專題07圓

|題型概覽

題型01垂徑定理

題型02圓心角'圓周角

題型03切線的判定與性質(zhì)

題型04三角形的外接圓、內(nèi)切圓

題型05弧長與面積

題型06圓與其他圖形的綜合

01垂徑定理

1.（2025?山東聊城?一模）如圖，A3為。。的弦，直線跖與＜。相切于點C,且AB〃跖，連接OC,

NAOC=70。，若點。為弦A8所對弧上一點，則/CD3為（）

A.35°B.70°C.35°或145°D.70°或110°

【答案】C

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，由切線的性質(zhì)得OCLEF,由垂徑定理得AC=BC，

然后分兩種情況求解即可.

【詳解】解：1.直線所與。相切于點C,

OCLEF.

AB//EF,

：.OC±AB,

AC=BC-

當(dāng)點。在優(yōu)弧48上時，

ZBDC=-ZAOC=35°.

2

D

c

當(dāng)點。在劣弧A8上時，

ZBD,C=180°-35°=145°.

故選C.

2.（2025?遼寧?一模）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，EF=CD=6cm,

【分析】本題考查了垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

過作OMJ_AZ）,延長MO交于點N,連接，EM=FM=-EF=3cm,ZOMF=90°=ZC=ZD=90°,

2

則有四邊形MNCD是矩形，故有MN=CD=6cm,設(shè)球的半徑為rem,則。0=（6-r）cm,然后通過勾股

定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過作延長V。交BC于點N,連接Ob,

EM=FM=-EF=3cm,ZOMF=90°=ZC=ZD=90°,

2

四邊形MVCD是矩形，

MN=CD=6cm,

設(shè)球的半徑為rem,則ON=（6-r）cm,

由勾股定理得：OM'+FM2=OF1,

o15

（6-r）2+32=r2,解得：〃=

故答案為：字.

4

3.（2025?河北石家莊?一模））。是VA3C的外接圓，在弧8c上找一點M,使點〃平分弧BC.對圖中的

三種作法，下列說法正確的是（）

C.只有作法二和作法三正確D.只有作法二正確

【答案】A

【分析】本題考查角平分線作法及性質(zhì),垂直平分線作法及性質(zhì)，垂徑定理等.根據(jù)題意逐一對作法進(jìn)行

分析即可得到本題答案.

【詳解】解：甲：由作圖可知A尸平分/B4C,

ZBAF=ZCAF,

:-BM=CM，即作法一正確，

乙：由作圖可知Q0平分/BOC,

.OB=OC,

OM±CB,

■-O”經(jīng)過圓心。，

BM=CM，即作法二正確，

丙：由作圖可知31垂直平分選段2C,經(jīng)過圓心0,

BM=CM＞故作法三正確，

故選：A.

4.（2025?河南駐馬店?一模）如圖，在半徑為10的。中，AB.CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且

AB=CD=16.則。尸的長為.

【分析】作。暇，AB于M,ONLCD于N,連接OP,OB,OD,根據(jù)垂徑定理可得9/=DN=8,再根

據(jù)勾股定理可得。0=ON=6,再證明四邊形MONP是正方形

則MP=OM=6,根據(jù)勾股定理即可求出OP的長.本題主要考查了垂徑定理，勾股定理和正方形的判定和

性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：作OM_LAB于ONLCD于N,連接OP,OB,OD,

Afi=CD=16，

:.BM=DN=8,

:.OM=ON=yll02-82=6>

AB±CD,

:.ZDPB=90°,

?！埃诩樱琌NLCD于N,

ZOMP=ZONP=90°,

?四邊形MONP是矩形，

OM=ON,

.四邊形MONP是正方形，

：.MP=OM=6,

.-.OP=762+62=65/2?

故選：B.

5.（2022?黑龍江雞西?一模）如圖，A8是。的弦，半徑于點C,AE為直徑，AB=8,CD=2,

則線段CE的長為

【答案】2713

【分析】連接BE,先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，設(shè)C。的半徑為r,在RtmOAC中利用勾股定理求出r的

值，易得AE=2r,連接8E,根據(jù)圓周角定理得到ZABE=90。，由三角形中位線定理得到BE=2OC=6,

然后在RtACBE中由勾股定理可求出CE.

