2025新高考高二空間向量與立體幾何易錯(cuò)培優(yōu)競(jìng)賽試題

【專題目錄】

專題一：名校空間向量與立體幾何易錯(cuò)題精選

專題二：名校空間向量與立體幾何培優(yōu)題精選

專題三：空間向量與立體幾何全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽強(qiáng)基計(jì)劃精選試題

【精選練習(xí)】

專題一：名校空間向量與立體幾何易錯(cuò)題精選

1.已知正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為2,M,N分別是棱他和CC1上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面上一點(diǎn)且

___.__.I

滿足PM-PN=-g,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

8

A.巫兀B.洞C.之姮兀

D.371471

22

2.在正三棱柱A8C-44G中，AB=A\,尸為4G的中點(diǎn),則直線3尸與平面ACC.A所成角的正弦值為

()

A亞375n3岳

A.-----DR.--------u?----------

101617

3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸是棱長(zhǎng)為1的正方體A8CD-ABCQ的對(duì)角線82上一點(diǎn)，記苛=2,當(dāng)一"C為鈍角時(shí),

彳的取值范圍為（）

A.jB.Q,1

4.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（Xo，%,Zo）且一個(gè)方向向量為訪=（a,8C）（?6CH0）的直線/的

方程為，乜=2*=三為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0,%,z°）且法向量為n=仇〃,?）的平面的方程為

4（X-%）+〃（丁-%）+。（2-20）=0.已知在空間直角坐標(biāo)系。孫2中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,0,2）的直線/的方程為

1-^=j=經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸的平面。的方程為3x+y+2z-7=0,則直線/與平面a所成角的正弦值為（）

A2R375RA/14n735

7777

5.（多選題）如圖，在正三棱柱ABC-ABG中，E,尸分別為BC,AG的中點(diǎn)，AC=2,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.若九4,=6，則異面直線AF和8c所成的角的余弦值為:

B.若則點(diǎn)C到平面AE尸的距離為笠

C.存在&A，使得BC_L平面

D.若三棱柱ABC-AB|G存在內(nèi)切球，則招=苧

6.（多選題）空間四點(diǎn)4（1,3,2）,3（1,2,1）,C（-L,2,3）,0（-1,0,1）.給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)是（）

A.平面A3C的一個(gè)法向量為（-U,-1）

B.若a//AB且問(wèn)=1,則Z=[o,-乎，-乎

I227

C.點(diǎn)3到直線AC的距離為也

2

D.A、B、C、。四點(diǎn)共面

7.（多選題）正方體ABCD-A4GR的棱長(zhǎng)為1,瓦尸分別是B2,A瓦的中點(diǎn)，G是AQ的四等分點(diǎn)（靠

近A點(diǎn)），下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)尸在AA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸到平面EG，的距離的最小值為叵

26

B.若尸在底面ABC。內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足。尸=1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為兀

C.若正方體內(nèi)有兩球互相外切，且兩球各與正方體的三個(gè)面相切，則兩球半徑之和為三史

2

D.當(dāng)點(diǎn)尸在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足尸尸//平面4CR時(shí)，戶廠長(zhǎng)度的最小值是百.

jr

8.（多選題）在平行六面體ABCD-AB1GR中，AB=AD=AA[=2,ZA,AB=Z^AD=/BAD=-,AG與

耳R交于點(diǎn)M.設(shè)血4,AD=b，麗=W則下列說(shuō)法正確的有（）

A.AC.-a+b+cB.CM=—a——b+c

122

____?______?UUUL兀

c.ABACUSD.面■與AG的夾角為5

9.（多選題）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體4BCD中，點(diǎn)M,N分別為棱BC,A。的中點(diǎn)，貝!J（）

A.ABLCDB.MN=-

2

C.側(cè)棱與底面所成角的余弦值為更D.直線AM與CN所成角的正弦值為好

33

10.（多選題）如圖，在正方體A3C￡>-A4G2中，瓦B分別是的中點(diǎn)，G是棱AA上的動(dòng)點(diǎn),

B.存在點(diǎn)G,滿足GG〃平面瓦￡/

C.當(dāng)且僅當(dāng)Q]G=3GA時(shí)，GE+GF取得最小值

D.直線與平面CDG所成角的正弦值的最大值為好

3

11.正方體ABC。-A耳G2的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是棱上一點(diǎn)，且附-陽(yáng)1=2,則符合要求的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)

為.

