五年級立體幾何拓展一一三視

圖專屬奧數講義

^^士/士口行吐向一，rn向/他

學科教師輔導講義

班級：年級：五

年級

輔導科目：小學思維學科教師：

上課時間

授課主題立體幾何拓展一一三視圖

?工.….”土二、

備知識圖譜；

1<???????????二

備錯題回顧

2/35

-1^1（觸

照石識精講

一.三視圖

在觀察物體的時候，我們往往可以從不同的

角度進行觀察.角度不同，看到的風景就會不

同.比如：我們可以從正面看，上面看，左面看，

看到的圖形分別稱為正視圖，俯視圖和左視圖.并

且容易發現：正面看和后面看,上面看和下面看，

左面看和右面看得到的圖形是相同的.對于較復

雜的立體圖形，通過三視圖法往往可以很方便地

計算出表面積.

二.正方體的展開圖

展開后由上、下、

*+當

我們采用不同的剪開方法，共可以得到下面

11種展開圖.

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士在nI"EB—m/丹

aa市兄于此

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三.長方體的展開圖

觀察上圖可以發現，長方體的展開圖由6個

長方形組成，相對面的面積相等，即上面=下面=

長X寬，左面二右面=寬*高，前面=后面=長*高.

四.判斷圖形折疊后能否圍成長方體或正方體的

方法.

判斷一個圖形折疊后能否圍成正方體或長

方體,首先,要依據它們各自展開圖的特點判斷;

其次，可以運用空間想象或實際操作進一步判

斷.

g鱷三點剖析

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士心nIkEB—m

重難點：展開圖、三視圖及三視圖求個數和表面

積.

1/?*I

俺題模精選:

I、■—_____q.J

^^^_^__^_?_^_^__^__?__2_?_^_?__?__?__?_?_?????????

題模一：展開圖與對立面

例1.1.1一個正方體的六個面上分別寫著4B,

C,D,E,b六個字母.請你根據圖中的三種擺

放情況，判斷每個字母的對面是

【答案】8與O相對，E與4相對，。與方

相對

【解析】由于正方體的6個面上寫了6個不同

的字母，那么每個字母在正方體的面上只能出現

1次，如果2個字母在相鄰的面上出現，那么它

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j士在nikEB—時/丹

們一定不能相對.

第一步，先看前2種擺放情況：在這2種擺放情

況中，只有字母3出現了2次，那么由第一種擺

放可知，5不與A相對，也不與尸相對；由第

二種擺放可知,8不與C相對,也不與石相對.那

么在所有的字母中，3只能與O相對.

第二步，再看后2種擺放情況：在這2種擺放情

況中，只有字母片出現了2次，那么由第二種擺

放可知，E不與B相對，也不與C相對；由第

三種擺放可知,￡不與O相對,也不與F相對.那

么在所有的字母中，E只能與A相對.

正方體有三個對面，因5與O相對，E與A相

對，那么第三組對面上一定是。與耳相對.

例1.1.2圖中的四個正方體標字母的方式是完

全相同的，請你利用圖中已知的信息，判斷力、

B、。的對面分別標的是哪個字母？

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士AirnIkEB—m/丹

【答案】A的對面標有O,3的對面標有凡

C的對面標有E

【解析】由已知條件，標有C,。的兩個面不

能相對，那么或A的對面標有。，或區的對面

標有O.

如果標有0,A的兩個面相對，那么“標有C,D

的兩個面不能相對”，“標有￡,A的兩個面也不

能相對”這兩個條件都可以滿足.注意到當。在

朝右的面，E在朝上的面時，月在朝前的面上，

那么只能是標有E,C的兩個面相對，而標有F,

8的兩個面相對.經檢驗，這種情況滿足題目要

求.

如果標有D,B的兩個面相對，那么由于標有E,

A的兩個面也不能相對，于是標有A的對面就是

標有F的面，而標有C的對面就是標有E的

面.此時。在朝后的面上，E在朝左的面上，F

在朝下的面上.我們把六面體旋轉，把。轉到

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士AirnIkEB—m/丹

朝右的面，并把￡轉到朝上的面，此時朝前的面

上標的是A,而朝后的面上標的是耳，與題意不

符.

綜上所述，滿足題意的答案只有一個：A的對面

標有o,區的對面標有后。的對面標有E.

例LL3如圖，第1個方格內放著一個正方體

木塊，木塊六個面上分別寫著ABCDEF六個字

母.其中4與〃相對,*與￡相對,。與分相對.現

在將木塊標有字母4的那個面朝上，標有字母〃

的那個面朝下放在第1個方格內，然后讓木塊按

照箭頭指向，沿著圖中方格滾動，當木塊滾到

21格時，木塊向上的面上寫的是哪個字母?

