§6.2等差數列課標要求1.理解等差數列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系.3.能在具體問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題.4.體會等差數列與一元函數的關系.1.等差數列的有關概念(1)等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數)(n≥2，n∈N*).(2)等差中項由三個數a，A，b組成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b.2.等差數列的有關公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋n(n-1)2d或S3.等差數列的常用性質(1)若{an}為等差數列，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*).(2)等差數列{an}的單調性當d>0時，{an}是遞增數列；當d<0時，{an}是遞減數列；當d＝0時，{an}是常數列.4.等差數列前n項和的常用性質(1)當d≠0時，等差數列{an}的前n項和Sn＝d2n2＋a1-d2(2)在等差數列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列.(×)(2)等差數列{an}中，a10＝a1＋a9.(×)(3)若等差數列{an}的前n項和為Sn，則S6，S12，S18也成等差數列.(×)(4)若{an}是等差數列，則對任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)2.在等差數列{an}中，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝21，則其公差等于()A.2 B.3 C.6 D.18答案A解析由題意知，設等差數列{an}的公差為d，a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝3，a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝21，兩式相減得9d＝18，所以d＝2.3.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a4的值為()A.－7 B.－10 C.－12 D.10答案A解析設等差數列{an}的公差為d，因為3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋3d)＝(2a1＋d)＋(4a1＋6d)，又a1＝2，所以d＝－3，所以a4＝a1＋3d＝－7.4.在等差數列{an}中，Sn為其前n項和，若a1＋a8＋a6＝6，則S9＝.

答案18解析設等差數列{an}的公差為d，則a1＋a8＋a6＝a1＋(a1＋7d)＋(a1＋5d)＝3(a1＋4d)＝3a5，所以a5＝2，所以S9＝9(a1＋a9)1.掌握等差數列的常用性質(1)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數列.(2)若Sn為等差數列{an}的前n項和，則數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列.(3)若Sn為等差數列{an}的前n項和，則數列Snn(4)若兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則an(5)數列{an}是等差數列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數).2.解題時靈活應用以下結論若等差數列{an}的項數為偶數2n，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，S奇若等差數列{an}的項數為奇數2n＋1，則(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)S奇題型一等差數列基本量的運算例1(1)(2024·新課標全國Ⅱ)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝.

答案95解析方法一(基本量法)設數列{an}的公差為d，則由題意得a解得a則S10＝10a1＋10×＝10×(－4)＋45×3＝95.方法二(利用下標和性質)設數列{an}的公差為d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝a5-a25-2＝3，則S10＝a1＋a102×10＝5(a＝5×19＝95.(2)廣豐永和塔塔高九層，每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠望猶如仙境.某游客從塔底層(一層)進入塔身，即沿石階逐級攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景，現知底層共二十六級臺階，此后每往上一層減少兩級臺階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一層繞塔一周需多三步，則這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周停止共需()A.352步 B.387步 C.332步 D.368步答案C解析設從第n層到第n＋1層所走的臺階數為an，繞第n＋1層一周所走的步數為bn，由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，所以數列{an}為首項為26，公差為－2的等差數列，故an＝28－2n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，數列{bn}為公差為－3的等差數列，故bn＝36－3n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，設數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，所以S8＝8(a1＋T8＝8(b1＋S8＋T8＝152＋180＝332，故這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周停止共需332步.思維升華(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)確定等差數列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.跟蹤訓練1(1)(2025·南通模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a5＝5，a1＋S11＝46，則a3·a10是{an}中的()A.第28項 B.第29項C.第30項 D.