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文檔簡介
廣東省肇慶市四會市華僑中學2025屆高三下學期模擬考試(三)數學試題一、單選題1.已知集合,則(
)A. B. C. D.2.已知,則在復平面內所對應的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知,,若,則實數(
)A. B.3 C.6 D.4.的展開式中第5項的系數為(
)A.60 B.64 C.72 D.845.已知,橢圓與雙曲線的離心率分別為,,若,則雙曲線E的漸近線方程為(
)A. B. C. D.6.記為等差數列的前項和,已知,,則的最大值為(
)A.16 B.18 C.23 D.257.已知函數在R上單調遞增,則a的取值范圍是(
)A. B. C. D.8.某單位春節共有四天假期,但每天都需要留一名員工值班,現從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班,每名員工最多值班一天.已知甲在第一天不值班,乙在第四天不值班,則值班安排共有(
)A.184種 B.196種 C.252種 D.268種二、多選題9.下列結論正確的是(
)A.若隨機變量,滿足,則B.若隨機變量,,則C.若樣本相關系數的絕對值越接近1,則成對樣本數據的線性相關程度越強D.記樣本,,…,的平均數為,樣本,,…,的平均數為,若樣本,,…,,,,…,的平均數為,則10.已知函數,則下列結論正確的是(
)A.圖象的對稱中心為B.是奇函數C.D.在區間上單調遞減11.半徑為3的球O上相異三點A,B,C構成邊長為3的等邊三角形,點P為球O上一動點,則當三棱錐P-ABC的體積最大時(
)A.三棱錐O-ABC的體積為B.三棱錐O-ABC的內切球半徑為C.三棱錐P-ABC的體積為D.平面ABC與平面PAB所成角的正切值為三、填空題12.已知雙曲線的焦距為,則雙曲線C的漸近線方程為.13.若曲線在點處的切線也是曲線的切線,則.14.已知直線(,),若直線被圓所截得的弦長為,則的最大值為.四、解答題15.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知.(1)求A的大小;(2)若b+c=6,D為BC的中點,且AD=,求△ABC的面積.16.如圖,圓柱中,是底面圓上的一條直徑,,分別是底面,圓周上的一點,,,且點不與,兩點重合.
(1)證明:平面平面;(2)若二面角為,求直線與平面所成角的正弦值.17.已知數列的首項為,且滿足.(1)求證:是等比數列;(2)求數列的前項和.18.袋中裝有大小相同的4個黑球,m個白球,n個黃球.(1)當,時,從袋中依次不放回地取出3個球,記取出黑球的個數為,求的分布列及數學期望;(2)當,時,從袋中每次有放回取出一個球,若在第一次取的是黑球的條件下,求四次以內(含四次)取出三種顏色球的概率.19.已知橢圓的離心率為,左右兩頂點分別為,過點作斜率為的動直線與橢圓相交于兩點.當時,點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標準方程;(2)設點關于原點的對稱點為,設直線與直線相交于點,設直線的斜率為,試探究是否為定值,若為定值,求出定值并說明理由.
參考答案1.【答案】C【詳解】由,解得,所以,而,所以,所以.故選C.2.【答案】B【詳解】由,得,即,因此,所以在復平面內所對應的點位于第二象限.故選B3.【答案】A【詳解】因為,,所以,因為,所以,解得,故A正確.故選A4.【答案】A【詳解】的展開式中第5項為,所以所求的系數為60.故選A5.【答案】C【詳解】依題意,,,又,所以,整理得,所以,所以雙曲線E的漸近線方程為,即,故選C.6.【答案】D【詳解】設公差為,則,,解得,所以,當時,,當時,,所以當時,取得最大值,最大值為.故選D.7.【答案】B【詳解】因為在上單調遞增,且時,單調遞增,則需滿足,解得,即a的范圍是.故選B.8.【答案】C【詳解】從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人安排到假期的四天值班,一共有種方法;甲在第一天值班有種方法;乙在第四天值班有種方法;甲在第一天值班且乙在第四天值班有種方法;因此從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班,甲在第一天不值班,乙在第四天不值班共有種方法,故選C.9.【答案】BCD【詳解】對于A,隨機變量,滿足,則,A錯誤;對于B,隨機變量,,則,B正確;對于C,若樣本相關系數的絕對值越接近1,則成對樣本數據的線性相關程度越強,C正確;對于D,,,,則,D正確.故選BCD10.【答案】BC【詳解】因為,對于A選項,由可得,所以函數圖象的對稱中心為,A錯;對于B選項,,所以為奇函數,B對;對于C選項,,C對;對于D選項,當時,,單調遞減,所以在區間上單調遞增,D錯.故選BC.11.【答案】BCD【詳解】對于A,設的中心為,由正弦定理可得,由球的截面性質可得平面,所以,所以三棱錐的體積為,故A錯誤;對于B,設三棱錐的內切球半徑為,由等體積法可得,解得,故B正確;對于C,當點到平面的距離最大時,三棱錐的體積最大,此時棱錐的高為,所以三棱錐的體積為,故C正確;對于D,連接并延長交于點,由的中心為,所以點必定為中點,且,連接,當三棱錐P-ABC的體積最大時,面,面,所以,又因為,面,所以面,又因為面,所以,又因為,面面,面,面,所以是二面角的平面角,在直角三角形中,,故D正確.故選BCD.12.【答案】【詳解】由題意可得:,且雙曲線的焦點在x軸上,則,故雙曲線C的漸近線方程為,即.13.【答案】【詳解】由得,,故曲線在處的切線方程為;由得,設切線與曲線相切的切點為,由兩曲線有公切線得,解得,則切點為,切線方程為,根據兩切線重合,所以,解得.14.【答案】【詳解】因為圓的半徑,圓心,直線被圓截得的弦長為,所以圓心在直線上,即,又因為,當且僅當時,等號成立.所以得的最大值為.15.【答案】(1)(2)【詳解】解:(1)由正弦定理知,所以,
即
所以,化簡得,
因為中,,所以,即,又,所以
(2)因為,
所以,由,解得所以的面積16.【答案】(1)證明過程見解析(2)【詳解】(1)因為是底面圓上的一條直徑,所以⊥,因為⊥底面圓,,所以⊥底面圓,因為底面圓,所以⊥,因為,平面,所以⊥平面,因為平面,所以平面⊥平面;(2)因為⊥底面圓,圓,所以⊥,⊥,所以為二面角的平面角,故,又,所以為等邊三角形,以為坐標原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系,,設,故,,,,,設平面的法向量為,則,解得,令,得,故,設直線與平面所成角的大小為,則,
直線與平面所成角的正弦值為.17.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】(1)證明:數列滿足,即,,即,又,,數列表示首項為,公比為的等比數列.(2)由(1)知,,,當為偶數時,可得;當為奇數時,可得;綜上可得,18.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】(1)根據題意,的所有可能取值為1,2,3,則,,,所以分布列為:234所以.(2)記表示三次取出三種顏色球,表示四次取出三種顏色球,表示四次以內(含四次)取出三種顏色球,則,,所以,則四次以內取
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