/北京市2024_2025學(xué)年高一下冊第五學(xué)段數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則2．設(shè)長方體的長、寬、高分別為，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A． B． C． D．4．如圖所示，為的直觀圖，且的面積為，則中最長的邊長為（

）A． B．C． D．5．已知單位向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．在中，，則“”是“是鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．8．如圖所示，圓錐形容器的高為，容器內(nèi)水面的高為，且，若將容器倒置，水面高為，則等于（

）A． B． C． D．9．如圖，已知正方體的棱長為，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，.若棱與平面有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．在湖南省湘江上游的永州市祁陽縣境內(nèi)的沿溪碑林，是稀有的書法石刻寶庫，保留至今的有505方摩崖石刻，最引入稱頌的是公元771年摹刻的《大唐中興頌》，因元結(jié)的“文絕”，顏真卿的“字絕”，摩崖石刻的“石絕”，譽(yù)稱“摩崖三絕”，該碑高3米，寬3.2米，碑身離地有3.7米（如圖所示），有一身高為的游客從正面觀賞它（該游客頭頂T到眼睛C的距離為），設(shè)該游客離墻距離為x米，視角為，為使觀賞視角最大，x應(yīng)為（

）A． B．3 C． D．11．如圖所示，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得到，設(shè)，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在翻折過程中，存在某個(gè)位置使得B．若，則與平面所成角的正切值為C．三棱錐體積的最大值為D．當(dāng)時(shí)，的最小值為12．在單位正方體內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作三個(gè)平行于正方體面的平面，將正方體分成個(gè)小長方體，則這些小長方體中體積不大于的長方體的個(gè)數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．二、填空題13．在正方體中，二面角的平面角等于．14．已知向量．若，則．15．已知圓錐的側(cè)面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑是.16．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，記平面AD1E與平面ABCD的交線為l1，平面AD1E與平面ABB17．已知正四面體中，分別在棱上.若,，則．18．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科．如圖，球的半徑為R，A，B，為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長記為，設(shè)表示以為圓心，且過B，C的圓，同理，圓的劣弧的弧長分別記為，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面．設(shè)．①若平面是面積為的等邊三角形，則；②若，則；③若平面為直角三角形，且，則；④若，則球面的體積；其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題19．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的最大值和最小值及取得最值時(shí)相應(yīng)的值.20．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求證：平面.21．已知的面積為，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）和的值；（2）的值．條件①:，；條件②:，.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．22．如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點(diǎn)．，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請說明理由．23．對于n行n列（）的數(shù)表，定義T變換：任選一組，其中，，對于A中第行和第j列個(gè)數(shù)，將每個(gè)數(shù)同時(shí)加1，或者將每個(gè)數(shù)同時(shí)減1，其余的數(shù)不變，得到一個(gè)新數(shù)表．（1）已知對依次進(jìn)行4次T變換，如下：，寫出a，b，c，d的值．（2）已知，，那么是否可以依次進(jìn)行有限次T變換，將A變換為B？說明理由．（3）已知11行11列的數(shù)表，那么是否可以依次進(jìn)行k次T變換，將其變換為？若可以，求k的最小值；若不可以，說明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】如圖，在正方體中分析選項(xiàng)A、B、C.A.平面，平面，平面平面，但，A錯(cuò)誤.B.，平面，但平面，B錯(cuò)誤.C.平面平面，平面，，但平面，C錯(cuò)誤.D.取直線的方向向量，直線的方向向量，∵，，∴分別為平面的法向量，∵，∴，∴，D正確.故選D.2．【正確答案】B【詳解】由題可知球直徑為長方體的體對角線，故半徑為，.故選B.3．【正確答案】D【詳解】對于A,如下圖所示，易得,則，又平面,平面,則平面，故A滿足；對于B，如下圖所示，為所在棱的中點(diǎn)，連接,易得,則四邊形為平行四邊形，四點(diǎn)共面，又易知，又平面,平面,則平面，故B滿足；對于C,如下圖所示，點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)，連接,易得四邊形為平行四邊形，四點(diǎn)共面，且,又平面,平面,則平面，故C滿足；對于D，連接,由條件及正方體的性質(zhì)可知四邊形是等腰梯形，所以與所在的直線相交，故不能推出與平面不平行，故D不滿足，故選D.4．【正確答案】B【詳解】設(shè)，由題意可得，則，所以，所以在中，，由，所以，即中最長的邊長為.故選B5．【正確答案】C【詳解】化簡得，，，，，故選:C.6．【正確答案】A【分析】先判斷如果能不能推出是鈍角三角形，再判斷如果是鈍角三角形，是否一定有即可.【詳解】如果，由于B是三角形的內(nèi)角，并且，則，即，是鈍角三角形，所以“”是“是鈍角三角形”的充分條件；如果是鈍角三角形，不妨設(shè)，則，所以“”不是“是鈍角三角形”的必要條件.故選A.【方法總結(jié)】充分必要條件和對應(yīng)集合的關(guān)系可根據(jù)如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：若p是q的必要不充分條件，則q對應(yīng)集合是p對應(yīng)集合的真子集；若p是q的充分不必要條件，則p對應(yīng)集合是q對應(yīng)集合的真子集；(3)若p是q的充要條件，則p對應(yīng)集合與q對應(yīng)集合相等；(4)若p是q的既不充分也不必要條件，則q對應(yīng)集合與p對應(yīng)集合互不包含.7．【正確答案】D【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤危曰蚱溲a(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫裕郑云矫妫裕O(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選D8．【正確答案】D【詳解】設(shè)容器底面半徑為，倒置前液面的半徑為，倒置后液面的半徑為則，則水的體積為，倒置后水的體積，所以，故選D9．【正確答案】A【詳解】由題意，若，則棱與平面交于點(diǎn)，符合題意，此時(shí)；若，，則棱與平面交于線段，符合題意，此時(shí).排除B、C、D選項(xiàng).故選A．10．【正確答案】A【詳解】設(shè)，由圖可知，，由基本不等式知，當(dāng)，即時(shí)，最大，從而角最大.故選A11．【正確答案】D【詳解】對于A，當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，，平面與平面的交線為，平面,平面，又平面，，，故A正確；對于B，連接，因?yàn)槠矫妫云矫妫制矫妫裕驗(yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，所以平面，則即為與平面所成角的平面角，在中，，則，，所以，即與平面所成角的正切值為，故B正確；對于C，三棱錐的體積（為點(diǎn)到平面的距離）..當(dāng)平面平面時(shí)，最大，的最大值為，此時(shí)，所以三棱錐體積的最大值為，選項(xiàng)C正確.對于D，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉(zhuǎn)，使其與在同一平面內(nèi)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的最小值為，在中，，則，所以，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選D.12．【正確答案】B【詳解】設(shè)該正方體的長寬高分別被切成長度為和,和,和的兩段,設(shè),且根據(jù)據(jù)對稱性，可不妨設(shè),此時(shí)，8個(gè)長方體的體積分別是由,可知，因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以和中至少有一個(gè)數(shù)不超過,所以這8個(gè)長方體中至少有4個(gè)的體積不超過.當(dāng)時(shí)，8個(gè)長方體的體積分別是0.0625;0.061875;0.061875;0.075625;0.151875;0.185625;0.185625;0.226875;此時(shí)這8個(gè)長方體中恰有4個(gè)的體積不超過.綜上，這些小長方體中體積不大于的長方體個(gè)數(shù)的最小值為4.故選:B.13．【正確答案】【詳解】在正方體中，面，面，所以，因?yàn)椋矫妫云矫妫矫妫裕远娼堑钠矫娼菫?在正方體中易知.14．【正確答案】.【詳解】,，解得.15．【正確答案】1【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，則，解得：，又，解得.16．【正確答案】12；本題考查等角定理及其辨析、面面平行在正方體ABCD?A1B1如圖，延長D1E與DC延長線交于點(diǎn)F,連接AF,則直線AF即為直線l1由CE//DD1,得CF=由平面CDD1C1//平面ABB1A1則D1E//l2,又C所以tan(α17．【正確答案】3或【詳解】當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，因此.在中，由余弦定理可得，則，解得.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).在中分別使用余弦定理可得由可知是關(guān)于的方程的兩個(gè)相異正實(shí)根，所以可寫為，因此，解得.即.18．【正確答案】①②④【詳解】對于①，因等邊三角形的面積為，則，又，故，則，故①正確；對于②，由可得，故，即②正確；對于③，由余弦定理可知，由可得，，即，化簡得，．取，則，則，故③錯(cuò)誤；對于④，由可得，故，由正弦定理，的外接圓半徑為，點(diǎn)到平面ABC的距離，則三棱錐的體積,而球面的體積，故④正確.19．【正確答案】（1）最小正周期為，增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【詳解】（1）函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，由可得，所以函數(shù)的增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，即；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，即.20．【正確答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【詳解】（Ⅰ）∵，且為的中點(diǎn)，∴.∵底面為矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面為矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如圖，取中點(diǎn)，連接.

