-/(-力是增函數(shù).

【答案】⑴/W=4x+3(2)見(jiàn)證明

【解析】

X

當(dāng):《＞-1時(shí),。X2x+1恒成立，所以當(dāng)x〉T時(shí),f(x)2"+l.

2.已知函數(shù)f'(x)=e*x￡R.證明：曲線尸f(x)與曲線y=^x,+x+l有唯一公共點(diǎn).

乙

結(jié)論六三點(diǎn)共線的充要條件

設(shè)平面上三點(diǎn)(),A,B不共線，則平面上任意一點(diǎn)P與A,B共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)X與使得

ffrc~OA-OB

OPdOA+uOB,且入+U=1.特別地，當(dāng)p為線段AB的中點(diǎn)時(shí),。P=2+2.

例6【福建省廈門市2019屆高三上期末】在平面四邊形4BCD中，A/1CD面積是A/1BC面積的2倍，數(shù)列UJ滿

足力=3,且以=(冊(cè)+「3)方+(冊(cè)-2)前，則。5=()

A.31B.33C.63D.65

【答案】B

【解析】

設(shè)AC和BO交于點(diǎn)E,4ACD和4ABe的高分另U為七,電，

??2ACD的面積是2MBe面積的2倍,..也=2九2=\DE\=2\EB\,

：,DE=2EB,即在-CD=2(CB-CE),

：,CE=-CB+-CD,

33

又C4=(an+1-3)CB+(an-2)CD,

由4CE三點(diǎn)共線，i§C4=ACE=|ACB+|ACD,

an+l-3=:久

由平面向量基本定理得＜

Qn-2=1

.,.冊(cè)+1-3=2(%-2),即4+「1=2(4-1),

???數(shù)列｛%-1｝是以%―1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

，冊(cè)-1=2-23=2;即％=2、1,

所以。5=32+1=33

【變式訓(xùn)練】

1.12018河南省鄭州市質(zhì)量檢測(cè)】如圖，在二ABC中，N為線段AC上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、P在BN

(212

上且4P=m+—AB+—8C,則實(shí)數(shù)加的值為()

I11JH

2.【河北省唐山一中2019屆高三上期中】如圖，在△ABC中，加=2而比過(guò)點(diǎn)M的直線分別交射線AB、AC

于不同的兩點(diǎn)P、Q,若Q，何二"衣，則+m的最小值為（）

A.2B.2?C.6D.6方

結(jié)論七三角形“四心”向量形式的充要條件

設(shè)0為△為C所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則

⑴0為AABC的外心=以閆麗|=OC=2sinA,

⑵0為AABC的重心0M+麗+仇?=().

(3)0為AARC的垂心o以?OB=OB?()C=0C?()A

(4)0為AABC的內(nèi)心=a以+l)OB+cOC=o.

例7【2。19年吉林省遼源巾田家炳高級(jí)中學(xué)】仕△/!直-中，點(diǎn)"是仇;的中點(diǎn)，用/=1,點(diǎn)〃在兒”上，且滿

足種=2成，則力,(麗+網(wǎng)等于()

4444

A.-3B.-9C.3D.9

【答案】B

【解析】

.「M是BC的中點(diǎn)，知AM是BC邊上的中線，

又由點(diǎn)P在AM上且滿足而=2PM

/.P是三角形ABC的重心

：.PA-(PB+PC)=PAAP="|?7|2

又

「?國(guó)l=；

：.PA-(fB+PC)=-|?7|2=一；.

【變式訓(xùn)練】

1.【吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中】點(diǎn)M為A4BC的重心,48=2,3。=1,乙4BC=60°,則

AMAC=()

A.1B.Nc.21),3

2.C是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足加竺士竺+XAP,XG[0,+8),則P

2

的軌跡一定通過(guò)4ABC的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

3.C是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足加=以+人(怨+當(dāng)71K￡[0,+8),

則P的軌跡一定通過(guò)AABC的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

4.【吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019屆高三期末】人反。是平面上不共線的三點(diǎn)，。為A4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn),

OP=%(2-22)6+(1+2入曲(入GR)

0是陽(yáng)的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足3,則點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)A4BC心(內(nèi)心、

外心、垂心或重心)

結(jié)論八等差數(shù)列

設(shè)S為等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和.

