圓柱與圓錐

知識盤點

知識點1:面的旋轉

1、點動成線，線動成面，面動成體。

□注意面的形狀不

2、將一個長方形以長（寬）為軸，快速旋轉后可以形成一個圓

同，快速旋轉后形

柱。成的立體圖形也不

同。

3、將一個直角三角形沿一條直角邊快速旋轉，會形成一個圓

錐。

知識點2：圓柱和圓錐的特征

1、圓柱有兩個面是大小相同的圓，有一個面是曲面；圓錐有一個面是圓，有一

個面是曲面。底面

曲面

2、圓柱的上、下兩個圓底內

面叫作圓柱的底面，圓柱的曲面叫作圓柱的側

面；圓柱的兩個底面之間的距離叫作圓柱的

高。

3、圓錐的圓面叫作圓錐的底面，圓錐的曲面叫

作圓錐的側面；圓錐的頂點到圓心的距離叫作圓錐的高。

4、測量圓錐的高的方法：把圓錐放在水平面上，在圓錐的頂□注意圓柱或圓錐

點上放一個平面的東西，比如一塊木板，并與底面的平行，測的高都是一條垂直

于底面的線段。

量一下這兩個平面間的距離，這兩個平面間的距離就是圓錐的

高。

5、測量圓柱的高的方法：把圓柱放在水平面上，選一把直尺□易錯點剪開圓柱

的側面時一定栗沿

和一個直角三角板，使圓柱的底面與直尺的0刻度線對齊，

高剪開才可以得到

使三角板與直尺垂直并靠緊圓柱的底面，此時圓柱的另一個一■個長方形。

底面對準的刻度值即是圓柱的高。

知識點3：圓柱的表面積

1、圓柱的側面積：

圓柱的側面如果沿高剪開得到一個長方形。□易錯點在解決圓

柱的表面積的問題

長方形的面積=長方形的長X長方形的寬

時，栗根據不同實

II1物的表面積情況進

行計算。

圓柱的側面積=圓柱的底面周長X圓柱的高

用字表:SCh或Sndh或S例=2irrh

2、圓柱的表面積

圓柱的表面積=側面積+兩個底面積

不同的圓柱形實物，它們的表面積也不相同。比如圓柱形煙囪的表面積等于

煙囪的側面積，圓柱水桶的表面積就是水桶的側面積加上一個底面積。

口知識點4：圓柱的體積□注意把圓柱剪拼

成一個近似的長方

、意義：圓柱形物體所占空間的大小叫作圓柱的體積。

1體后，它的體積大

2、圓柱的體積的計算公式。小不變，表面積增

加。

把一個圓柱的底面平均分成若干個相等的扇形，再把這些

扇形按照等分線沿高剪開，等分成若干份，就可以拼成一個近似的長方體。

長方體的體積=長X寬X高

圓柱的體積=底面周長的一半X半徑X高

\_______________________/

I

底面積

用字母表示：V=SXhV=irr2Xh

3、求不規則物體的體積

計算不規則物體的體積，可以借助圓柱形容器和水，給圓柱形容器里裝適量的水,

量出水的高度，把不規則物體放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，這時測

量水的高度，上升的水的體積就是不規則物體的體積。

□知識點5:圓錐的體積

1、意義：圓錐形物體所占空間的大小叫作圓錐的體積。

2、圓錐的體積公式

一個圓錐和一個圓柱的底面積和高都相等，將圓錐形容器裝滿沙子，再倒入圓柱

形容器，3次可以倒滿。所以說圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的|。

□注意判斷圓柱和

圓錐的關系，一定

栗在等底等高的條

件下。

用字母表示：V=|Sh或V=nr2hx|

易錯題集合

易錯點1:圓錐的特點

典例判斷：一個圓錐有無數條高。

□點撥熟悉圓錐的

解析圓錐的高：從圓錐的頂點到底面圓心的距離。圓錐只基本特點是解答此

題的關鍵。

有一個頂點和一個圓心，所以圓錐只有一條高。

解答X

針對練習1

填空：

①圓柱上、下兩個底面都是（），而且大小（），上、下底面之間的距離叫

作圓柱的（）。

②圓錐的底面是（），側面是一個（）。從圓錐的（）到底面（）的

距離是圓錐的高。

③圓柱有（）條高，圓錐有（）條高。

易錯點2：根據圓柱形罐子求包裝盒的長、寬、高

典例某種飲料罐的形狀為圓柱形，底面直徑為6.5cm,高為11cm。將24罐這種

飲料每行擺6罐，擺4行放入箱內，這個箱子內部的長、寬、高至少是多少？

解析箱子中飲料罐每行擺6罐，擺4行，剛好是24罐，說明只擺放了一層，由

此可知長方體箱子的長至少相當于6個圓柱形飲料罐底面直徑的和，長方體箱子

的寬至少相當于4個圓柱形飲料罐底面直徑的和，長方體箱子的高至少相當于1

個圓柱形飲料罐的高。

解答6.5X6=39(cm)6.5X4=26(cm)