∵分別為和的中點(diǎn)，∴，且.∵四邊形為矩形，且為的中點(diǎn)，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.21．【正確答案】（1）條件選擇，答案見解析；（2）條件選擇，答案見解析.【詳解】（1）選①，在中，由得：，而，則面積，解得，由余弦定理得：，所以，.選②，在中，由得：，而，即，則面積，解得，由余弦定理得：，所以，.（2）選①，由（1）及正弦定理得：，則，，而角為鈍角，于是得，所以.選②，由（1）知，，所以.22．【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，.【詳解】（1）連結(jié)交于O，連結(jié)在中，因?yàn)镸，O分別為AC，中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?）因?yàn)閭?cè)棱底面ABC，平面ABC，所以又M為棱AC中點(diǎn)，，所以因?yàn)椋矫嫠云矫妫矫妫砸驗(yàn)镸為棱AC中點(diǎn)，，所以，又，所以在和中，所以，即，所以因?yàn)椋珺M，平面，所以平面（3）當(dāng)點(diǎn)N為中點(diǎn)時(shí)，即，平面平面設(shè)中點(diǎn)為D，連結(jié)DM，因?yàn)镈，M分別為，AC中點(diǎn)，所以，且又因?yàn)镹為中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形DMBN是平行四邊形，所以，結(jié)合（2）平面，則平面，又平面，所以平面平面23．【正確答案】（1），（2）不可以，理由見解析（3）可以，k的最小值為400【詳解】（1）經(jīng)過變換得到，顯然沒有變，從1變?yōu)?，所以和均增加1，故，經(jīng)過變換得到，顯然沒有變，從1變?yōu)?，故和均增加1，故，經(jīng)過變換得到，滿足要求，綜上，，；（2）不可以，理由如下：由題可知，每次變換，數(shù)表中的所有數(shù)的和增加或減少5，因?yàn)橹兴袛?shù)的和為0，所以經(jīng)過有限次T變換后，各數(shù)之和應(yīng)為5的倍數(shù)，而中所有數(shù)的和為9，不合要求，