/江蘇省鹽城市七校聯考2024_2025學年高二下冊3月月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．乘積的展開式中項數為（

）A．38 B．39 C．40 D．412．設是空間的一組基底，則一定可以與向量，構成空間的另一組基底的向量是（

）A． B． C． D．或3．已知空間四邊形中，連結，設分別是的中點，則等于（

）A． B． C． D．4．在空間直角坐標系Oxyz中，點關于坐標平面Ozx對稱的點的坐標為（

）．A． B． C． D．5．已知是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，以為基底，則可以表示為（

）A．B．C．D．6．設是空間不共面的四點，且滿足，則是（

）A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．如圖；在的矩形長條中，涂上紅、黃、藍3種顏色，每種顏色限涂2格，并且相鄰兩格不同色，則不同的涂色方法共有種數為（

）

A．28 B．29 C．30 D．318．如圖所示，在正方體的側面內有一動點，點到直線的距離與到直線的距離相等，則動點所在曲線的大致形狀為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．若是空間任意四點，則有B．單位正交基底中的基向量模為1，且互相垂直C．將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點軌跡是一個圓D．若空間向量滿足，則10．象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子．現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說法正確的是（

）A．共有種排列方式． B．若兩個“將”相鄰，則有種排列方式．C．若兩個“將”不相鄰，則有種排列方式． D．若同色棋子不相鄰，則有種排列方式．11．如圖，在棱長為4的正方體中，分別是棱，的中點，是正方形內的動點，則下列結論正確的是（

）A．若平面，則點的軌跡長度為B．若，則直線與平面所成角的正弦值的最小值是C．若，則在平面上的投影向量可以是D．若是棱的一點，則異面直線與所成角余弦值的范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線的一個方向向量，且直線過和兩點，則.13．《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有種.14．如圖，有一長方形的紙片的長度為的長度為，現沿它的一條對角線把它折疊成的二面角，則折疊后，線段的長是.

四、解答題（本大題共5小題）15．（1）計算：；（2）解不等式.16．已知空間中三點、、，設，.(1)若向量與互相垂直，求的值；(2)若，且與共線，求向量.17．如圖，已知正方體的棱長為2，點為棱上一點，直線與所成角為.(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值.18．把1、2、3、4、5這五個數字組成無重復數字的五位數，并把它們由大到小的順序排成一個數列.(1)求43251是這個數列的第幾項；(2)求這個數列的第26項；(3)求這個數列的所有項的和.19．如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面底面，為上的點，且平面.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角大小的正切值；(3)試探求點到平面的距離與四面體外接球半徑的大小關系，并說明理由.