第32項答案C解析設等差數列{an}的公差為d，則a解得a所以a3·a10＝(a1＋2d)(a1＋9d)＝9×(－5)＝－45，令an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝－45，得n＝30，即a3·a10是{an}中的第30項.(2)若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，前三個節氣日影長之和為28.8尺，最后三個節氣日影長之和為4.5尺，則春分時節的日影長為()A.5.1尺 B.4.5尺 C.4.1尺 D.3.5尺答案A解析設冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣日影長構成等差數列{an}，公差為d，由題意得a解得a所以an＝a1＋(n－1)d＝11.4－0.9n，所以a7＝11.4－0.9×7＝5.1，即春分時節的日影長為5.1尺.題型二等差數列的判定與證明例2(1)(多選)已知數列{an}的前n項和為Sn，則“數列{an}為等差數列”的充要條件是()A.當n≥2時，an＋1－an＝d(d為常數)B.an＝kn＋b(k，b為常數)C.Sn＝an2＋bn(a，b為常數)D.2an＋1＝an＋an＋2答案BCD解析對于A，當n≥1時，an＋1－an＝d?數列{an}為等差數列，A錯誤；對于B，若數列{an}為等差數列，則an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，符合an＝kn＋b的形式，若an＝kn＋b，則an＋1－an＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k(常數)，即數列{an}為等差數列，故數列{an}的通項公式可以表示為an＝kn＋b?數列{an}為等差數列，B正確；對于C，若數列{an}為等差數列，則Sn＝na1＋n(n-1)d2＝dn22＋a若Sn＝an2＋bn，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2an＋b－a，當n＝1時，a1＝a＋b符合上式，故an＝2an＋b－a，即數列{an}為等差數列，故數列{an}的前n項和可以表示為Sn＝an2＋bn的形式?數列{an}為等差數列，C正確；對于D，由2an＋1＝an＋an＋2，可得an＋1－an＝an＋2－an＋1?數列{an}為等差數列，D正確.(2)已知數列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝2an－1－an－2＋3(n≥3).①求a3的值；②證明：數列{an－an－1}(n≥2)是等差數列；③求數列{an}的通項公式.①解在數列{an}中，a1＝2，a2＝3，且an＝2an－1－an－2＋3，令n＝3，可得a3＝2a2－a1＋3＝7.②證明由an＝2an－1－an－2＋3(n≥3)，當n≥2時，可得an＋1＝2an－an－1＋3，則(an＋1－an)－(an－an－1)＝3，又由a1＝2，a2＝3，可得a2－a1＝1，所以{an＋1－an}是公差為3的等差數列，即數列{an－an－1}(n≥2)是公差為3的等差數列.③解由②知，數列{an＋1－an}是首項為1，公差為3的等差數列，即an＋1－an＝3n－2，所以當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[1＋4＋7＋…＋(3n－5)]＝2＋(＝32n2－72n＋又a1＝2滿足上式，所以an＝32n2－72n＋即數列{an}的通項公式為an＝32n2－72n思維升華判斷數列{an}是等差數列的常用方法(1)定義法：對于n≥2的任意自然數，驗證an－an－1為同一常數.(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立.(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q.(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.跟蹤訓練2(2025·晉中模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝12，且當n≥2(n∈N*)時，2Sn·Sn－1＝－an(1)證明：數列1S(2)設數列{bn}滿足bn＝anan＋1，求b1(1)證明因為2Sn·Sn－1＝－an(n≥2)，所以2Sn＋1·Sn＝－an＋1，則2Sn·Sn＋1＝Sn－Sn＋1，因為S1＝a1＝12≠0，易知Sn≠0所以Sn-S又1S1＝所以數列1Sn是首項與公差都為2(2)解由(1)得1Sn＝2＋2(n－1)＝2則Sn＝12當n＝1時，b1＝a1a2當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝12n－12(所以bn＝-1所以b1＋b101＝－2＋101＋1101-1題型三等差數列的性質命題點1項的性質例3(多選)(2024·南陽模擬)已知{an}是等差數列，Sn是其前n項和，則下列結論中正確的是()A.若a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，則a5＋a6＋a7＝20B.若a2＋a11＝4，則S12＝24C.若a1<0，S15<0，則S6<S5D.若{an}和{anan＋1}都為遞增數列，則an>0答案BC解析對于A，由a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，可得(a3＋a4＋a5)－(a1＋a2＋a3)＝6d＝6，所以d＝1，又由a5＋a6＋a7＝(a1＋a2＋a3)＋12d＝5＋12＝17≠20，所以A錯誤；對于B，由S12＝12(a1＋a12)對于C，由S15＝15(a1＋a15)2＝15a8<0，所以a8<0，又因為a1<0，可得an<0(n＝1，2，…，8)，所以S6－S5＝對于D，因為{an}為遞增數列，可得公差d>0，因為{anan＋1}為遞增數列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d>0，所以對任意的n≥2，an>0，但a1的正負不確定，所以D錯誤.命題點2和的性質例4(1)(2025·咸陽模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝2，S8＝12，則S20等于()A.30 B.58 C.60 D.90答案D解析由數列{an}為等差數列，可知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16也為等差數列，由S4＝2，S8＝12，則S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90.(2)已知等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn與Tn，且SnTn＝3n＋2A.53 B.2011 C.3823答案A解析因為{an}，{bn}均為等差數列，所以a6因為SnTn＝命題點3奇、偶項的性質例5在等差數列{an}中，奇數項之和為220，偶數項之和為165.若此數列的項數為10，則此數列的公差為；若此數列的項數為奇數，則此數列的中間項是.