12.如圖，在三棱錐尸-ABC中，G為VABC的重心，PF=1PC,PD=APA，PE=piPB,2,〃e（（M）,

——■1--

若PG交平面。斯于點(diǎn)M,^.PM=-PG,則幾+〃的最小值為.

13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD_L平面ABC。，AB//OC,AB_LA￡>,OC=3AB=6,PD=2,點(diǎn)M在

棱PC上.

⑴當(dāng)M為PC上靠近點(diǎn)尸的四等分點(diǎn)時(shí)，求證：R4//平面AffiD；

（2）若直線上4與平面ABCZ）所成的角為45。，當(dāng)M為PC的中點(diǎn)時(shí)，求二面角P-瓦）的余弦值.

14.如圖，在四棱錐E—ABCD中，平面DEC_L平面ABCD,AD±CD,AB//CD,DA=DC=^AB=2,

CE=ED,且CE_LED.

(1)證明：CELAE.

(2)設(shè)平面ECD與平面EAB的交線為I.

①證明：DCIII.

②若尸為/上的點(diǎn)，求DE與平面P8C所成角的正弦值的最大值.

15.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，定義：過(guò)點(diǎn)A(%,%,z。)，且方向向量為正=(a,6,c)的直線方向式方程為

亍=7為=寧(HcwO)；過(guò)點(diǎn)A(X0,%,Z°),且法向量為百=(。,6?(片+62+。％0)的平面法向式方

程為a(x-/)+b(y-%)+c(z-Zo)=O,將其整理成一般式方程為6+6y+cz-d=0,其中d=ax0+by0+cz0.

己知直線/的方向式方程為d=k=-z,平面a的一般式方程為2尤-&y+z+5=O,平面￡的一般式

方程為2x+3y+z-1=0,平面7的一般式方程為尤-y-2z+4=0,平面〃的一般式方程為

(2/n+l)x+(3/M+2)J+(/M+1)Z—5=0.

⑴求直線/與平面a所成角的余弦值；

⑵求￡與/所成角的正弦值；

(3)若〃rv=r,/‘不在平面〃內(nèi)，證明：/'//〃.

16.如圖，圓臺(tái)。。1的軸截面為等腰梯形A3與A，上、下底面半徑分別為2,4,圓臺(tái)母線與底面所成角為

，。是下底面圓周上一點(diǎn)（異于點(diǎn)AI）.已知AC=4,若線段3c上存在一點(diǎn)尸，使得用尸//平面AAC,

試確定點(diǎn)P的位置，并求直線BtP與平面AAC的距離；

k----

17.已知四邊形為矩形，四邊形AECD為直角梯形，AE1AD,AD//EC,MA=AD=3,EC=6,二面

角3—AE—C的大小為6.

JT

⑴若。=§，p為co的中點(diǎn).

①求點(diǎn)P到平面MBEA的距離；

②若AE=3,求平面BEP與平面B4￡>夾角的余弦值.

7T

⑵若，=萬(wàn),AE=3,點(diǎn)N為線段EC的中點(diǎn)，將GCN沿DN折起，使得ADCN與四邊形MBEA在平面AEND

的同側(cè)，且平面DCN〃平面MBE4,點(diǎn)尸為四面體MECD的內(nèi)切球球面上的一動(dòng)點(diǎn)，求尸。+的最小

值.

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD_L平面A3C￡>,PD=2拒.

