廣東省肇慶市四會市華僑中學2025屆高三下學期模擬考試（三）數學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，，若，則實數（

）A． B．3 C．6 D．4．的展開式中第5項的系數為（

）A．60 B．64 C．72 D．845．已知，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若，則雙曲線E的漸近線方程為（

）A． B． C． D．6．記為等差數列的前項和，已知，，則的最大值為（

）A．16 B．18 C．23 D．257．已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．某單位春節共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，每名員工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（

）A．184種 B．196種 C．252種 D．268種二、多選題9．下列結論正確的是（

）A．若隨機變量，滿足，則B．若隨機變量，，則C．若樣本相關系數的絕對值越接近1，則成對樣本數據的線性相關程度越強D．記樣本，，…，的平均數為，樣本，，…，的平均數為，若樣本，，…，，，，…，的平均數為，則10．已知函數，則下列結論正確的是(

)A．圖象的對稱中心為B．是奇函數C．D．在區間上單調遞減11．半徑為3的球O上相異三點A，B，C構成邊長為3的等邊三角形，點P為球O上一動點，則當三棱錐P-ABC的體積最大時（

）A．三棱錐O-ABC的體積為B．三棱錐O-ABC的內切球半徑為C．三棱錐P-ABC的體積為D．平面ABC與平面PAB所成角的正切值為三、填空題12．已知雙曲線的焦距為，則雙曲線C的漸近線方程為．13．若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.14．已知直線（，），若直線被圓所截得的弦長為，則的最大值為．四、解答題15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D為BC的中點，且AD＝，求△ABC的面積．16．如圖，圓柱中，是底面圓上的一條直徑，，分別是底面，圓周上的一點，，，且點不與，兩點重合.

（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知數列的首項為，且滿足．（1）求證：是等比數列；（2）求數列的前項和．18．袋中裝有大小相同的4個黑球，m個白球，n個黃球．（1）當，時，從袋中依次不放回地取出3個球，記取出黑球的個數為，求的分布列及數學期望；（2）當，時，從袋中每次有放回取出一個球，若在第一次取的是黑球的條件下，求四次以內（含四次）取出三種顏色球的概率．19．已知橢圓的離心率為，左右兩頂點分別為，過點作斜率為的動直線與橢圓相交于兩點.當時，點到直線的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；（2）設點關于原點的對稱點為，設直線與直線相交于點，設直線的斜率為，試探究是否為定值，若為定值，求出定值并說明理由.

參考答案1．【答案】C【詳解】由，解得，所以，而，所以，所以.故選C.2．【答案】B【詳解】由，得，即，因此，所以在復平面內所對應的點位于第二象限.故選B3．【答案】A【詳解】因為，，所以，因為，所以，解得，故A正確.故選A4．【答案】A【詳解】的展開式中第5項為，所以所求的系數為60.故選A5．【答案】C【詳解】依題意，，，又，所以，整理得，所以，所以雙曲線E的漸近線方程為，即，故選C.6．【答案】D【詳解】設公差為，則，，解得，所以，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，最大值為.故選D.7．【答案】B【詳解】因為在上單調遞增，且時，單調遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選B.8．【答案】C【詳解】從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人安排到假期的四天值班，一共有種方法；甲在第一天值班有種方法；乙在第四天值班有種方法；甲在第一天值班且乙在第四天值班有種方法；因此從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有種方法，故選C.9．【答案】BCD【詳解】對于A，隨機變量，滿足，則，A錯誤；對于B，隨機變量，，則，B正確；對于C，若樣本相關系數的絕對值越接近1，則成對樣本數據的線性相關程度越強，C正確；對于D，，，，則，D正確.故選BCD10．【答案】BC【詳解】因為，對于A選項，由可得，所以函數圖象的對稱中心為，A錯；對于B選項，，所以為奇函數，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，當時，，單調遞減，所以在區間上單調遞增，D錯.故選BC.11．【答案】BCD【詳解】對于A，設的中心為，由正弦定理可得，由球的截面性質可得平面，所以，所以三棱錐的體積為，故A錯誤；對于B，設三棱錐的內切球半徑為，由等體積法可得，解得，故B正確；對于C，當點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，此時棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故C正確；對于D，連接并延長交于點，由的中心為，所以點必定為中點，且，連接，當三棱錐P-ABC的體積最大時，面，面，所以，又因為，面，所以面，又因為面，所以，又因為，面面，面，面，所以是二面角的平面角，在直角三角形中，，故D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】由題意可得：，且雙曲線的焦點在x軸上，則，故雙曲線C的漸近線方程為，即.13．【答案】【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據兩切線重合,所以，解得.14．【答案】【詳解】因為圓的半徑，圓心，直線被圓截得的弦長為，所以圓心在直線上，即，又因為，當且僅當時，等號成立．所以得的最大值為．15．【答案】（1）（2）【詳解】解:（1）由正弦定理知，所以,

即

所以，化簡得，

因為中，，所以，即，又，所以

（2）因為，

所以，由，解得所以的面積16．【答案】（1）證明過程見解析（2）【詳解】（1）因為是底面圓上的一條直徑，所以⊥，因為⊥底面圓，，所以⊥底面圓，因為底面圓，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面⊥平面；（2）因為⊥底面圓，圓，所以⊥，⊥，所以為二面角的平面角，故，又，所以為等邊三角形，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，設，故，，，，，設平面的法向量為，則，解得，令，得，故，設直線與平面所成角的大小為，則，

直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：數列滿足，即，，即，又，,數列表示首項為，公比為的等比數列．（2）由（1）知，，，當為偶數時，可得；當為奇數時，可得；綜上可得，18．【答案】（1）答案見解析（2）【詳解】（1）根據題意，的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以分布列為：234所以.（2）記表示三次取出三種顏色球，表示四次取出三種顏色球，表示四次以內（含四次）取出三種顏色球，則，，所以，則四次以內取