【詳解】解：連接BE,如圖所示：

2

設(shè)(。的半徑Q4=r,

:.OC=OD-CD=r-2.

在RtQ4C中，由勾股定理得：r2=(r-2)2+42,

解得：r=5.

；.A￡=2r=10.

OD=5,CD=2,

.-.0C=3.

AE是直徑，

:.ZABE=90°.

「點O,C分別AE,A8是的中點，

.:。。是_川龍的中位線.

:.BE=2OC=6.

在RtaCBE中,

CE=^CB2+BE2=A/42+62=2^-

故答案為：2屈.

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理以及三角形中位線定理等知識，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線

是解答此題的關(guān)鍵.

6.（2025?江蘇常州?一模）如圖，A3是。的直徑，弦CD_LA3于點E,AC=CD,如果AC=2jL則AE

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵;

連接AD,判定VABC為等邊三角形，進(jìn)而求解CE的長度，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求解即可;

。的直徑，弦CDLAB,

AC=CD,

,-.AC=CD=AD,

：.ABC為等邊三角形,

.-.ZACD=60°,

ZC4E=90°-60o=30°,

:.CE=-AC=43,

2

AE=y/AC2-CE2=小可一（可=d=3;

故答案為：3.

7.（2025?陜西西安?一模）如圖，在。中，C。是垂直于直徑A3的弦，垂足為E,若/4BC=22.5。，。。=6,

C.5A/3D.4班

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握知識點的

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.由C?=OC,則/OCB=NABC=22.5。，根據(jù)外角性質(zhì)可得/CO4=2NABC=45。，又

。的直徑A3垂直于弦CD,ZCEO=90°,CE=DE=-CD,然后證明OE=CE,最后由勾股定理即可求

2

解.

【詳解】解：；OB=OC,

：.NOCB=ZABC=22.5。,

ZCOA=2ZABC=45°,

。的直徑AB垂直于弦CO,

ZCEO=90°,CE=DE=-CD,

2

ZOCE=90°-45°=45°=ZCOE,

：.OE=CE,

■-OE2+CE2=OC2,

■.OC=6,

.--2CE2=62,

CE=OE=3近,

CD=2CE=6A/2-

故選：B.

墓喳02圓心角、圓周角

1.（2025?海南?一模）如圖,8C是的直徑，且AC=A5,AD=BD，則的度數(shù)為

【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，等邊對等角，圓周角定理，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

由弧、弦、圓心角的關(guān)系得=則通過等邊對等角得出NZMB=NDBA,由圓周角定理得NC4B=90。,

則有/AD5=/ACS=45。，最后由等邊對等角和角度和差即可求解.

【詳解】解：:AD=BD，

?.AD—BD，

..ZDAB=ZDBA,

是。的直徑，

/.NC4B=90。，

AC=AB,

/.ZACB=ZABC=45°,

..ZADB=ZACB=45°f

ZDAB=ZDBA=6r1.5°,

：.ZCBD=ZABD-ZABC=67.5°-45°=22.5°,

故答案為：22.5°.

2.（2025?山東日照?一模）已知銳角-496如圖，①在射線，4上取一點C,以點。為圓心，OC長為半徑

作尸Q,交射線于點。，連接8;②分別以點C,。為圓心，CO長為半徑作弧，交尸Q于點M,N；

③連接。暇，MN.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，若OM=MN,則2AO5的度數(shù)為°.

oB

半

【答案】20

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖以及圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等弧或等弦所對的圓心角相等得到

“沏是等邊三角形.連接QV,根據(jù)作圖，結(jié)合已知可得“W是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)作圖可得

CM=CD=DN,即可得到NCQ0=COD=/OON=20。，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接ON,由作圖可知：OM=ON,

又OM=MN

二沏是等邊三角形，

:.ZOMN=60°,

由作圖可知：CM=CD=DN,

:.ZCOM=COD=/DON=20°,

故答案為：20.