⑴棱網(wǎng)上是否存在點(diǎn)E,使尸3,平面ACE,若存在，請(qǐng)求出一的值;

⑵點(diǎn)E在線段P8運(yùn)動(dòng)（包括8端點(diǎn)，不包括尸端點(diǎn)），當(dāng)二面角P-AE-O夾角最小時(shí)，試確定點(diǎn)E的位置.

專題二：名校空間向量與立體幾何培優(yōu)壓軸試題精選

1.已知正方體ABC。-A瓦G2的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在正方體的內(nèi)切球表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足RP//平面ABG，

則AP的最小值為（）

A.逅B.BC.顯D.逅

3326

2.在平行六面體ABC。-A耳GR中，且/喇=ZDAA,=60°,AB1.AD,若4。=3,則棱A4]的最大值

為（）

A.72B.272C.3D.3>/2

3.若正四面體的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P滿足|"+而|=20,則通.而的最大值為（）

A.2+20B.4+20

C.2+40D.4+4點(diǎn)

4.在四棱錐尸-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面R記是以A8為斜邊的等腰直角三角形，

PC=PD=2五,若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的表面積為（）

7兀28兀

A.287cB.—C.-----D.20兀

33

6

5.設(shè)平面a與長(zhǎng)方體的六個(gè)面的夾角分別為耳。=1,2,…,6）,則Ecos/,的值為（）

Z=1

A.2B.3C.4D.6

6.（多選題）若正方體A8C￡>-AB￡D1邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)p滿足麗=X方X+〃配，其中4e[0,l]，〃且0,1],則

（）

A.當(dāng)2=0時(shí)，存在點(diǎn)尸，使得AP〃平面ABC1

B.當(dāng)Z〃滿足4=〃2時(shí)，不存在點(diǎn)?，使得

C.當(dāng)九〃滿足4+〃=1時(shí)，存在點(diǎn)尸，使得5P與平面ABG所成角為三

D.當(dāng)九〃滿足2把+4/=1時(shí)，三棱錐P-AC。的體積的最小值為"也

7.（多選題）如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E為A8的中點(diǎn)，將沿DE翻折成△AQE,得到

四棱錐A-BCDE,點(diǎn)”在線段AC上，貝U（）

B.存在“，使3M//平面AOE

C.四棱錐4-BC￡>E體積的最大值為五

4

D.直線BA與平面AQE所成角的正弦值的最大值為0一1

8.（多選題）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-中，AP=2AC+/lAA1,AG[0,1],jue[0,1],下

A.若〃=1時(shí)，三棱錐C-ERD的體積為定值

B.若2+〃=l時(shí)，ABPD周長(zhǎng)的最小值為2+點(diǎn)

9

C.若2力=〃=1時(shí)，三棱錐尸-BCD外接球體積為7兀

3

D.若"為BC中點(diǎn)，則4P+PM的最小值為:

9.（多選題）正方體ABC。-的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸、。分別在線段AQ、AC上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則

下列結(jié)論正確的是（）

A.正方體被經(jīng)過(guò)尸、。兩點(diǎn)的平面所截，其截面的形狀有可能是六邊形

B.P。不可能與a。、AC都垂直

C.P。有可能與正方體的六個(gè)表面所成的角都相等

D.線段P。的中點(diǎn)”所圍成的區(qū)域的面積為且

4

10.（多選題）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A瓦GR中，點(diǎn)￡為2片的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足加=4函+〃反

Ae[0,l],則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若彳=〃，則￡>尸〃平面A3Q

B.若;1=2〃，則CE_L平面A2P

C.若〃=（，則存在幾，使2P

D.若〃=:，則存在力，使AC，平面OP2

11.在長(zhǎng)方體ABCD-A耳G2中，AB=A￡>=2,A4t=3,在長(zhǎng)方體內(nèi)部有兩個(gè)大小相同的球，其中一個(gè)與頂

點(diǎn)A所在的三個(gè)面相切，另一個(gè)與頂點(diǎn)C/所在的三個(gè)面相切，且這兩個(gè)球也外切于P點(diǎn)，平面，過(guò)點(diǎn)尸且

與這兩個(gè)球相切，則平面「與底面ABC。所成銳二面角的余弦值為

—?1——.