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5二8

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【答案】字母A

【解析】發現木塊向左滾4格后，各個面上標

的字母與初始時的情況完全一致.那么木塊朝其

它方向滾時也有類似的情況，即木塊向任意方向

連滾4格，它的各個面上標的字母不變.

所以木塊向左滾4格到第5格時，各個面上標的

字母與在第1格時的情況完全一致.再向下滾4

格到第9格，再向右滾4格到第13格，再向下

滾4格到第17格，最后向左滾4格到第21格,

每次都是朝同一方向滾4格，因此在第5格，第

9格，第13格，第17格，第21格木塊向上的

面上總是寫的字母人

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j士在nikEB—時/丹

例1.1.4如圖，在一個正方體的表面上寫著廣6

這6個自然數，并且1對著4,2對著5,3對著

6.現在將正方體的一些棱剪開，使它的表面展

開圖如圖所示.如果只知道1和2所在的面，那

么6應該在哪個面上（寫出字母代號）？

【答案】A

【解析】對于立方體展開圖，我們可以把任一

個面當作底面，把它還原成立方體的表面.

-----"1與。相

如圖1,觀察虛線圈住的部分，可以發現寫有1,

A,3的三個面兩兩相鄰；再觀察圖2的虛線圈

住的部分，發現寫有A,B,。的三個面也兩兩

相鄰.此時，寫有1的面與4面，B面都相鄰,

C面也與A面，B面都相鄰，因此寫有1的面與

。面相對，即。面上寫的是4.

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士AirnIkEB—m/丹

----->2與3相

ESI

觀察圖3中的虛線圈住的部分，容易看出寫有2

的面與5面相對，因此5面上寫的是5.則立方

體展開圖就如圖4所示.

還剩下A面與。面上的數字沒有確定，這兩個

面上分別寫有3和6.由于寫有1的面，寫有5

的面與A面兩兩相鄰，把這三個面還原到立方體

中.在圖2所示的立方體中，5與2相對，在立

方體朝左的側面上；1在朝前的側面上.在展開

圖中以寫有1的面為朝前的側面,4面為下底面,

則寫有5的面恰好在朝左的側面上.此時寫有1

的面，寫有5的面都對齊了，而原立方體中下底

面寫有數字6,因此A面上就是6.

例LL5下圖是正方體，四邊形力夕宓是表示用

平面截正方體的截面，截面的線表現在展開圖的

哪里呢？把大致的圖形在右面展開圖里畫出來.

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j士在nikEB-時/丹

【答案】見解析

【解析】截線在展開圖中如圖所示:

BA

例LL6右圖是一個立體圖形的平面展開圖，

圖中的每個小方格都是邊長為1的正方形.現在

將其沿實線折疊，還原成原來的立體圖形，那么

???

立體圖形的體積等于.

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A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】根據實線還原，體積為4.

題模二：三視圖求表面積

例121下圖是由5個相同的正方體木塊搭成

的，從上面看到的圖形是（）.

A.A圖B.B圖C.C圖D.D圖

【答案】C

【解析】5個在原圖均已看到，易知C符合要

求.

例L2.2右圖是由18個棱長為Lm的小正方形

拼成的立體圖形，它的表面積是（）平方厘

米.

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士AirnIkEB—m/丹

A.44B.46C.48D.50

【答案】C

【解析】從正面、左面、上面分別可看見8、

7、9塊，故表面積為?x(8+7+9)x2=48而.

例123右圖中的一些積木是由16塊棱長為

2刖的正方體堆成的，它的表面積是而.

■

【答案】200

【解析】從前到后的3面依次有2塊、5塊、

7塊，因此還剩16-2-5-7=2塊，為可看見的1塊與

其下方的1塊.由此易知正視圖、俯視圖、左視

圖分別能看到7塊、9塊、8塊，此外離我們最

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士AirnIkEB—m/丹

近的2塊有兩個面從6個方向均無法看到，綜上

共可看到（7+9+心2+2=50個面，表面積為22x50=200c//r.

例124圖中的立體是由大小相同的若干單位

正方體積木搭成的.這樣的積木一共有多少塊？

畫出它的三視圖，表面積是多少？

【答案】37；三視圖如下圖所不；102

囪加，m

【解析】將此圖分為從左到右的5層，分別有

16、9、5、6、1塊，故共有16+9+5+6+1=37塊.三視

圖見答案，分別可看見17、15、16塊，其中左

視圖有3塊“被遮擋”，因此表面積為

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士AirnIkEB—m/丹

[l7+15+(i6+3)]x2=102.

