二次函數(shù)相等角問(wèn)題

模型原理

1.等角

等角問(wèn)題中，目標(biāo)角等于已知角，角定，則正切值定；角等，則正切值等，繼而轉(zhuǎn)化為定角問(wèn)題.此外,若因等

角出現(xiàn)相似三角形，則可考慮直接利用相似求解.

2.和差角

1.在遇到一些角度如15。、75。、105。時(shí)，可以將其看做是某兩個(gè)特殊角的和差，如1!5。=45。-30。=60。-4

5。,75。=45。+30°,105°=60°+45。等，繼而轉(zhuǎn)化為定角問(wèn)題；

2.在遇到更一般的和差角問(wèn)題時(shí)，一般可以通過(guò)導(dǎo)角轉(zhuǎn)化為定角或等角問(wèn)題.

3.倍半角

倍半角問(wèn)題主要通過(guò)等腰三角形、角分線或軸對(duì)稱將“倍角”和“半角”轉(zhuǎn)化為常規(guī)的定角或等角問(wèn)題.

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,貝[]/CAD=2/B.

如圖，若BP平分/ABC,則/4ABC=2乙ABP=2乙PBC.

真題精煉

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.

A0A0

備用圖

(I)OC=—.

(2)如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0).

①當(dāng)l<x<m,nm>l時(shí)，y的最大值和最小值分別是sxt,.s-t=2,求m的值；

②連接AC,P是該二次函數(shù)的圖象上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)(點(diǎn)B除外),過(guò)點(diǎn)P作PD±x軸,垂足為D.作ND

PQ=/ACO.射線PQ交y軸于點(diǎn)Q，連接DQ、PC.若DQ=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C(0,3),對(duì)稱軸為直線x=-1,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連接DA,DC,CB,CA,如圖①所示，求證：Z.DAC=乙BCO;

3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a/+故+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).4(-1，0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接BC，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使乙PCB=乙4BC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+3分別交x軸、y軸于A,B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的拋物線y

=-x2+6%+cc與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C(1,0).

⑴求拋物線的解析式；

⑵若P為線段AB上一點(diǎn)/APO=/ACB，求AP的長(zhǎng);

5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+4(a。0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)2(-2,0))和點(diǎn)B(4,0).

⑴求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，直線CP將△的面積分成2：1兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)/OCA=NOCB--NOMA時(shí),

求t的值.

6.拋物線y=ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)A(-1,O),點(diǎn)B(3,0),頂點(diǎn)為C.

⑴求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

⑵如圖1,點(diǎn)P在拋物線上，連接CP并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D,連接AC,若△D4c是以AC為底的等腰三角形,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶如圖2,在⑵的條件下，點(diǎn)E是線段AC上(與點(diǎn)A,C不重合)的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，作乙PEF="4B邊EF

交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m,求m的取值范圍.

7如圖，拋物線y^ax2+bx+cc與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A(-1,O)、B(3,0)、C(0,3),D是拋物線的頂點(diǎn)，E是線

段AB的中點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式，并寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo).

⑵F(x,y)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)：

①當(dāng)x>l,y>0時(shí)，求△BOF的面積的最大值.

②當(dāng)^AEF=NDBE時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo)

8如圖，直線y=f+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C與x軸另

一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D.

⑴求拋物線的解析式.

⑵在x軸上找一點(diǎn)E,使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值.

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得^APB=NOCB?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

9如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B.拋

物線過(guò)點(diǎn)C(1,0),且頂點(diǎn)為D,連接AC、BC、BD、CD.

(1)填空:b=.

(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1,直線PC交直線BD于點(diǎn)Q.若乙CQD=乙ACB,求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

10如圖，二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+l(m是常數(shù),S.m>0)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左側(cè)),與g軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,連接AC,BD.

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)(用數(shù)字或含m的式子表示),并求NOBC的度數(shù).

(2)若AACO=NCBD,求m的值.

(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+l(m是常數(shù)，且>0)的圖象上，始終存在一點(diǎn)P,使

得/ACP=75。，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫(xiě)出m的取值范圍.

1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-1+3與a軸交于點(diǎn)A，與g軸交于點(diǎn)B，拋物線丫=]/+匕%

+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo).

(2)點(diǎn)E是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB,EA,當(dāng)4EAB的面積等于§時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)將直線AB向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線y=mx+n,且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取點(diǎn)D(2,0),連接DM,求證:

ZADM-ZACM=45°.

【答案】(l)y=|x2-2x,(31-3).

(2)(1，—|)或g—If)

⑶證明見(jiàn)解析.

【解析】⑴對(duì)于y=-呆+3,令y=-|x+3=0,

則x=6;令x=0,則y=3.