12.在正四棱柱A8CD-A4GR中，AB=2,A4,=4,CE=—CCX,P是正四棱柱內(nèi)（含表面）的動(dòng)點(diǎn)，

且DEVBP,則點(diǎn)P在正四棱柱內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為.

13.在長(zhǎng)方體ABCO-ABCQ中，AB=AD=1,A41=&，麗=2曲,麗=標(biāo)。為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，

S.QN-MD=Q,則點(diǎn)。的軌跡的長(zhǎng)度為.

14.如圖，在三棱柱ABC—A21G中，AC=BC,。是AB的中點(diǎn)，E是CC】上一點(diǎn)，CC|_L平面川汨.

⑴證明：￡>E_L平面AB瓦A；

(2)若AB=A4j,AC=2,E是CC1的中點(diǎn)，二面角A-BE-A的大小為60。，求AB.

15.如圖1,在矩形ABCO中，43=04￡>=2^，點(diǎn)￡為715的中點(diǎn)，將VADE沿。E折起到△?摩的位

置(如圖2),使得PC=J8.

(1)求證：DE1.PC；

(2)求直線尸8與平面PCD所成角的正弦值;

5

(3)T^PF=2PC(0<2<1),若二面角尸-￡F-D的正弦值為,求實(shí)數(shù)4的值.

V26

16.空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成or+6y+cz+d=0(其中a,6,c,d均為常數(shù),

/+/+°2/0),為=(a,b,c)為該平面的一個(gè)法向量.已知球。的半徑為4,點(diǎn)A,3,C均在球。的球面上，以

OAO8,。。所在直線分別為％*軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖所示.平面OBC內(nèi)的點(diǎn)E在球面上，點(diǎn)

E在y軸上的投影在y軸的正半軸上，CE=4,過(guò)直線CE作球0的截面a,使得平面a,平面03C,設(shè)截

面a與球。球面的交線為圓M(M為線段CE的中點(diǎn)).

(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo).

⑵若平面6:2尤+有y-z=l,證明：平面a,平面夕.

⑶己知點(diǎn)B在平面7：%尤+〃>+化=4內(nèi)，設(shè)線段ME在平面a內(nèi)繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。弧度至加，點(diǎn)“在

圓M上，且。引0,2兀)，過(guò)//作HP_L平面AOB,垂足為點(diǎn)P.

①用。表示點(diǎn)H的坐標(biāo)；

②若屬=T=6,求點(diǎn)H到平面/距離的最大值；

③若X=0J=_*G(0,△-1,4),當(dāng)直線GP與平面7所成的角最小時(shí)，求cos。的值.

17.如圖，在四棱錐尸—ABCO中，AB_L平面PAD,AD〃BC,CD=A尸,AO=2,PD=AB=BC=4.點(diǎn)、E在

棱以上且與尸,A不重合，平面3CE交棱尸。于點(diǎn)F.

⑴求證：AD//EF；

(2)若E為棱的中點(diǎn)，求二面角A-3E-C的正弦值；

(3)記點(diǎn)A,P到平面BCE的距離分別為4，4,求d；+dl的最小值.

18.如圖，在四棱錐S—ABCD中，ABCD為矩形，且AB=2BC=2,SB=6,ZSCB=ZSCD=60°.

⑴求證：3C_L平面&IB；

Q）若NS〃BC（N在S的左側(cè)），設(shè)三棱錐N-SAB體積為％,四棱錐S-ABCD體積為匕，且

①求點(diǎn)A到平面SNC的距離；

②求平面SNC與平面ABN所成夾角的正弦值.