3.（2025?江蘇蘇州?一模）如圖，點A,B,C,D,E在。上，。是A8的中點，CB=CE.若NA03=100。,

ZOBC=55°,貝ZDCE=°.

【答案】85

【分析】本題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì).連接

oaOD、OE,由三角形內(nèi)角和定理與等腰三角形的性質(zhì)得NQ5C=NOCB=NOCE=55。，由圓心角、弧、

弦的關(guān)系求出ZBOD的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出/3CD的度數(shù)，從而求出/OCE的度數(shù)即可.

【詳解】解：如圖，連接OC、OD、OE.

.CB=CE,

：.ZBOC=ZEOCf

.OB=OC=OE,

：.ZOBC=ZOCB=1(1800-ZBOC),ZOCE=ZOEC=1(180°-ZEOC),

ZOBC=ZOCB=ZOCE=55°,

。是AB的中點，

…DB=AD，

?/=100°,

/.ZBOD=-ZAOB=50°,

2

：./BCD=L/BOD=25。,

2

..NOCD=/OCB-/BCD=55。-25。=30。,

??.ZDCE=ZOCD+ZOCE=300+55°=85°.

故答案為：85.

4.(2025?山東臨沂?一模)如圖，A,B,C,。為一個正多邊形的頂點，點。為正多邊形的中心，若

ZADB=22.5°,則這個正多邊形的邊數(shù)為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵.

連接。4,08,根據(jù)圓周角定理得到NAOB=2NAD3=45。，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接。4,OB,

■.A.B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，

.?.點4、B、C、￡＞在以點。為圓心，為半徑的同一個圓上，

ZADB=22.5°,

：.ZAOB=2ZADB=45°,

這個正多邊形的邊數(shù)=3630°=8,

45°

故選：B.

5.（2025?山東臨沂?一模）如圖，。的直徑平分弦C。（不是直徑）.若/。=36。，則/C=

【答案】54。/54度

【分析】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，垂徑定理以及圓周角定理，先根據(jù)的直徑平分弦CD

（不是直徑），得ABLCD,再結(jié)合NO=36。，得/ABD=54。，最后由同弧所對的圓周角是相等的，得

ZC=ZABD=54°,即可作答.

【詳解】解：；。的直徑A3平分弦C。（不是直徑），

ABLCD,

-：ZD=36°,

：.ZABD=90o-36°=54°,

AD=AD

：.ZC=ZABD=54°,

故答案為：54°.

6.（2023?重慶江北?一模）如圖，VABC內(nèi)接于《。，ZABC=120°,AC=4y/3,貝U。的半徑為（）

A.4B.473C.26D.百

【答案】A

【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，在弦AC所對優(yōu)弧上取一點O,

連接DA,DC,OA,作。"LAC于由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/￡）的度數(shù)，由圓周角定理求出，AOC

的度數(shù)，由銳角的正弦求出。4的長.關(guān)鍵是求出NAOC的度數(shù)，圓的半徑長，并掌握弧長公式.

【詳解】解：如圖，在弦AC所對優(yōu)弧上取一點。，連接ZM,DC,Q4,作O"_LAC于

ZD+ZABC=180°,

r.ND=180。-N4BC=180。-120。=60°,

ZAOC=2ZD=120°,

OH±AC

ZAOH=-ZAOC=60°,AW=-AC=-x4V3=2^,

222

sinZAOH=sin600=—=—,

AO2

AO=4,

AQ的半徑為4.

B

7.（2025?遼寧葫蘆島?一模）如圖，AB為（。直徑，弦CE交半徑08于點。，連接AE,若AC=BC，則NAEC

的度數(shù)為.

【答案】45°

【分析】本題考查了圓周角定理，連接BE,可得NAEB=90。，進(jìn)而由AC=BC可得

ZAEC=ZBEC=-ZAEB=45°,即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2

【詳解】解：連接8E,

AB為。直徑,

ZAEB=90°,

AC=BC>

ZAEC=ZBEC=-ZAEB=-x90°=45°,

22

故答案為：45°.