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,3),

，拋物線=1%2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故c=0,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=￡X36+66解得b=-2,

故拋物線的表達(dá)式為y=j%2-2%,

則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，當(dāng)x=3時(shí)，y=|x2-2x=-3,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-3).

⑵如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EH//y軸交AB于點(diǎn)H,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為。?療一2%),則點(diǎn)B(%，-)+3)

則^EAB的面積

=S4EHB+SAEHA=|XBHX04=IX6X(一|x+3—|x2+2%)=y,

解得X=1或|

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，-1)g-H)$

(3＞、直線AB向下平移后過(guò)點(diǎn)M(3,-3).

故直線CM的表達(dá)式為y=-1(x-3)-3=-

令！=-六-|=0解得x=-3,

故點(diǎn)C(-3,0),

過(guò)點(diǎn)D作DHLCM于點(diǎn)H.

.直線CM的表達(dá)式為y=-|x-*故tanz.MCD=

貝［］：sinzMCZ)=春

則DH=CD-sinzMCD=(2+3)x/=強(qiáng)

由點(diǎn)D、M的坐標(biāo)得，DM=7(2-3)2+(0+3)2=V10,

貝!］sin乙HMD=—=嗅=￡故

八MDV102，人

ZHMD=45°=ZDMC=ZADM-ZACM=45°.

JZADM-ZACM=45°.

2如圖，拋物線y=-X-3與z軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,直線1與拋物

線交于A,D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-3).

⑴請(qǐng)直接寫(xiě)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線1的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(mNO),過(guò)點(diǎn)P作PM±z軸,垂足為M,PM與直線1交于點(diǎn)N,

當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且/ADQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)A(-2,0),B(6,0),直線1的函數(shù)表達(dá)式為y=-|x-1.

⑵(0,-3)或(3'T

(3)(0,9)或(0--y).

【解析】⑴把y=0代入y=^x12-x-3中,

得滓一%—3=。，

解得xx=6,X2=-2,

.\A(-2,0),B(6,0),

設(shè)直線1的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k/)),

把A(-2,0),D(4,-3)代入y=kz+b中,

［曰r-2k+b=0

1寸Jk+b=-3

解得伙==—L

???直線1的函數(shù)表達(dá)式為y=

(2)如圖，根據(jù)題意可知，點(diǎn)P與點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為

P(zn，：m2-m-3),N(m>-如-1),

1717

PM=|-m—m—3|=—m+TH+3,

44

11

MN=|——2m—1|=2-m+1,

NP=—1)-Q7712—加—3)=7n2++2.

分兩種情況：

①當(dāng)PM=3MN時(shí)得—[TH?+7n+3=3gm+1)

解得m1=0,m2=2(^舍去)，

當(dāng)m=0時(shí)-m2—m—3=—3,

4

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-3).

②當(dāng)PM=3NP時(shí)礙—*zn2+租+3=3(--m2+-m+2),

解得mi=3,m2=2(舍去)

當(dāng)m=3時(shí).-m2—m—3=

44

.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，—?)，

，當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-3)或(3,-^).

⑶直線y=-jx-1與y軸交于點(diǎn)E,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1),

分兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)Qi.

過(guò)點(diǎn)Qi作QiH,直線1.垂足為H,則/QiHE=ZAOE=90°,

“iEH=^AEO,

???△QiHE△AOE,

QrHHE

?，~AO-'QE'

QIH_HE

2一1，

???Q1H=2HEf

乙

又???Q1DH=4S°/Q1HD=90°,

??乙、

?HQD=Z-QrDH=45°,

DH=Q]H=2HE,

1?HE=ED,

連接CD「.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-3).

；.CD_Ly軸.

???ED=VFC2+CD2=V[-l-(-3)]2+42=2V5,

；.HE=2V5,QiH=4V5

________________/22

QiE=J"。？+Q[H2=J(2V5)+(4A/5)=10,

.-.0Q1=Q^-OE=10-1=9,

.?.點(diǎn)Qi的坐標(biāo)為(0,9).

②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)Q2,過(guò)點(diǎn)Q2作Q2G,直線1,垂足為G，則^Q2GE=AAOE=9

Z-Q2EG=Z-AEO,

Q2GE△AOE,

Q3GEG

??~A0-謔

kQ2GEG

氏2=一1■

Q?G=2EG,

又：^Q2DG=45°,^Q2GD=90°,

???乙DQ2G=Z-Q2DG=45°,

DG=Q2G=2EG,

1?ED=EG+DG=3BG.