+

(1)a?=ai+(n-1)d=a,>+(n-m)d,p+q=m+n=>aP+a1|=a.an(m,n,p,qEN*).

(2)aP=q,(pKq)=>3^=0.

(3)Sk,S2k-Sk,S3「S2k,…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.

Snnd(d\[T]也是等差數(shù)列?

(4)J?=-n+-不是關(guān)于n的一次函數(shù)或常函數(shù)，數(shù)列

n2

心c"(%+%)〃(0+%?1)n(a3+an-2)

(5)S=----------------------------------=--------------------

n222

(6)若等差數(shù)列｛aj的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m,公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S侍,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S%則所有項(xiàng)

S(星+]

之和S2n=m(aw+atvi),S耨—S奇二md,二一-----?

S奇Qm

(7)若等差數(shù)列｛aj的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m-l,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S恤則所有項(xiàng)之和

S奇m

$2?-：=(2m-l)a(I,S奇=ma”,Sw=(rn-1)a,,,S有-S?=a..,----------

S偶tn-1

(8)若S?=n,Sn=m(mW,n),則產(chǎn)一(m+n).

(9)Sn,產(chǎn)Sn+Sn+mnd.

例8【廣東省揭陽(yáng)市2019屆高三學(xué)業(yè)水平考試】已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足力一一5,%”8Q“+1(〃WN?)，則數(shù)

列{冊(cè)}中最大項(xiàng)的值為.

1

【答案】7

【解析】

on18a”+1111

a/+i=-----------------=-------------------F8n--------------=8

由Wn+l.J.an+lananan+lan,

1

{—}2-=J-+(n-l)x8=8n-17a-

即數(shù)列&是公差為8的等差數(shù)列，故冊(cè)0】，所以“加-17,

_1

當(dāng)71=1,2時(shí)時(shí)<0；當(dāng)九Z3時(shí)，>0,數(shù)列｛4｝遞減，故最大項(xiàng)的值為與—7

【變式訓(xùn)練】

1.等差數(shù)列｛4｝共有36項(xiàng)，若前2m項(xiàng)的和為200,前36項(xiàng)的和為225,則中間加項(xiàng)的和為，()

A.50B.75C.100D.125

2.12018寧夏育才中學(xué)模擬】已知無(wú)窮等差數(shù)列｛(｝的公差d>0,｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若％<0,

則下列結(jié)論中正確?的是()

A.｛S〃｝是遞增數(shù)列B.｛SJ是遞減數(shù)列

C.$2〃有最小值D.S?”有最大值

3.【四川省廣元市2019屆高三第一次高考適應(yīng)】已知方程(―-2“+m)(x2-2x+n)=。的四個(gè)根組成一個(gè)

1

首項(xiàng)為彳的等差數(shù)列，則M-川二_____.

結(jié)論九等比數(shù)列

已知等比數(shù)列｛&｝,公比為q,前n項(xiàng)和為S”

nt,：,

(1)a?=a.?q",an,n=allq=a?q(n,nGN*).

(2)若m+n=p+q,則a??an=aP?au(m,n,p,q￡N*);反之,不一定成立.

(3)a1a2a3…a?,—…aa>,2tt+2…a-…成等比數(shù)列(mWN*).

(4)公比qW-l時(shí)，Sn,S2n-Sn,S3;S2n,…成等比數(shù)歹iJ(neM).

(5)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n￡V),公比為q,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S%則目口.

、奇

fl

⑹｛&｝,(b“｝是等比數(shù)列，則｛入aj,|一,｛ah｝,廣也是等匕數(shù)列(入NO,n￡N)xk-*/w

(bn)

(7)通項(xiàng)公式a“=adL&-U從函數(shù)的角度來(lái)看,它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的積,

q

其圖象是指數(shù)函數(shù)圖象上一群孤立的點(diǎn).