答案－1155解析令S奇＝220，S偶＝165，若此數列的項數為10，則S偶－S奇＝5d，所以－55＝5d，所以d＝－11；若此數列的項數為奇數，設項數為2n－1，則S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝n(a1＋S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝(n-1)(a2＋a2n-2所以S奇S偶＝nn所以第4項是此數列的中間項，a4＝S奇4思維升華等差數列的性質(1)若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an；(2)若{an}是公差為d的等差數列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數列；(3)在等差數列{an}中，數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an.跟蹤訓練3(1)設等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意正整數n，都有SnTn＝2n-34A.37 B.521 C.1941答案C解析由等差數列的性質可得，a3(2)(多選)(2024·廣州模擬)在等差數列{an}中，a1>0，則下列命題正確的是()A.若a3＋a7＝4，則S9＝18B.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，則a7＋a8＝17C.若S15>0，S16<0，則a82D.若S9＝S10，則S18>0答案ABD解析S9＝9(a1＋a9)設等差數列的公差為d，則(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝4，得d＝1，則a7＋a8＝(a1＋a2)＋12d＝5＋12＝17，故B正確；S15＝15(a1＋a15)2＝15a8>0，則a8>0，S16＝16(a1＋a16)2＝8(a8＋a9)<0，則a8＋a9<0，即0<a若S9＝S10，則a10＝0，S18＝18(a1＋a18)2＝9(a9＋a10)＝9a9，因為a1>0，a10＝0，所以公差d＝a10-a19<0，則a9＝a10－(3)等差數列{an}共有2n＋1項，所有的奇數項之和為132，所有的偶數項之和為120，則n＝.

答案10解析因為等差數列{an}共有2n＋1項，所有奇數項之和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2所有偶數項之和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝n(a2＋a2n)所以S奇解得n＝10.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知數列{an}為等差數列，a1+a2+a3=9，a3+a7=10，則a8等于()A.5 B.6 C.7 D.8答案C解析由a1+a2+a3=3a2=9，得a2=3，由a3+a7=2a5=10，得a5=5，又a2+a8=2a5，即有3+a8=2×5=10，故a8=7.2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1≠0，若a6=2a4，則S24a30等于(A.12 B.10 C.9 D.6答案C解析設{an}的公差為d，由a6=2a4，可得a1+5d=2(a1+3d)，得d=-a1≠0，則S24=24(a1+a24)a30=a1+29d=-28a1，故S24a3.數列{an}的前n項和Sn=n2+3n+m，若p：m=0，q：數列{an}是等差數列，則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件答案D解析當m=0時，Sn=n2+3n，則a1=S1=4，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2(n≥2)，a1=4也滿足an=2n+2，所以an-an-1=2(n≥2)，故數列{an}為等差數列；由數列{an}為等差數列可知a1=4+m，a2=10+m-(4+m)=6，a3=18+m-(10+m)=8成等差數列，所以2a2=a1+a3，即12=12+m，解得m=0.綜上可知，p是q的充要條件.4.(2025·煙臺模擬)記等差數列{an}的前n項和為Sn，若{an}的公差為π2，首項a1∈0，π2，sina1=sina2，則S16A.24π B.32π C.56π D.64π答案D解析因為等差數列{an}的公差為π2所以a2=a1+π2，即sina2=sina1+π2即sina1=cosa1，則tana1=1，又a1∈0，π2，則a1故S16=16×π4+16×1525.(2024·包頭模擬)已知等差數列{an}中，a1=9，a4=3，設Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，則T21等于()A.245 B.263 C.281 D.290答案C解析在等差數列{an}中，由a1=9，a4=3，得公差d=a4-則an=a1+(n-1)d=-2n+11，顯然當n≤5時，an>0，當n≥6時，an<0，所以T21=|a1|+|a2|+…+|a21|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+a21)=2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+a21)=2×5×(9+1)2-6.