由①可知,ED=2V5

3EG=2V5,

EQ2=JEG2+Q2G2=+（竽）2若,

.-.OQ2=OE+EQ2=l+^=^

.??點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（0，—葭）.

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0,9）或（0,-日）.

3如圖，拋物線y=a/+bx+c與z軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.直線1與拋物線交于A、D

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).

⑴求拋物線的解析式與直線1的解析式；

⑵若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)且在直線1上方，連接PA、PD,求當(dāng)△PAD面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及該面積的最大

值；

(3)若點(diǎn)Q是g/軸上的點(diǎn)，且/ADQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】⑴拋物線的解析式為y=-滓+久+3,直線1的解析式為y=1+1;(2那PAD的面積的最大值為

B，P(1,1(3)Q的坐標(biāo)為0.(0,或(0,-9).

【解析】

解：⑴*..拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn),

.,?設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),

解得,x=-2,或x=6,

；D(4,3)在拋物線上，

.*.3=a(4+2)x(4-6),

解得a=-

拋物線的解析式為y=-[(%+2)(x-6)=-；/+%+3,

:直線1經(jīng)過(guò)A(-2,0)、D(4,3),

設(shè)直線1的解析式為y=kx+m(kW0),

貝[]{-2k+m=04k+m=3,

〃一三

解得r

b=1

???直線1的解析式為y=1%+l;

(2)如下圖1所示,中過(guò)點(diǎn)P作PE//y軸交AD于點(diǎn)F.設(shè)P+m+3),則F(m>^m+1}

B91

■-'S“AD=I,-PF=3PF,

,".PF的值最大值時(shí)，△PAD的面積最大，

?j11119

PF=—m2+m+3—m—1=——m2+-m+2=—(m—l)2+-

42424k74

7<o，

時(shí)，PF的值最大，最大值為3,此時(shí)△PAD的面積的最大值為磊P(琮)

⑶如下圖2所示，中,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AT,則T(-5,6),

設(shè)DT交y軸于點(diǎn)Q，則NADQ=45。，

VD(4,3),

.??直線DT的解析式為y=-jx+p

???Q(/)

作點(diǎn)T關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Tv(1,-6),則直線DT/的解析式為y=3x-9,設(shè)DQ/交y軸于點(diǎn)Q：則NADQ，=45。.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,9或(0,-9).

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與幾何綜合

4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-/+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)00=

⑵如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0).

①當(dāng)iWzgm,且m>l時(shí),y的最大值和最小值分別是s、t,s-t=2,求m的值；

②連接AC,P是該二次函數(shù)的圖象上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，過(guò)點(diǎn)P作PD±x軸,垂足為D.作NDP

Q=/ACO,射線PQ交y軸于點(diǎn)Q,連接DQ、PC.若DQ=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【答案】(1)8

(2)①夜+1

②1或|學(xué)

［解析］⑴當(dāng)x=0時(shí),y=3,即0c=3.

(2)①將點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=-z2+bx+3,

得,-l-b+3=0,

解得:b=2,

???解析式為：y=-X2+2%+3,

而s=—x2+2%+3=—(%—I)2+4

，對(duì)稱軸為直線：m=l,

當(dāng)IgxSm,且m>l時(shí)，

V隨著x的增大而減小，

當(dāng)x=1,8=-1+2+3=4,當(dāng)x=m時(shí)，t=-m2+2m+3,

由s-t=2得，4+m2—2m—3=2,

解得:m=l+V2m=1-V2（舍），

m=1+V2.

②在RtAACO中，tan乙4co=^=i

由題意得..DP//CQ,DQ=PO.

???四邊形DPCQ為平行四邊形或等腰梯形，

當(dāng)點(diǎn)P在a軸上方，四邊形DPOQ為平行四邊形時(shí),則PD=QC.

???DP〃y軸.

???N1=NDPQ,

ZDPQ=ZACO,

i

tanZ-DPQ=tanZ-ACO=tanz.1=

,,OF__FD__1

'OQ~PD~

設(shè)FD=k,OF=n,!H!JPD=3k,OQ=3n,

3k=3+3n,

/.n=k-l,

AP(2k-l,3k),

將點(diǎn)P(2k—L3fc)/fcAy=-%2+2%+3,

得:—(2k—1)2+2(2/c-1)+3=3k,

解得：k=3醉=0(舍).

5cy3

???x=-x2—1=-;

P尸42

當(dāng)四邊形DPCQ為等腰梯形時(shí)，則PC=QD過(guò)點(diǎn)P作PE±y軸于點(diǎn)E,

VDP//1軸，

1?PE=DO,

ARtAPOE^RtADQO,

???CE=QO,

???QO+OE=QC+QO,

???QE=OO=3,

?i

tanzl=

3

PE_1

??QE-3，

設(shè)PE=p,則QE=3p,

3P=3.