(8)與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng)；兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相

反數(shù).

(9)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,通常設(shè)為-,X,xq;四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,通常設(shè)為工,-,xq,xq3.

qqq

例9【吉林省高中2019屆而三上期末】在遞增的等比數(shù)列口)中，。2=6,且4(。3-°2)=%-6.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若與=。"+2"-1,求數(shù)列｛九｝的前幾項(xiàng)和S”.

n1n2

【答案】(1)an=2x3~(2)Sn=3-1+n

【解析】

(I)設(shè)公比為q,由4(0a-%)=%-6,得4(6q-6)=6q2-6,

化簡(jiǎn)得q--4q+3=0,解得q=3或q=1,

因?yàn)榈缺葦?shù)列｛5｝是遞增的，所以q=3,at=2,

所以冊(cè)=2X3底】.

.(2)由(1)得"=2*3*1+2/1_1,

所以5n=(2+6+18+-+2x3n-1)+(1+3+5+???+2n-1),

_2x(l-3n)n(l+2n-l)

則上=1-3+2,

所以Sn=3"-1+M

【變式訓(xùn)練】

Q

1.12018西敏拉薩一模】已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為7；,若q=-24,4=一一，則當(dāng)(取得最

大值時(shí)，〃的值為()

A.2B.3C.4D.6

2.【廣東省惠州市2019屆高三第三次調(diào)研】已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛a，J的前幾項(xiàng)和為%,月尸2?。3=40,

S4=26,數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和〃=2”】-2(旌N)

(1)求數(shù)列SJ與｛4J的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列W晨易｝的前〃項(xiàng)和M鞏

結(jié)論十多面體的外接球和內(nèi)切球

1.長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)d與共頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)a,b,c之間的關(guān)系為dJa、b2+c2;若長(zhǎng)方體外接球的半

徑為R,則有(242=2知六^.

2.棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)切球半徑尸*a,外接球半徑R條.

例10【四川省瀘州市2019屆高三第一次診斷】已知三棱錐S-/1BC的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，底面是

正三角形且和球心°在同一平面內(nèi)，若此三棱錐的最大體積為13，則球°的表面積等于.

【答案】

【解析】

???與球心。在同一平面內(nèi)?。是A4BC的外心，

設(shè)球半徑為兄

則A/IBC的邊長(zhǎng)。=用凡

S.=爭(zhēng)2=條(回)2=￥收

當(dāng)SiMABC所在面的距離為球的半徑R時(shí)，

S-RBC體積最大，

^S-ABC=XR=：X：A/3R2XR=16v3,

???R3=64,R=4,

球表面積為47rH2=47rxi6=64n,故答案為647r.

【變式訓(xùn)練】

1.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉牖，若三棱錐。一八3c為鱉膈，44_1平

面,48。,94=3,48=4,4。=5,三棱錐尸一48。的四個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，則球。的表面積為()

A.17乃B.25"C.344D.50%

2.球。的球心為點(diǎn)0,球()內(nèi)切于底面半徑為6、高為3的圓錐，三棱錐V-ABC內(nèi)接于球0,已知OAJ.

OB,AC±BC,則三棱錐V?ABC的體積的最大值為_(kāi)___.

結(jié)論十一焦點(diǎn)三角形的面積公式

x2y2

(1)在橢圓—+^=l(a>b>0)中，R,邑分別為左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則aPFFz的面積

2

S△PF1F2=b,tan］其中0二NFFF2.

x2V2

⑵在雙曲線=-t=l(a>0,b>0)中，*,F2分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，則△PRF2的面積

/11

S△PF4-0,其中0=公明

tan-

2

例11已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，匕、鳥(niǎo)為焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，直線PG與尸與傾斜

75

角的差為90。，△石尸鳥(niǎo)的面積是20,離心率為號(hào)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

222

【解析】設(shè)/片=6,則夕=90°.???S^PF2=btan-=btan450=Z?=20,

2

c4a1-b2V5

又一,?e一一一-----------——，

aa3

.一”，即1TA

。29a29

解得：a2=45.