答：這個箱子內部的長至少是39cm、寬至少是26cm、高至少是11cm。

□針對練習2

有一種圓柱形的飲料罐，底面直徑為7厘米，高為12厘米。

將20罐這樣的飲料放入一個長方體紙箱內(如右圖)。這個

長方體紙箱的長、寬、高至少是多少厘米？

易錯點3：實際問題求解圓柱形物體求表面積

典例做一個無蓋的圓柱形鐵皮水桶，底面直徑為4分米，□點撥求圓柱形物

高為5分米。至少需栗多大面積的鐵皮？(接頭處忽略體的表面積時，易

受思維定式的影

不計)響，直接用側面積

解析題目中重要的信息為：無蓋水桶。從這個信息可以加兩個底面的面積

求解。在解決實際

得知一個這樣的水桶所用的鐵皮的面積應是圓柱的側面

問題時，要具體問

積加一個底面積。題具體分析。

解答3.14X4X5+3.14X(44-2)2=75.36(平方分米)

答：至少需要75.36平方分米的鐵皮。

□針對練習3

一個圓柱形的蓄水池，底面周長是25.12米，高是3米，要在蓄水池的四周及底

部抹水泥。如果每平方米用水泥20千克，一共需要水泥多少千克？

易錯點4：求圓柱形的物體在平面上滾過的面積

典例壓路機前輪直徑是1.6m,寬是2m,它轉動一周，壓

□點撥圓柱形的物

路的面積是多少平方米？體在平面上滾一

圈，壓過的面積與

解析壓路機推動著前輪碾壓路面，前輪與路面接觸的部

圓柱的側面有關

分是前輪的側面，所以求壓路機前輪轉動一■周壓路的面系。

積就是求壓路機前輪的側面積。

解答3.14X1.6X2=10.048(m2)

答：壓路的面積是10.048m2。

□針對練習4

一臺壓路機，前輪直徑為1米，寬為1.5米，工作時每分鐘轉動20周。這臺壓

路機工作1分鐘，前輪壓過的路面面積是多少平方米？

易錯點5:圓柱形木料鋸成小段表面積增加問題

典例把一個底面半徑為2分米、長為1.5米的圓柱形木料鋸成3小段，表面積

增加多少平方分米？

解析將圓柱形木料鋸成3小段，要鋸2次，每鋸1次增□點撥每鋸一次將

加2個底面，所以要求增加的表面積就是求4個底面的面增加兩個底面積，

鋸成3段需要鋸兩

積和。（如圖示）2個面2個面

次，增加了2X2=4

（個）底面。

解答3.14X22X4=50.24（平方分米）

答：表面積增加50.24平方分米。

□針對練習5

把一根直徑是20厘米、長2米的圓柱形木材鋸成同樣4段小圓柱，表面積增加

了多少平方厘米？

易錯點6：由V=Sh變化分析體積變化

□點撥圓柱的高不

典例判斷：圓柱的高不變，底面直徑擴大到原來的2倍，

變，底面直徑或半

它的體積就擴大到原來的8倍。（）徑擴大到原來的n

倍，那么這個圓柱

解析直徑擴大到原來的2倍，則半徑也擴大到原來的2

的體積就擴大到原

倍，因為S底二巾2,所以底面積就擴大到原來的4倍。又因來的M倍。

為丫=$八，而高不變，所以它的體積就擴大到原來的4倍。

解答X

□針對練習6

判斷：

①一個圓柱的底面積擴大3倍，高也擴大3倍，它的體積就擴大到9倍。（)