19.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，已知向量〃=（a,方,c）（而CHO）,經(jīng)過(guò)點(diǎn)片優(yōu),為?）,且以「為法向量的平

面a的方程為a（x—Xo）+6（y-%）+c（z—Zo）=。.

⑴求原點(diǎn)。到平面了->--4=0的距離；

⑵根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式，類比出尸（%,%,z。）到平面A'x+B'y+C'z+D'=O的距離公

式，并利用有關(guān)知識(shí)證明；

（3）已知平行六面體ABC。-A瓦G2,平面CDAG的方程為x-2y+z-2=0,平面ADRA經(jīng)過(guò)點(diǎn)

E（0,0,1）,尸（1,1,2）,G（2,2,1）,平面ACG4的方程為fcc-3-2z+l=0（lWfW2）,求平面CDDG與平面ACGA

夾角的余弦值的最大值.

20.如圖，在三棱錐P-ABC中，尸3,底面ABC,PB=4,AB=BC=2,AC=2企，。為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面PAC_L平面尸3D；

（2）瓦尸分別為PAP8的中點(diǎn)，記平面CEF與底面ABC的交線為直線/,。為交線/上一點(diǎn)，且滿足

CQ=^FE,PC上的點(diǎn)M滿足加=彳卮設(shè)平面尸時(shí)與平面ERW所成二面角為凡求|cos0

的取值范圍.

專題三：空間向量與立體幾何全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽強(qiáng)基計(jì)劃精選試題

1.（2008高三?山東?競(jìng)賽）在四棱錐P-ABCD中，AB=（4,-2,3）,A5=H，l,0）,A?=（-6,2,-8）,則這個(gè)四

棱錐的高〃等于（）

A.1B.2C.13D.26

2.（2024高三上?全國(guó)?競(jìng)賽）已知三棱錐P-ABC底面VABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，。是底面ABC上

一點(diǎn)，三棱錐體積/則對(duì)V〃，/麗+〃西+2得的最小值是（）

A.1B.3C.6D.巫

3

3.（2022高二上?安徽阜陽(yáng)?競(jìng)賽）在四面體。42c中，E為。4中點(diǎn)，#=；聞，若豆■，訪=B，而=3

EF=xa+yb+zc,則log31盯z[=（）

A.-3B.-2C.2D.3

4.（2021高一?黑龍江雞西?競(jìng)賽）設(shè)。表示平面，表示直線，給定下列四個(gè)命題：@a//a,a±b^b±a;

@a//b,a.La=>b-La；③〃_L%a_L〃=>b//a；④a_1_%/?_12=>々//〃.其中正確命題的是（）

A.①②B.①③C.②④D.②③④

5.（17-18高三?北京?強(qiáng)基計(jì)劃）在正方體ABCD—ABIGR中，M為AQ的中點(diǎn)，N為與C的中點(diǎn)，則異面

直線CM與RN的夾角的余弦值為（）

A.1B.|C.：D.前三個(gè)答案都不對(duì)

234

6.（16-17高三?北京?強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)丫={（%,，2）,+2尹32<1,尤20,”0/20},則V的體積為（）

A.—B.—C.—D.—

12182436

7.（17-18高三?北京?強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)/7為平面，M（z±A?n^=/.若/與。所成的二面角為45。，/與/

所成角為30。，則/與6所成的銳二面角為（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

8.（18-19高三?北京?強(qiáng)基計(jì)劃）在三棱錐P-ABC中，底面VABC為等邊三角形，平面ABC,且

AB=2,PB=1,M,N分別為AC,AB的中點(diǎn)，則異面直線與PN所成角的正弦值為（）

A.如B.叵C.巫D.前三個(gè)答案都不對(duì)

444

9.（20-21高三?北京?強(qiáng)基計(jì)劃）有三個(gè)給定的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的平面，過(guò)原點(diǎn)作第四個(gè)平面使之與給定的三

個(gè)平面形成的三個(gè)二面角均相等，則這樣的a的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.4D.以上答案都不對(duì)