8.（2025?廣西河池?一模）據(jù)史料記載，馬車的發(fā)明者是4000多年前生活于夏王朝初年的奚仲.馬車的發(fā)明

是中國科技史上的一大創(chuàng)舉.如圖是古代馬車的側(cè)面示意圖，A3是車輪。的直徑，過圓心O的車架AC

的一端點C著地時，水平地面CO與車輪.。相切于點D,連接AD,BD.

(1)若NC=20。，求/A的度數(shù)；

(2)若0)=2有，CB=3,求車輪的半徑長.

【答案】⑴35。

(2)車輪的半徑長［米

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識點，掌握相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)

鍵.

(1)如圖：連接OD,由切線的性質(zhì)可得ODLCD,即NCOD=90。-NC=70。，再根據(jù)圓周角定理即可

解答；

(2)由切線的性質(zhì)可得ODLCD,設(shè)車輪的半徑為廠，則OD=r,OC=BC+r=3+r,然后根據(jù)勾股定

理列方程求解即可.

【詳解】(1)解：如圖：連接OD,

?地面CD與車輪(。相切于點

ODVCD,即/ODC=90°,

ZCOD=90°-ZC=70°,

ZA=-ZCOD=35°.

2

(2)解：1,地面CO與車輪。相切于點O,

ODLCD,即NODC=90。，

設(shè)車輪的半徑為廠，則OD=r,OC=BC+r=3+r,

OC2=OD2+CD2,

(3+4=產(chǎn)+(26了，解得：r=1.

車輪的半徑長3米.

9.（2025?河北?一模）如圖，球員分別在點A,B,C處定點射門，"N表示球門，點A在圓上，點8在圓

內(nèi)，點C在圓外，若僅從射門的位置考慮，進(jìn)球概率最大的是（）

A.點A處B.點8處

C.點C處D.都一樣

【答案】B

【分析】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，三角形外角的性質(zhì)，延長交圓于。，設(shè)與圓交于

E,連接ZW,EN,則/MAN=NMDN=NMEN,只需要比較出NMAN,ZMBN,NMQV三個角的大小

關(guān)系即可得到答案.

【詳解】解;如圖所示，延長交圓于Q,設(shè)MC與圓交于E,連接AMEN,則NMAN=NMDN=NMEN,

■：ZMBN=ZMDN+ZBND,ZMEN=ZMCN+Z.CNE,

ZMBN>ZMAN>ZMCN,

,僅從射門的位置考慮，進(jìn)球概率最大的是2處，

故選：B.

10.（2025?陜西咸陽一模）如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于;。，點8為弧AC的中點，若ZA￡B=30。，則ZABC

的度數(shù)為（）

A.90°B.150°C.120°D.110°

【答案】C

【分析】連接EC,根據(jù)題意，得4B=BC，ZAEB=ZBEC=30°,根據(jù)NAEC+ZABC=180。，解答即可.

本題考查了圓的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接EC,如下圖，

?點8為弧AC的中點,

AB=BC，

：.ZAEB=ZBEC=30°,

：.ZAEC=ZAEB+ZBEC=60°,

,??四邊形ABCE是10內(nèi)接四邊形，

ZAEC+ZABC=180°,

ZABC=120°,

故選：C.

11.（2025?山西呂梁?一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于＞O,A8為。的直徑，點C為80的中點，若

"=125。，則/MB的度數(shù)為。.

【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形對角互補，等腰三角形性質(zhì)，外角和定理等.根據(jù)題意連接CO,。。，利用

圓內(nèi)接四邊形對角互補，得/3=180。-125。=55。，繼而得/。。3=180。-110。=70。，再利用圓周角定理得

NCOB=ZDOC=10。,再利用外角和定理即可得到本題答案.