例125圖中的立體圖形由11個棱長為1的立

方塊搭成，這個立體圖形的表面積為.

【答案】

34

【解析】按一定的順序，從不同的角度來看這

個立體圖形的表面的面積.

題模三：已知三視圖反推個數

1.3.1這個圖形最少是由（）個正方體

整齊堆放而成的.

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n士在nIkEB—m/丹

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

【解析】從上面看下去,【少需要:

1+2+2+4+1+2+1=13.

22

41

例132此圖是某幾何體從正面和左面看到的

圖形.若該幾何體是由若干個棱長為1的正方體

壘成的,則這個幾何體的體積最小是________.

U七

【答案】6

【解析】根據正視圖，理論上最少需要6塊.而

6塊可以構造出來，例如，其俯視圖如下圖所

示.因此，體積最小為限6=6.

2

1

111

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士AirnIkEB—m/丹

例133一個立體圖形，從前面，上面，右邊

三個方向看到的圖形都如圖所示，是一個樣的，

那么該立體圖形最多由塊小立方體

組成.

【答案】23

【解析】按由上到下逐層分析，各層的小立方

體數目分別不超過1個、4個、8個、10個，所

以該立體圖形最多由23個小立方體組成.

例134有一些大小相同的正方形木塊堆成一

堆，從上往下看是圖3-1,從前往后看是圖3-2,

從左往右看是圖3-3,那么這堆木塊最多有多少

塊？最少有多少塊？

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士AirnIkEB—m

【答案】16,13

【解析】4+3x4=16塊，4+2x4+1=13塊.這堆木塊最

多有16塊，最少有13塊.

例135地上有一堆小立方體，從上面看時如

圖1所示，從前面看時如圖2所示，從左邊看時

如圖3所示.這一堆立方體一共有幾個？如果每

個小立方體的棱長為1厘米，那么這堆立方體所

堆成的立體圖形表面積為多少平方厘米？

圖

圖

1圖

X2

【答案】10個；42平方厘米

【解析】采用在俯視圖上標數的方法來求解,

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士AirnIkEB—m/丹

只要知道俯視圖上的每格有幾塊小立方體，就可

以很輕松的得到這堆立方體所形成的立體圖形

的樣子.

首先從俯視圖很容易看出，有3個格子里是沒有

小立方體的，而其他6個格子里至少有一個小立

方體.如下圖，將所得信息填入俯視圖中.

結合俯視圖和主視圖，不難看出，有兩格只有1

塊小立方體.將所得信息填入俯視圖中.

從前面

同樣的，結合俯視圖和左視圖，又可以知道有一

格只有1塊小立方體.將所得信息填入俯視圖

中.

21/37

士在nIkEB—m

我們來繼續考慮，左視圖中最左邊一排有2塊小

立方體，所以俯視圖左上角處有2塊小立方

體.將所得信息填入俯視圖中.

戮

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同理，主視圖最右邊一排有2塊小立方體，所以

俯視圖最右邊中間處有2塊小立方體.將所得信

息填入俯視圖中.

不難看出，俯視圖中最后剩下的那塊有3個小立

方體，所以俯視圖中每格的小立方體數如下：

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士AirnIkEB—m/丹

于是這一堆立方體一共有2+14-3+2+1+1-10個.

接著很容易得到這個立體圖形的樣子，如下圖.

上下各能看到6個面，前后各能看到6個面，左

右各能看到6個面，同時注意到立體圖形的中間

共有6個會互相遮擋的面，所以表面積是

2x(6+6+6)+6=42平方厘米.

卜緇隨堂練習

隨練1?1將一正方體紙盒沿右圖所示的粗實線

剪開，展開成平面圖，其展開圖的形狀為().

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j士在nikEB-時/丹

正方體妖宜^盒/裁線

A.?c.I口口D.IIH|

A.A圖B.B圖C?C圖D?D圖

【答案】B

【解析】豎向只剪了1刀，故前、后、左、右

四個面應在一條線上，排除A、D.易知上、下

兩面不在一條線上，排除C,故選B.

隨練L2水平放置的正方體的六個面分別用

“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如

下圖，是一個正方體的平面展開圖，若圖中的

“似”表示正方體的前面，“錦”表示右面，“程

表示下面.則“祝”、“你"前”分別表示正方

體的__________________________

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n士在nIkEB—m/丹

【答案】后面、上面、左面

【解析】易知你、程相對，前、錦相對，祝、

似相對，因此“祝”、“你”、"前”分別表示正方體

的后面、上面、左面.