X2v2y2x2

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為——+」=1或—+——=1.

45204520

【變式訓(xùn)練】

r2v2PF-PFI

i.已知p是橢圓丁+J=i上的點(diǎn)，小居分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若一，二」則

25?

9■\PFi\^\PF2\2

△耳PF?的面積為()

A.36B.273C.V3D.—

3

22

2.雙曲線L—L=1兩焦點(diǎn)為Fl,F2，點(diǎn)R在雙曲線上，直線PR,PF2傾斜角之差為工，則

9163

△BPF2面積為()

A.1673B.3273C.32D.42

結(jié)論十二圓錐曲線的切線問(wèn)題

1.過(guò)圓C:(x-a)2+(y-b)JR2上一點(diǎn)P(x?,y?)的切線方程為(xua)(x-a)+(y(rb)(y-b)=R；

22

xyxQxy0y

2.過(guò)橢圓。2+廬=1上一點(diǎn)pa。,y。)的切線方程為a2+b2=i

3.已知點(diǎn)M(xo,yo),拋物線C:y2=2px(pW0)和直線1:yoy=p(x+xo).

(1)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C上時(shí)，宜線1與拋物線C相切，其中M為切點(diǎn)，1為切線.

(2)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C外時(shí),直線1與拋物線C相交,其中兩交點(diǎn)與點(diǎn)M的連線分別是拋物線的切線，即

直線1為切點(diǎn)弦所在的直線.

(3)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C內(nèi)時(shí),直線1與拋物線C相離.

例12已知拋物線C:x2=4y,直線1:x-y-2=0,設(shè)P為直線1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,

其中A,B為切點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P(xo,義)為直線1上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程.

解析聯(lián)立方程得I5二:1°，

消去入整理得x'-4x%=0,

△=(-4):-4X8=-16<0,故直線1與拋物線C相離.

1

由結(jié)論知,P在拋物線外，故切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為x：x=2(y$),即y=2XcX-yc.

【變式訓(xùn)練】

1.過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x-l)2+y2=l的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB.的方程為()

A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0

Yfl

2.設(shè)橢圓C:4+3=1,點(diǎn)p['21則橢圓C在點(diǎn)P處的切線方程為.

結(jié)論十三圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

x2y2

1.在橢圓E:管+q=l(a>b>0)中:

(1)如圖①所示,若直線y=kx:kWO)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)過(guò)A,B兩點(diǎn)作橢圓的切線1,二'，有1〃1',

設(shè)其斜率為ko,則k0-k=--.

(T

(2)如圖②所示,若直線y=kx與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓上異于A,B的點(diǎn),若直線PA,PB的斜率存

在，且分別為k“k2,貝ijk,?k2=--.

⑶如圖③所示,若直線y=kx+m(k^O且m#0)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),P為弦AB的中點(diǎn),設(shè)直線P0的斜

b2

率為ko,貝Iko,k=--.

QN

/y2

2.在雙曲線E:—^-=l(a>0,b>0)中，類比上述結(jié)論有:

Q2M

b2

⑴ko?k=—

or

b2

⑵ki?k2=—.

OL

(3)ko?kf.

(T

22

例13已知橢圓E:j+?1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若AB的中

點(diǎn)坐標(biāo)為(1,T),則橢圓E的方程為()

A.匕匕B.匕匕

45363627

C.E/=1D.E4=I

2718189

答案D

解析

如圖所示,設(shè)P(1,T),則有底?上尸-忘

即-*k”-a；=2b1故選D.

士

【變式訓(xùn)練】1.橢圓C：4+§=1的左、右頂點(diǎn)分別為兒,42,點(diǎn)P在橢圓C上且直線PA2的斜率的取值范圍是

[-2,-1],那么直線PA,的斜率的取值范圍是.

x2y2

2.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于p,A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)

P作x軸的垂.線,垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線PA的斜率為k.對(duì)任意k>0,求證:PAJ_PB.