??.p=l,

即xp=l;

當(dāng)點(diǎn)P在z軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形DPCQ是平行四邊形，則DP=QC,

1

■:tanZ-DPQ=tanZ-ACO=tanz.1=

.OG_DG_1

??OQ-PD-3’

設(shè)OG=e,DG=g.

???OQ=3e,DP=3g=QC,

OQ-OC=CQ,

3e-3=3g,

??.g=e-l,

.?.P(2e-l,3-3e),

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=-久2+2%+3,

得：一(2.6—1)2+2(2e—1)+3=3-3c,

缶位日11+V73_^11-V73

斛得--一或=一-一，

e=OO

而當(dāng)e=與!時(shí),g=e-l<0,故舍

O

,Q17+V73

??cp—1—,

綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或I手.

N4

5如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-久2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)0(0,3),對(duì)

稱軸為直線x=-l,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連接DA,DC,CB,CA,如圖①所示,求證:ZDAC=ZBCO;

【答案】(l)y=-%2-2%+3(2)見(jiàn)解析

【解析】⑴解：通過(guò)題意得，比中一'七二;：.?二次函數(shù)的表達(dá)式為：

y=—x2—2x+3;

(2)證明:?.?當(dāng)x=-l時(shí),y=-l-2x(-l)+3=4,；.D(-l,4),由-x2-2x+3=0

得,Zi=-3,X2=1,/-A(-3,0),B(1,0)AAD2=(-1+3)2+42=20,C(0,3),

CD2=(4-3)2+(—1)2=2,AC2=32+32=18,???AC2+0D2=AD2,.-.

^AOD=90°,tan^DAC=%=*=>；ABOC=90。,二

AC3V23

tan/BC。=—=/.DAC=Z5C0;

OC3

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與幾何綜合

A

6如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a/+bx+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,O),B(3,O),

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接BC,在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使NPCB=/ABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

【答案】(l)y=-|/+1)+2⑵P(2,)或信，-等)

【解析】【分析】

(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)通過(guò)題意，分情況討論，①過(guò)點(diǎn)C作關(guān)于z=l的對(duì)稱點(diǎn)P,即可求P的坐標(biāo)，②x軸上取一點(diǎn)D.使得DC=

DB,則NDCB=/ABC,設(shè)D(d,O)根據(jù)勾股定理求得CD,BD建列方程，解方程求解即可；

⑴解:「由二次函數(shù)y=ax2+bx+2,,令z=0,則y=2,C(0,2),\?過(guò)點(diǎn)A(-1,O),B(3.O),設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

y=a(x+1)(久-3)=a(x2-2%-3),將點(diǎn)C(0,2)代入得,2=-3a,解得a=y=-|x2+^x+2,

(2)?.?二次函數(shù)(y=ax2+bx+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,O),B(3,O),.?.拋物線的對(duì)稱軸為z=l,①如下圖所示，過(guò)點(diǎn)C

作關(guān)于x=l的對(duì)稱點(diǎn)P,；.CP〃AB,.\ZPCB=ZABC,VC(0,2),AP(2,2).

②x軸上取一點(diǎn)D,使得DO=DB,貝!]NDCB=NABC,設(shè)D(d,O),則CD=V22+d2,BD=3—d,；.22+d2=(3

512

—療解得d=*即D(|-0),設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,{/+,=。解得產(chǎn)=二三'卜J直線CD的解

b

b=2b=2,,<2m.

12.

y=——x+Q2—n

析式為”一金+2,聯(lián)立{廣:/+,+2解得Y"街

33K

6管，-覽，綜上所述，P(2,2)或傳，-劫

7如圖，在平面直角坐標(biāo)系z(mì)Oy中，直線y=kx+3分別交z軸、y軸于A,B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的拋物線y

=-x2+6%+c與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C(1,0).

⑴求拋物線的解析式；

⑵若P為線段AB上一點(diǎn),/APO=/ACB,求AP的長(zhǎng)；

【答案】(l)y=-%2-2x+3;(2)2V2;

【解析】⑴令x=0,則y=3,.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0.3),拋物線y=-x2+bx+經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,3),C(l,0),

2

{_]+°+°=°解得{：=/,，拋物線的解析式為：y=—%—2%+3;⑵令y=0,則一——2x+3=0解得Xi=1,z2

=-3,.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),；.OA=3,OB=3,OC=1,AB=VOA2+OB2=V32+32=3V2

ZAPO=ZACBZPAO=ZCAB,APAOACAB,Z.AO=AB,gpr=2AP=2>/2;

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與特殊平行四邊形

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與平行四邊形

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定綜合

【業(yè)務(wù)題型】運(yùn)算題

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+4(a*0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(4,0)

⑴求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),直線CP將4ABC的面積分成2：1兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)/OOA=/OCB-/OMA時(shí).求t

的值.