已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an+1(an+1-1)=an(an+1)，若[x]表示不超過x的最大整數，bn=(n+1)22Sn，則數列{bn}的前2024項和A.1012 B.1011 C.2024 D.2025答案D解析∵an+1(an+1-1)=an(an+1)，∴an+12-an2=an即(an+1-an)(an+1+an)=an+1+an，∵an>0，∴an+1+an>0，∴an+1-an=1，∵a1=1，∴數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列，∴an=n，∴Sn=n(1+∴(n+1)22∴bn=(n+1)2∴T2024=2+1+1+…+12023個=2+2二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2025·遼寧名校聯合體聯考)數列{an}的前n項和為Sn，已知Sn=kn2-2n(k∈R)，則下列結論正確的是()A.a1=k-2B.{an}為等差數列C.{an}不可能為常數列D.若{an}為遞增數列，則k>0答案ABD解析對于A選項，當n=1時，a1=S1=k-2，A正確；對于B選項，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=kn2-2n-[k(n-1)2-2(n-1)]=2kn-(k+2)，顯然當n=1時，上式也成立，所以an=2kn-(k+2).因為an-an-1=2kn-(k+2)-[2k(n-1)-(k+2)]=2k，所以{an}是以2k為公差的等差數列，B正確；對于C選項，由上可知，當k=0時，{an}為常數列，C錯誤；對于D選項，若{an}為遞增數列，則公差2k>0，即k>0，D正確.8.(2024·株洲模擬)設等差數列{an}的前n項和為Sn，則以下四個選項中正確是()A.若a5=0，則S9=0B.若S6-S9=a10，且a2>a1，則a8<0且a9>0C.若S16=64，且在前16項中，偶數項的和與奇數項的和之比為3∶1，則公差為2D.若(n+1)Sn>nSn+1，且a22=a62，則S3和S4答案ABD解析對于A，因為{an}是等差數列，a5=0，所以S9=9(a1+a9)2=9對于B，因為a2>a1，所以公差d=a2-a1>0，即{an}是遞增數列，因為S6-S9=a10，即S9-S6=-a10，所以a9+a8+a7=-a10，即a10+a9+a8+a7=0，則a8+a9=0，所以a8<0且a9>0，故B正確；對于C，因為S16=64，所以16(a1+a16)2=64，則a1+a16=8，則又a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=8a9，a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=8a8，所以8a9=3×8a8，即a9=3a8，故4a8=8，得a8=2，a9=6，所以{an}的公差為a9-a8=4，故C錯誤；對于D，因為(n+1)Sn>nSn+1，即Snn>即1nna1+n(因為a22=a62，所以(a6+a2)(a6-a由于a6-a2=4d≠0，所以a6+a2=0，故2a4=0，即a4=0，因為d<0，所以{an}是遞減數列，則a3>0，a5<0，所以S3>S2>S1，S3=S4>S5>S6>…，故S3和S4均是Sn的最大值，故D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a3=1，a7+a8+a9=12，則S10=.

答案25解析方法一∵a7+a8+a9=3a8=12，∴a8=4，又a3=1，∴a3+a8=5，∴S10=10(a1+a方法二設{an}的公差為d，∵a7+a8+a9=3a8=12，∴a8=4，又a3=1，∴d=a8-a則a1=a3-2d=1-2×35=-1∴S10=10a1+10×9210.已知各項均為正數的數列{an}滿足2an2=an+12+an-12(n∈N*，且n≥2)，a1=1，a2=2答案222解析因為2an2=an由等差中項的定義可知，數列{an2}是首項a12=1，公差d=a2所以an2=a12+(n-1)d=1+3(n-1)由此可知a302=3×又因為an>0，所以a30=222.四、解答題(共28分)11.(13分)(2023·新高考全國Ⅰ)設等差數列{an}的公差為d，且d>1.令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數列{an}，{bn(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通項公式；(6分)(2)若{bn}為等差數列，且S99-T99=99，求d.(7分)解(1)∵3a2=3a1+a3，∴3d=a1+2d，解得a1=d，∴S3=3a2=3(a1+d)=6d，an=a1+(n-1)d=nd，又T3=b1+b2+b3=2d+62d+12∴S3+T3=6d+9d=21即2d2-7d+3=0，解得d=3或d=12(舍去)∴an=nd=3n.(2)∵{bn}為等差數列，∴2b2=b1+b3，即12a2=2a∴61a2-1a即a12-3a1d+2d2解得a1=d或a1=2d，∵d>1，∴an>0，又S99-T99=99，由等差數列的性質知，99a50-99b50=99，即a50-b50=1，∴a50-2550a50即a502-a50-2解得a50=51或a50=-50(舍去).當a1=2d時，a5