結(jié)論十四圓錐曲線中的一類定值問(wèn)題

在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、物物線)中，曲線上的一定點(diǎn)P(非頂點(diǎn))與曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)A,E滿足直線PA

與PB的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補(bǔ))，則宜線AB的斜率為定值.

圖示條件結(jié)論

7

4J

直線AB的斜率％為定值

已知橢圓J+廬=】(a>b>0),定點(diǎn)P(x。,y。)(x°yo#O)在橢

J

圓上，設(shè)A,B是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB的斜率

a2yo

A

分別為kpA,kpB,且滿足kpA+kre=O.

y22

xy

直線AB的斜率總為定值

已知雙曲線滔-廬=1(a,b>0),定點(diǎn)P(x(>,yj(xoyoXO)在

以。

雙曲線上，設(shè)A,B是雙曲線.上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB

—a2yo

的斜率分別為kpA,kpe,且滿足kpA+kpB=O.

1

已知拋物線y=2px(p>0),定點(diǎn)P(xo,yo)(xoyoWO)在拋

￡

物線上,設(shè)A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB的

直線AB的斜率%為定值一打.

金斜率分別為％,kvB,且滿足kl-A+k^O.

例14已知拋物線C:y!2x,定點(diǎn)P(8,4)在拋物線上,設(shè)A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB的斜率

分別為k,>A,kpB,且滿足跖+%=0.證明：直線AB的斜率k,w為定值，并求出該定值.

解析設(shè)A(xi,yJ,B(x2,y2),kpA=k,

則kKkWO),又P(8,4),

所以直線PA的方程為y-4=k(x-8),

即尸kx+4-8k,聯(lián)立方程得卜：八十"-8。消去丫得k；x；+(8k-16k」2)x+(4-8k)；=0,8x：=W^,得

ly2=2x,“

(4-8k)2

聯(lián)2，

同理可得X產(chǎn)噌WX不產(chǎn)一暴匕宗專X：“竺薩X2二氣汽因?yàn)?/p>

y：=kx；+4-8k,y:=-kx；+4+8k,

故y：-y：=~k(x：F)+16k=-kX“+誓+16k=g,故屋廣？二氣三,所以直線AB的斜率k*為定值且為

"(14

【變式訓(xùn)練】已知橢圓C:4+3=1,A為橢圓上的定點(diǎn),若其坐標(biāo)為AI'21E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果

直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù).證明:直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.

結(jié)論十五圓錐曲線中的一類定點(diǎn)問(wèn)題

若圓錐曲線中內(nèi)接直角三角形的直角頂點(diǎn)與圓錐曲線的頂點(diǎn)重合,則斜邊所在直線過(guò)定點(diǎn).

(1)對(duì)于橢圓。2+產(chǎn)=1s>b>0)上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A,B,以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)(a,0),則直線IAB

過(guò)定點(diǎn)I。+戶Z同理,當(dāng)以AB為直徑的圓過(guò)左頂點(diǎn)(-a,O：i時(shí),直線L過(guò)定點(diǎn)Ia?+iI

(2)對(duì)于雙曲線。2-廬=15>0,b>0)上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A,B,以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)(a,0),則直

(-

線5過(guò)定點(diǎn)I?-h/同理，對(duì)于左頂點(diǎn)(-也0),則定點(diǎn)為I?2-房).

⑶對(duì)于拋物線yJ2Px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A,B,若以.以=o,則弦AB所在直線過(guò)點(diǎn)(2p,0).同理，

拋物線x?=2py(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A,B,若以則直線AB過(guò)定點(diǎn)(0,2p).

例15已知拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A,B滿足以AB為直徑的圓過(guò)頂點(diǎn).

求證:AB所在的直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

解析由題意知1電的斜率不為0(否則只有一個(gè)交點(diǎn))，故可設(shè)l.*B：x=ty+m,A(xi,yj,B(x?,丫2),由

2

[y=2Px,ry1+y2=2pt,

(x=ry+m消去x得3<-2pty-2pm=0,從而A=(~2pt)--4(-2pm)=4p_t'+8pm>0,即pt2+2m>0,(^1^2-Pm-①

因?yàn)橐訟B直徑的圓過(guò)頂點(diǎn)0(0,0),所以以?°B=0,即XiX2+yiy2=0,也，即(tyi+m)(ty2+m)+yiy：=0,把式①代

入化簡(jiǎn)得m(m-2p)=0,得m=0或2P.