隨練L3小明把五顆完全相同的骰子拼擺成一

排(如圖)，那么這五顆骰子底面上的點數之和

是.

【答案】16

【解析】根據已知推出(4,5)03(2,6)互為對立面.

所以這五顆骰子底上的點數之和是

6+1+5+2+2=16?

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士AirnIkEB—m/丹

隨練L4右圖是由八個相同的小正方體組成而

成的幾何體，則從正面觀察，得到的平面圖形是

a

【解析】從正面看到圖②，從上面看到圖①,

從右面看到圖③.所以正確答案是圖②.

隨練L5由棱長為1的正方體搭成如圖所示的

圖形，共有個正方體，它的表面積是

【答案】10;34

【解析】第一層有8個，第二層有2個，共

10個.其三視圖分別能看到4、5、8個，故表

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士AirnIkEB—m/丹

積為1X1x（4+5+8）x2=34

隨練L6如圖，有9個邊長為1米的正方體，

如圖所示堆成一個立體圖形.該立體圖形的表面

積等于平方米.

【答案】38

【解析】利用三視圖.從前面、右面、上面看

依次如圖所示.所以該立體圖形的表面積是

(6+6+7)x2x|2=38平方米.

隨練L7如圖6,用若干個棱長為1的小正方

體堆成一個大的幾何體，這個幾何體的表面積

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士AirnIkEB—m/丹

(含底面積)是

【答案】90

【解析】根據三視圖，大的幾何體的表面積等

于正視圖面積+俯視圖面積+右視圖面積的2倍,

所以是(14+15+16)x2xF=90?

隨練L8用棱長是1厘米的小立方體拼成如圖

所示的立體圖形，這個圖形的表面積是

__________平方厘米.

【答案】46平方厘米

【解析】如圖1,從立體圖形上方和下方看去,

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士AirnIkEB—m/丹

看到的都是9塊小正方形.面積是9平方厘米.

151151

從四個側面看去，看到的是圖2形式的7塊小正

方形，面積是7平方厘米.

所以立體圖形的表面積為9x2+7x4=46平方厘米.

隨練L9把若干個棱長為1厘米的小正方體木

塊搭成一個圖形，從上面和前面看到的都是如圖

所示的情形，這個圖形］多需要個這

樣的小正方體，最少需要個這樣的小

正方體.

【答案】9；7

【解析】由從上方看到的結果可知第一層必有

5個，且第二層至多5個；由從前面看到的結果

可知共有2層，且第二層至少2個.再結合兩個

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n士在nIkEB—m/丹

視圖可知第二層至多4個.綜上，最多9個，最

少7個.

愚自我總結：

:西課后作業\\

t.........................................」

30/37

士AirnIkEB—m/丹

作業1一個數學玩具的包裝盒是正方體，其表

面展開圖如下.現在每方格內都填上相應的數

字.已知將這個表面展開圖沿虛線折成正方體

后，相對面的兩數之和為“3”，則填在4、B、C

內的三個數字依次是.

【答案】3,1,2

【解析】正方體的平面展開圖中，相對面之間

一定隔著一個正方形，所以在此正方體上與“A”

相對的面上的數是“0”.與“B”相對的面上的

數是“2”.與“C”相對的面上的數是“1”.所

以A、B、C內的三個數字依次是3,1,2.

作業2把1至6各一個分別寫在正方形的六個

面上，每個面只寫一個數字，且1與4相對，2

與5相對，3與6相對，從某個角度看到的三個

面上的數字如圖（a）所示，從另一個角度看到

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士AirnIkEB—m/丹

的三個面如圖Qb）所示，那么圖Qb）中的“？”

代表的數字是

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】如圖，4對面是1,所以在圖a中把

4翻到底面，頂部變成了1,如圖b,而5對面

是2,所以當6轉到正面時，5在左側，右側自然

是2了，故答案是2.

作業3下圖由一個正五邊形，五個長方形，五

個等邊三角形組成，它是一個立體圖形的平面展

開圖，那么這個立體圖形有條棱.

32/37

-TirZ-Jrn1+7-S

WvW

【答案】20

【解析】此立體圖形，示意圖如上：共20條

棱.

作業4用若干個棱長為1cm的小正方體碼放成

如圖所示的立體，則這個立體的表面積（含下底

包面積）等于cm'?

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j士在nikEB—時/丹

【答案】60

[解