②圓柱的高擴大2倍，體積就擴大2倍。（）

易錯點7：物體浸沒在水中水面上升與物體體積的關系

□點撥物體浸沒在

典例一個圓柱形容器的底面積直徑是10厘米，水面高5

水中，水面上升的

厘米，把一個小鐵塊浸沒在水中，這時水面高7厘米，求體積等于物體的體

積。

出小鐵塊的體積。

注意物體要完全浸

解析小鐵塊浸沒在水中，水面上升所增加的體積就是小鐵沒在水中。

塊的體積，水面上升的部分是一個底面直徑為10厘米，高

位2厘米的圓柱，計算出該圓柱的體積就是所求小鐵塊的體積o

解答3.14X（104-2）2X（7-5）=157（立方厘米）

答：小鐵塊的體積的體積為157立方厘米。

□針對練習7

一個圓柱形水槽的底面半徑是8厘米，水槽中完全浸沒一個鐵塊，當鐵塊取出

時，水面下降了5厘米，這個鐵塊的體積是多少立方厘米？

易錯點8：圓錐體積公式的逆應用

典例一個圓錐的體積是24立方米，底面積是12平方米，

米？□點撥圓錐的體積

公式是V=：Sh,在計

解析栗透徹地理解圓錐體積公式的推導過程，圓錐的體積

算式不要遺忘?

公式是借助圓柱的體積公式得到的，當圓錐與圓柱等底等

高時，圓錐的體積是圓柱的工。因為圓柱的體積公式是丫=$匕所以圓錐的體積公

3

式是V=孑h。而在求圓錐的高（或底面積）時，要借助圓柱來思考，先栗將圓錐

的體積還原成圓柱的體積，即將圓錐的體積乘3,再除以對應的底面積（或高），

用公式表示為h=3V：S（或S=3V：h）。

解答24X34-12=6（米）

答：這個圓錐的高是6米。

□針對練習8

一個圓錐與一個圓柱等底等高，已知它們的體積之和是56立方分米，圓錐、圓

柱的體積分別是多少立方分米？

易錯點9：利用圓錐的體積公式解決實際問題

□點撥學會利用題

典例張大伯家有一堆小麥，堆成了圓錐形，張大伯量得它

目中給的已知信息

得底面周長是9.42m,高是2m,著堆小麥得體積是多少立推算出你所需栗的

解題信息。

方米？如果每立方米小麥得質量為700千克，這堆小麥得

質量為多少千克？

解析先根據底面周長求出小麥得底面積，再利用圓錐的體積公式求出小麥堆得

體積，最后根據每立方米小麥得質量為700千克，求出這堆小麥得總質量。

解答工X3.14X(9.424-3.144-2)2X2=4.71(m3)

3

4.71X700=3297(千克)

答：這堆小麥得質量為3297千克。

□針對練習9

李師傅要將一堆圓錐形的沙土運到建筑工地。量得沙堆底面周長為12.56米，高

1.5米，如果用一輛一次能運1.3m3的小推車運，那么要多少次才能運完？

易錯點10:“等積變形”的應用

□點撥“等積變形”

典例把一個底面直徑是4厘米，高是6厘米的圓柱形鋼材

問題即物體的形狀

熔鑄成一個底面直徑是8厘米的圓錐形零件，這個圓錐形發生了改變，但體

積未改變，可根據

零件的高是多少厘米？

前后兩個物體的體

解析將一個圓柱形的鋼材熔鑄成一個圓錐形的零件，其形積相同來求解未知

量。

狀發生了改變，但體積沒有改變，即V圓槎才崢，根據這個

關系列式求解。

解答方法1:V畫柱=3.14X(44-2)2X6=75.36(立方厘米)V圓柱=\/網鋒

hu#=VBHIXS-T-S=75.36X34-[(84-2)2X3.14]-4.5(厘

米)