(1)當(dāng)m=0時(shí),x=ty,IAB過(guò)頂點(diǎn)0(0,0),與題意不符,故舍去；

(2)當(dāng)m=2p時(shí),x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以1例過(guò)定點(diǎn)(2p,0),此時(shí)m=2p滿足pt2+2m>0.

綜上,LB過(guò)定點(diǎn)定p,0).

【變式訓(xùn)練】已知橢圓彳+口=1,直線l:y=kx+m與橢圓交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左、右頂點(diǎn))，且以AB為直

徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn).求證:直線1過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

結(jié)論十六拋物線中的三類直線與圓相切問(wèn)題

P

AB是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦(焦點(diǎn)弦)，過(guò)A,B分別作準(zhǔn)線1:x=-2的垂線,垂足分別為A,,B.,E

為A3的中點(diǎn).

(1)如圖①所示，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線1相切于點(diǎn)E.

⑵如圖②所示，以A.B.為直徑的圓與弦AB相切于點(diǎn)F,且EF2=A>A-BBu

(3)如圖③所示，以AF為直徑的圓與y軸相切.

例16過(guò)拋物線/=2px(p>0)的對(duì)稱軸上一點(diǎn)A(a,0)(a>0)的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)，自M,N向直

P

線l:x=-a作垂線，垂足分別為M”.當(dāng)a立時(shí),求證:AM」ANi.

p(PP

證明證法一：如圖所示，當(dāng)a=2時(shí)，點(diǎn)A12'J為拋物線的焦點(diǎn)，1為其準(zhǔn)線x=-2,由拋物線定義得

MA|=|MM1,NA|=|NN［所以NMA%;NNMANNAN產(chǎn)NNNA

因?yàn)镸M.#NNb故ZM1MA+ZN1NA=180°,所以ZMM.A+ZMAM2+ZNN.A+ZNANi=180°,所以

NMAK+NNANi=90°,即NMiAN尸90°,故AM」ANi.

證法二：依題意，可設(shè)直線MN的方程為x=my+a,M（x“y：）,N（x：,y：）3則有NSa,yj4Sa,y：）.由

|y2_2px消去處可彳?y*-2jnpy-2ap=O,

鼠％+”=2mp,①

lyi-y：=~2ap,②

于是x：+x：=m（y：+y；）+2a=2m'p+2a,③

.d.zL>ii2L：.@

Xlx:=2p2p加a

當(dāng)噂寸，點(diǎn)A&0后拋物線的焦點(diǎn),1為其準(zhǔn)線此時(shí)

由②可得y>,y2=-p2.

因?yàn)?%=（-p,-，4M=（-p,m）,

故俐?4M=0,即AM,1AN1.

證法三：同證法二得yi-y?=-p2.

因?yàn)槟?二一p,“4％二-p,故心"1?"%二T,即AM11AN）.

【變式訓(xùn)練】

3

1.設(shè)拋物線C：）3=4X的焦點(diǎn)為尸，直線/：x=--,若過(guò)焦點(diǎn)尸的直線與拋物線C相交于A3兩點(diǎn)，

2

則以線段A3為直徑的圓與直線/的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相離D.以上三個(gè)答案均有可能

2

2.已知拋物線C:y=8x與點(diǎn)M（-2.2）,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若也.用=0,則

k=.

【變式訓(xùn)練】【答案】

結(jié)論一奇函數(shù)的最值性質(zhì)

【變式訓(xùn)練】

1.【答案】2018

【解析】f\x+|l=x2+sinx+2017,sinx(

-----;------------=1+—----------：/x+

^+2017/+2017X2+2017'

/T=

g(x)=/,g(x)為奇困數(shù)，g(-x)+g(x)=O,則

/(r+g)-l+-1=0'/卜2,令一"+；=乙

x=\-t,x+^=\-t,/(r)-/(l-r)=2,〃°)+/(I)=2J(*)+/(第)2,.....則

201-/y\

Syl20i7;2x”=2018.