【答案】(l)y=+%+生

(2)P(6,-8).

(3)t=2或10.

【解析】⑴將A(-2,0),B(4,0)代入解析式得?

4a—26+4=0角星彳導(dǎo)產(chǎn)=一號(hào)

16a+4b+4=0'蝌守屋=i

.拋物線解析式為y=-jx2+x+4.

⑵取D(2,0),易得黑=2,則1=2,

BD->ABOD

連接CD,與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)坐標(biāo),

如圖易得CD直線為y=-2x+4.

1/—-2*+4

________L{-p+n+/{%=6y=-8,

；.P(6,-8).

(3)VZOCA=ZOCB-ZOMA,

ZOCB=ZOOA+ZOMA=45°.

如圖易得/OCA=NOCD,

ZOOB=ZOOD+ZBOD=45°,

ZOMA=ZBCD,

過(guò)D作DE_LBC,

在RtABDE中,/DBE=45。，BD=2,

；.DE=BE=V2

在RtAOBO中”BC=y[2OB=4Vx

；.CE=BC-BE=3V2

在RtAODE中，tanzDCF=—==-,

CE3V23

貝!!tan/OAM=tanzDCF

3OM

OM=3OA=6,

當(dāng)M往y軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)t=?=2,

當(dāng)M往p軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)t=^i=io.

9.拋物線y=ax2+bx+33過(guò)點(diǎn)A(-l,0),點(diǎn)B(3,0),頂點(diǎn)為C.

⑴求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)如圖1,點(diǎn)P在拋物線上，連接CP并延長(zhǎng)交：：軸于點(diǎn)D,連接AC,若^DAC是以AC為底的等腰三角

形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)

(3)如圖2,在⑵的條件下，點(diǎn)E是線段AC上(與點(diǎn)A,C不重合)的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，作/PEF=/CAB,邊EF

交z軸于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m,求m的取值范圍.

【答案】(l)y=-x2+2x+3,C(1-4).

⑵P(鴻)

(3)—1<m<slant.

11.如圖，拋物線y=ax2+bx+cc與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A(-1,O)、B(3,0)、0(0,3),D是拋物線的頂點(diǎn)，E是線

段AB的中點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式，并寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)F(x,y)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)：

①當(dāng)x>l,y>0時(shí)，求△BDF的面積的最大值.

②當(dāng)/AEF=/DBE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】(1)解析式為y=-x2+2x+3,D的坐標(biāo)為(1,4).

⑵①當(dāng)x=2時(shí)，SABDP取最大值，最大值為1.

⑦(2-有，2事，-2)或｛-a，-2乘-2).

【解析】⑴將A(-l,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c,

a—b+c=0a=—1

｛9a+3b+c=0,解得｛b=2

c=3c=3

???拋物線的解析式為y=-x2+2x+3

y=—x2+2%+3=—(%—l)2+4,

???頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).

(2)①過(guò)點(diǎn)F作FM//y軸，交BD于點(diǎn)M，如圖1所示

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n(m^O),

將(3,0)、(1,4)代入y=mx+n,

[3m+n=0m+n=4解得：｛彳二/

，直線BD的解析式為y=-2x+6.

???點(diǎn)F的坐標(biāo)為3—%2+2%+3),

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3—2%+6),

FM=-X2+2%+3—(—2%+6)=—X2+4%—3

22

?S^BDF=-(yF—yD)=—%+4z-3=—(x—2)+1

A-l<0,

???當(dāng)x=2HtSABDP取最大值，最大值為1.

②方法一：過(guò)點(diǎn)E作EN//BD交y軸于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)F1，在y軸負(fù)半軸取ON=ON,連接EN；射線EN

交拋物線于點(diǎn)F2，如圖2所示.

VEFi//BD,

AZABFi=ZDBE.

VON=ON*,EO±NN',

???Z-AEF2=Z-AEF1=Z-DBE.

；E是線段AB的中點(diǎn)，A(-1,O),B(3,0),

.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0)

設(shè)直線EFi的解析式為y=-2x+瓦，將E(1,O)代入y=-2x+bi,

—2+瓦=0.解得:bi=2,

直線EFi的解析式為y=-2x+2、苗、,

聯(lián)立直線EFI、拋物線解析式成方程組，Try

卜--2?+2