方法2:解：設這個圓錐形零件的高是x厘米。

3.14X(44-2)2X6=iX3.14X(84-2)2x

3

x=4.5

答：這個圓錐形零件的高是4.5厘米。

□針對練習10

將一個底面半徑為5厘米，高為2米的圓柱形鋼材熔鑄成一個底面直徑為4分米

的圓錐，圓錐有多高？

跟蹤訓練

一、選擇題

1、下圖中,圓錐的體積與圓柱()的體積相等。

2、一個圓柱的底面半徑是2厘米，高是12.56厘米，它的側面沿高剪開是（）。

A、長方形B、正方形C、平行四邊形

3、如圖示，把一張長5厘米、寬4厘米的長方形紙分別繞它的長和寬旋轉一周，

形成兩個圓柱，它們的體積相比，（）。

A、第一個大B、第二個大C、一樣大D、不能確定

4、甲圓柱的底面直徑是8厘米，高是10厘米；乙圓柱的底面直徑是10厘米，

高是8厘米。它們的表面積相比較，（）o

A、甲＞乙B、甲=乙C、甲〈乙D、無法確定

5.兩個圓柱的底面積相等，高之比是2：3,則體積之比是（）o

A、2：3B、4：9C、8：27D、4：6

二、填空題

1、等體積等底面積的圓錐和圓錐，如果圓柱高為6米，圓錐的高是（）米。

2、求壓路機滾筒滾動一周能壓多少平方米的路面，就是求滾筒的（）。

3、一個圓錐的體積是75.36dm3,底面半徑是2dm,高是（）dm。

4、（）繞它的一條邊旋轉一周可以形成圓柱；（）繞它的一條直角

邊旋轉一周可以形成圓錐。

5、有一個底面直徑是10厘米，高20厘米的圓柱，如果把它沿底面直徑垂直切

成兩半，表面積增加了（）平方厘米。

6、學校有一個圓柱形的噴水池，它的底面周長是25.12米，它最多能裝25.12平

方米的水，這個噴水池深（）米。

三、判斷題

1、圓柱的側面展開圖一定是長方形或正方形。（）

2、圓柱的高不變，底面直徑擴大到原來的5倍，體積也擴大到原來的5倍。（）

3、圓柱的底面直徑可以和高相等。（）

4、把一個圓柱切成兩部分，它的表面積不變。（）

5、兩個圓柱的底面積相等，那么它們的側面積也一■定相等。（）

四、按要求完成練習。

1、把第一行圖形沿虛線旋轉一周后會得到哪一個圖形？連一連。

3333

A食曹號

2、按要求求出下面圖形的表面積或體積。(單位：cm)

(1)表面積+體積

(4)體積

五、解決問題

1、一根竹筒，從里面量直徑是4厘米，長是10厘米。把大米裝至竹筒的高處做

米飯。如果每立方厘米大米約3克，一根竹筒里大約裝了多少克的大米？(得數

保留整數)

2、一種圓柱形的油桶高48厘米，底面直徑是20厘米，做這個油桶至少要用多

少平方厘米的鐵皮？

3、一個裝滿糧食的圓錐形屯糧倉，底面直徑是10米，高9米，貨車運走§剩

下的用每次能裝7.85立方米的汽車運，需要運多少次才能運完？

4、一個無蓋的圓柱形水桶，高是6分米，底面半徑是2分米。

(1)這個水桶可以裝多少升的水？

(2)如果給這個水桶表面刷上油漆(里外都刷)，每平方米用油漆0.5千克，那

么粉刷這個水桶大約需要多少千克的油漆？（得數保留整數）

5、林同學測量一個土豆的體積，他找來一個底面直徑為10厘米的圓柱形玻璃容

器，放入土豆后再注入一些水（完全浸沒），量的水面高度為9厘米。取出土豆

后，又量得水面高度為6厘米。這個土豆體積是多少立方厘米？

6、把一個底面半徑是6厘米，高是10厘米的圓錐形容器裝滿水，然后把水倒入

一個底面半徑是5厘米的圓柱形容器中，求圓柱形容器內水面的高度。

7、一個裝滿稻谷的糧囤，上面是圓錐形，下面是圓柱形。量得圓柱的底面周長

是62.8m,高是2m,圓錐的高是1.2m。這個糧囤能裝稻谷多少立方米？如果每

立方米稻谷重500kg,這個糧囤能裝稻谷多少噸？

□參考答案

針對訓練

針對訓練1:①圓相等高②圓扇形頂點底面圓心之間③無數1

針對訓練2：觀察右圖可以看出，紙箱中飲料罐每行擺4罐，擺5行，剛好是20

罐，說明只擺放了一層，由此可知長方體紙箱的長至少相當于5個

圓柱形飲料罐底面直徑的和，長方體紙箱的寬至少相當于4個圓柱

形飲料罐底面直徑的和，長方體紙箱的高至少相當于1個圓柱形飲

料罐的高。

7X5=35（厘米）7X4=28（厘米）

答：這個長方體紙箱的長至少是35厘米、寬至少是28厘米、高至

少是12厘米。

針對訓練3：底面積：3.14X（25.124-3.144-2）X（25.124-3.144-2）=50.24（m2）

側面積：25.12X3=75.36（平方米）

一個底面和側面的面積和：50.24+75.36=125.6（平方米）

需要水泥:20X125.6=2512（千克）

答：一共需水泥2512千克。

針對訓練4：3.14X1X1.5X20=94.2（平方米）

答：前輪壓過的路面面積是94.2平方米。

針對訓練5:3.14X（204-2）2X6=1884（平方厘米）

答：表面積比原來增加了1884平方厘米。

針對訓練6：①'