2

2.【答案】2

【解析】t(x)=1——r------------,乂y=——r--------------為奇困數(shù)

X~+COSX+1X+COSX+1

???f(6的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱

???最大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與最小值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱

.W+m.nn、.八

??-------=1?即M+m=2

2

故答案為：2

結(jié)論二函數(shù)周期性問(wèn)題

【變式訓(xùn)練】

1.

【答案】A

【解析】依題意/(3—x)=-/(x)=/(-x)，故函數(shù)/(x)為周期為3的周期函數(shù)，

/(2017)=/(3x672+l)=/(l)=-/(-l)=-log2(-2+7)=-log25,故選A.

1

2.【答案】2

【解析】

f(―)=f(―+10)=f(―)

根據(jù)題意，函數(shù)f(%)是周期為2的函數(shù)，則222,

又由/⑴為奇函數(shù)，則'9=7&=一(一》=1

f（―）=-

則22:

1

故答案為：2

結(jié)論三函數(shù)的對(duì)稱性

【變式訓(xùn)練】

1.【答案】D

【解析】V/（2+x）=/（2-x）,

???函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=2,即〃r）=〃x+4）,

又函數(shù)〃力為偶函數(shù),即〃—/）=/（?，

???f(x+4)=/(x),

???函數(shù)/（x）為周期函數(shù)，且T=4是一個(gè)周期.

結(jié)合函數(shù)〃力為偶函數(shù)，且當(dāng)x4一2,0]時(shí),畫(huà)出函數(shù)〃力在區(qū)間（-2,6）上的圖

象（如圖所示），并且〃-2）=十（6）=y（）=

???在區(qū)間（-2,6）內(nèi)方程方（力-log.（x+2）=（X。>0,a/1）有且只有4個(gè)不同的根,

???函數(shù)y="X）和y=log”（戈+2）的圖象在區(qū)間（一2,6）內(nèi)僅有4個(gè)不同的公共點(diǎn).

a>1

結(jié)合圖象可得只需滿足｛心。8<],解得。>8.

???實(shí)數(shù)。的取值范圍是（&+8）.

2.【答案】D

【解析】

因?yàn)閥=圖像關(guān)于點(diǎn)G'°)對(duì)稱，所以，(2+")+[2-")二°,所以/'(i+幻+八-幻=0,又y=f(%)為

偶函數(shù)，所以/(-*)=-/(刈，所以f(x+2)=-/(l+“)=/(x),所以函數(shù)人乃最小正周期為2,所以

17

f(71)=-4)=/(4-7T)=7T—4+-=江---

結(jié)論四反函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【變式訓(xùn)練】

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(力=--3與g(x)=/(e為自然對(duì)教的底數(shù))的圖象上存在關(guān)于直線〉=x對(duì)稱

的點(diǎn)，所以函數(shù)/(工)=￡-以與〃(x)=1nx的圖象有公共點(diǎn)，則/-欠=n丫有解，即〃=x-處有解,

x

一+步一】>0在(Le]上成立,

令尸(x)=x—?jiǎng)t，貝"尸'(句=*+1產(chǎn)一1<0在成立，r(x)=

XXx

即下⑺.?在單調(diào)遞減在(Le|上單調(diào)遞增，且F(e)=e—：,尸，)=e+g尸(1)=1,所

以lKaKe+1;故選A.

e

結(jié)論五兩個(gè)經(jīng)典不等式

【變式訓(xùn)練】

1.

【答案】B

【解析】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閤〉T且xWO},所以排除選項(xiàng)D.

令g(x)=ln(x+l)x,則由經(jīng)典不等式ln(x+l)Wx知,g(x)W0恒成立，故f(x)=^—<0恒成立,所以排除A,C,

g(x