10.（23-24高二上?江蘇鹽城?期末（多選題））在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，已知點(diǎn)

A（2,0,0）,B（l,l,-2）,C（2,3,l）,則（）

A.|AC|=2V3

B.異面直線與AC所成角的余弦值為正

30

C.ABBC=-5

D.9在前上的投影向量的模為智

n.（2023高三下?全國(guó)?競(jìng)賽（多選題））已知直四棱柱ABCD-ABIGQ的底面是菱形，ZABC=120°,且二

面角瓦-的正切值為2,則（）

A.A4j=>/3ABB.AC、=EBD\

___.1—.

c.向量82在衣上的投影向量為0D.向量2G在麗上的投影向量為不84

12.（23-24高三下.全國(guó)?強(qiáng)基計(jì)劃（多選題））正四面體ABC。中，棱長(zhǎng)為20.點(diǎn)P滿足|西+網(wǎng)=2,則

而?布的（）

A.最小值為4-20.

B.最大值為2+20

C.最小值為2-2也

D.最大值為4+2忘

13.（16-17高三?北京?強(qiáng)基計(jì)劃（多選題））如圖，已知正三棱錐尸-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為/,過(guò)其底面中心。作

動(dòng)平面a,交線段尸C于點(diǎn)S,交尸A尸8的延長(zhǎng)線于N兩點(diǎn).則下列說(shuō)法中正確的是（）

N

A-裝+焉+4是定值B.表+萬(wàn)—+-L不是定值

MPN

_11121113

C.1--------1=-D.F-------1------=一

PSPMPN1PSPMPN1

14.（2010高二.河南?競(jìng)賽）已知直線/的方向向量為（2,帆,1）,平面a的法向量為2）,且///0,那么根=

15.（2020高三?浙江?競(jìng)賽）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A4G2中，E、尸分別是A。、8。中點(diǎn)，G在

棱CO上’且CG=：C，則直線砂與CC所成角的余弦值為——.

16.（2017高三下?廣西玉林?競(jìng)賽）如圖，在直三棱柱ABC-44G中，AC=2,BC=AA,=2-42,AB=2^）,

。是線段AB上一點(diǎn)，且〃平面⑦耳，則直線AG與CD所成角的余弦值為.

17.（2017高二?全國(guó)?競(jìng)賽）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,ZADC^90°,

平面PAD,底面ABCRQ為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2,BC=gAD=l,CD=6

P

（1）若M為棱PC的中點(diǎn)，求異面直線AP與所成角的余弦值;

⑵若二面角M-BQ-C大小為30。，求。”的長(zhǎng).

18.(2011高二?全國(guó)?競(jìng)賽)如圖，在底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為6的正三棱柱ABC-A4G中，一細(xì)繩自點(diǎn)A

繞正三棱柱的側(cè)面一周后到達(dá)點(diǎn)A，繩子拉緊后與側(cè)棱B與、CG分別交于點(diǎn)此時(shí)繩子最短.

⑴求異面直線AW與此所成的角a的余弦值;

(2)求異面直線AW與班間的距離.

19.(2016高二,全國(guó)?競(jìng)賽)正方形ABCZ)的邊長(zhǎng)為2,瓦/分別為邊的中點(diǎn)，M是線段砂的中點(diǎn),

如圖，把正方形沿折起，設(shè)乙鉆。=/0＜，＜71).

(1)求證：無(wú)論。取何值，CN與不可能垂直;

⑵設(shè)二面角。-3A/-C的大小為。，當(dāng)|tan°|=＞/^時(shí)，求sin。的值.

TT

20.(2018高二?全國(guó)?競(jìng)賽)如圖，已知平面BCE,C￡>〃AB,ABCE是等腰直角三角形，其中NEBC=-,

2

且AB=BC=2CD=2.

(1)在線段3E上是否存在一點(diǎn)產(chǎn)，使Cf7/平面ADE?

(2)在線