【解析】解：設這個圓柱原來的底面半徑為“1”。

這個圓柱的體積為：nX12Xh=nh

底面半徑擴大3倍后的體積為：nX32Xh=9nh

9nh-rnh=9

即一個圓柱體的底面半徑擴大3倍，高不變，體積擴大9倍。

一個圓的半徑擴大n倍（nWO）,根據圓面積計算公式'飛二口產"，

它的面積就擴大,倍，再根據一個因數擴大或縮小多少倍，另一個

因數不變，其積就擴大或縮小相同的倍數。

②X

【解析】圓柱體的體枳是由它的底而積和高兩個條件決左的，高擴

大2倍，底而積是否不變這里不明確，如果是底而積縮小2倍，

那么體積就不變。

針對練習7：3.14X82X5=1004.8（cm3）

答：鐵塊的體積是1205.76cm3o

【解析】由題意可知，鐵塊的體積等于水下降的體積，已知底面半徑

8cm和水面下降高度5cm。根據圓錐體積公式V圓柱=nr2h,計算

可得。

針對練習8：圓錐：56：（1+3）=14（立方厘米）

圓柱：14X3=42（立方厘米）

答：圓錐體積是14立方厘米，圓柱體積是42立方厘米。

[解析]等底等高時圓柱體積是圓錐體積的3倍。

針對練習9：12.564-3.144-2=2（米）|x3.14X22X1.54-1,3^5（次）

答：至少要5次才能運完。

針對練習10:2米=200厘米，4分米=40厘米

3.14X52X200X34-[3.14X（404-2）2]=37.5（厘米）

答：圓錐高37.5厘米。

□跟蹤訓練

一、1、B

【解析】根據丫崢=底面積X高;3,V網柱=底面積X高，底面積二口加

V圓錐=32nX154-3=45n

A、V=32nX15=135nB、32nX5=45nC、12nX5=5n

2、B

【解析】根據“圓柱的側面展開后是一個長方形，長方形的長等于圓柱的底

面周長，長方形的寬等于圓柱的高”進行分析：如果該圓柱側面展開是正方

形，則圓柱的高等于圓柱的底面周長，圓柱的底面是一個圓，根據“圓的周

長=2nr”進行解答即可.由題意知，圓柱的底面周長為：2X3.14X2=12.56

（厘米），與高12.56厘米相等，所以它的側面沿高剪開是正方形。

3、A

【解析】以長為軸得到圓柱的體積：3.14X42X5=251.2（立方厘米）以寬為

軸得到圓柱的體積：3.14X52X4=314（立方厘米），251.2<314,

所

以以寬為軸得到圓柱的體積大。

4、C

【解析】甲：3.14X8X10+3.14X（8:2）2X2=351.68（平方厘米）

乙:3.14X10X8+3.14X（10+2）2X2=408.2（平方厘米）

408.2>351.68所以乙圓柱的表面積大.

5、A

【解析】圓柱的體積=底面積X高，如果兩個圓柱的底面積相等，高之比是

a:b，則體積之比是a:b。兩個圓柱的底面積相等，高之比是2:3,

則體積之比是2:3。

二、1、18

【解析】設圓柱與圓錐的底面積是S,體積是V,則圓柱與圓錐的高的比是：

I：y=l:3,因為圓柱的高是6米，所以圓錐的高是：6x3=18（米）。

2、側面積3、184、長方形直角三角形5、400

6、0.5

【解析】根據圓的周長公式C=2nr,得出r=C：n：2,由此求出水池底面

的半徑，再根據圓的面積公式$=口產求出水池底面的面積，最后

根據圓柱的體積公式V=sh,得出h=V：s代入數據求出高。

三、1、X【解析】圓柱體的側面沿高展開得到的圖形是長方形或正方形，如果

不沿高，而是從上底到下底斜著展開得到的是平行四邊形；因此，圓柱的側

面展開圖一定是長方形或正方形.此說法錯誤。

2、X【解析】假設原來的半徑是R,那么擴大到原來的5倍后是5R,求體積

時，是用底面積乘以高，而底面積等于圓周率乘以半徑的平方，即