答案1．【正確答案】C【詳解】從第一個括號中選一個字母有2種方法，從第二個括號中選一個字母有4種方法，從第三個括號中選一個字母有5種方法，根據分步乘法計數原理可知共有項.故選C.2．【正確答案】C【詳解】因為是空間的一組基底，所以向量不共面，而向量，，則，，故，與或共面，則不與共面.故選C.3．【正確答案】B【詳解】因為分別是的中點，所以，則.故選B.4．【正確答案】C【詳解】由題意得對稱點的橫坐標和豎坐標與點P的相同，縱坐標與點P的互為相反數，所以點關于坐標平面Ozx對稱的點的坐標為，故選C.5．【正確答案】D【詳解】依題意，.故選D.6．【正確答案】B【詳解】設，因為，所以，因此從而，即的三個內角都為銳角，因此是銳角三角形，故選.7．【正確答案】C【詳解】分2類（先涂前3個矩形，再涂后3個矩形．）：第1類，前3個矩形用3種顏色，后3個矩形也用3種顏色，有種涂法；第2類，前3個矩形用2種顏色，后3個矩形也用2種顏色，有種涂法．綜上，不同的涂法和數為．故選C．8．【正確答案】A【詳解】因為在正方體中，側面，所以,即點到直線的距離為,因為點到直線的距離與到直線的距離相等，所以在側面內，點到直線的距離等于,由拋物線定義知，點軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線在側面內部分曲線，因為中點到直線的距離與到點的距離相等，所以拋物線過中點，因為點到直線的距離與到點的距離相等，所以拋物線過點，故選A.9．【正確答案】ABD【詳解】對于A：若是空間任意四點，則有，A選項正確；對于B：單位正交基底中的基向量模為1，且互相垂直，B選項正確；對于C，根據空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個球面，故C選項錯誤；對于D，根據向量相等的定義，空間向量滿足，則明顯成立，故D選項正確.故選ABD.10．【正確答案】ACD【詳解】A選項，由排列知識可得共有種排列方式，A正確；B選項，兩個“將”捆綁，有種情況，再和剩余的4個棋子進行全排列，故共有種情況，B錯誤；C選項，兩個“將”不相鄰，先將剩余3個棋子進行全排列，共有4個空，再將兩個“將”插空，故共有種情況，C正確；D選項，將2個黑色的棋子進行全排列，共有3個空，再將3個紅色的棋子進行插空，則有種排列方式，D正確.故選ACD.11．【正確答案】ABC【詳解】分別取棱，的中點M，N，連接，易證，，平面，平面，所以平面，且平面，平面，所以平面，又平面，則平面平面，因為平面，且P是正方形內的動點，所以點Р的軌跡是線段.因為，所以，因為，所以，故A正確.以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標系.由題中數據可知，則，，.設平面CEF的法向量為，則，得.設直線AР與平面CEF所成的角為，則.因為，所以，所以，所以，則，故B正確.由選項B知，，.所以向量在向量方向上投影向量為：,又因為，當，即時，取等號，所以在平面上的投影向量可以是，故C正確；由選項B建系可知，若是棱的一點，則令，則，所以，所以，故D錯誤；故選ABC.12．【正確答案】0【詳解】∵由和，有又，直線的一個方向向量為∴可設有，解得∴.13．【正確答案】【詳解】根據題意，將香菌、新筍、豆腐干三種原料進行捆綁，且這三種原料無順序，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，所以，不同的下鍋順序種數為種.14．【正確答案】/【詳解】第一空，因為矩形，所以第二空，分別過作，分別交于，

因為二面角為，所以平面平面，又平面平面,平面所以平面，因為平面,所以，因為矩形，所以，同理可得，因為所以.15．【正確答案】（1）64；（2）3或4【詳解】（1）.（2）因為，可知，且，整理可得，解得，且，所以或.16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意可得，，所以，，因為向量與互相垂直，則，解得.（2）由題意可得，則，因為與共線，設，其中，則，解得，當時，；當時，.綜上所述，或.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）以D為坐標原點，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，∵正方體的棱長為2，設，則，則，因為直線與所成角為，所以，化簡得，計算得，所以，設平面的法向量，則，取，得，設與平面所成角為θ，．∴與平面所成角的正弦值為．（2）設平面的法向量，則設二面角為，得，因為為銳角，所以.18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）首位為時,共有項，首位為，千位為時，共有項，首位為，千位為，百位為時，共有項，再往下就是所以是數列第項，（2）首位為時,共有項，再往下就是因此這個數列的第26項是，（3）首位為時,各出現次，其和為，千位為時,各出現次，其和為，百位為時,各出現次，其和為，十位為時,各出現次，其和為，個位為時,各出現次，其和為，因此所有項的和為19．【正確答案】(1)證明過程見解析；(2)(3)，理由見解析【詳解】（1）因為底面是邊長為2的正方形，所以⊥，因為平面底面，交線為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以⊥平面，又平面，所以平面⊥平面；（2）連接，交于點，連接，

因為底面是邊長為2的正方形，所以⊥，由勾股定理得，故，因為平面，平面，所以，，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，所以或其補角為二面角的平面角，由（1）知，