【詳解】解：連接C。,。。，

.?.四邊形ABC。內(nèi)接于O,ZADC=125°9

/.ZAZ）C+ZB=180°,

ZB=180°-125°=55°,

.OB=OC,

；ZOCB=ZOBC=55°9

：ZCOB=180°-55°-55°=70°,

丁點。為50的中點，，

?DC=BC，

：.ZCOB=ZDOC=70°,

Z￡>OB=140°,

.OD=OA,

ZDAB=ZADO=70°,

故答案為：70.

12.（2025?浙江?一模）如圖，已知四邊形A5CD內(nèi)接于。，延長B4,交于點P.若AD=2,BC=5C，

【答案】7

【分析】過點A作鉆〃CP,交I。于點E,連接AC,OBQE,BE,CE,由題意易得

ZBOE=2ZEAB=60°,AD=CE,則有AOb不是等邊三角形，CE=AD=2,過點E作石H15C于點H,

然后可得E“=；CE=1,CH={CE2-EH2=6,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解.

【詳解】解：過點A作/場〃CP,交（0于點E,連接AC,。氏OE,BE,CE,如圖所示:

ZEAB=ZP=30°,ZDCA=NEAC,

ZBOE=2ZEAB=60°,AD=CE,

.OB=OE,AD=2,

△Q5E是等邊三角形，CE=AD=2,

.1.OB=BEf

過點E作團(tuán)IBC于點H,

ZBCE=NBAE=30°,

EH=-CE=1,

2

CH7CE，-EH2=￡，

BC=5s/3,

.BH=BC-CH=46,

BE=^EH~+BH~=1=OB'

即圓的半徑為7；

故答案為7.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及含30度直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及含30度直

角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?廣東惠州?一模）如圖，A3是。的直徑，點C在A3的延長線上，C。與（。相切于點。，若

CD=2^/3,AB=4,則CB=.

【答案】2

C'R

【分析】連接OD,BD,證明人⑺不-皿），得出/=上￡,則CD2=GVCB=（CB+AB）CB,即

CACD

（273）2=（C5+4）CB,求解即可.

【詳解】解：如圖，連接OD,BD,

CD與。相切于點。，

OD1CD

：.ZCDB+ZBDO=ZODC=90°

A5是）。的直徑，

ZADO+NBDO=ZADB=90。

.OD=OA

..ZADO=ZOAD

/.ZCDB=ZOAD

,/zc=zc

..CDBsCAD

.CD_CB

一~CA~~CD

..CD2=C4CB=（CB+AB）GB

即（2班『=（C5+4）C8

??.CB=2^CB=-6（舍去），

故答案為：2.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角

的性質(zhì)等，解一元二次方程等知識，正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?四川南充?一模）如圖，在。中，直徑與弦5c交于點P,AC=BC過點。作

與50的延長線交于點￡

⑴求證：CE是(0的切線；

(2)^AB=6,AC=3V10,求CP的長.

【答案】①證明見解析

(2)^|A/W

【分析】(1)連接O8,OC,先判斷出OC垂直平分A8,再根據(jù)圓周角定理可得？ABD90?,根據(jù)平行線

的判定可得CE〃AB,從而可得CELOC,然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；

(2)連接。氏OC,延長CO,交A3于點尸，先利用勾股定理可得CP的長，再設(shè)。的半徑為r(r>0),

則OB=OC=r,A￡>=2r,OF=9—r,利用勾股定理可得『的值，從而可得OC,AZ)的長，利用勾股定理可

得30的長，然后證出。COP。BOP,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OB,OC,

「AC=BC，

AC=BC,

又OA=OB,

???OC垂直平分A3,

AD是］。的直徑，

；?ABD90?,即

,/CE1BD,

CE//AB,

CE±OC,

又：。(7是(。的半徑，

CE是。的切線.

(2)解：如圖，連接O8,OC,延長CO,交AB于點尸，

由（1）已得：C/垂直平分A3,

BF=-AB=-x6=3,CFLAB,

22

AC=BC^AC=3麗，

BC=AC=3V10,

CF=VflC2-BF-=9＞

設(shè)〈。的半徑為r（r＞。），則O8=OC=r,AD=2r,

OF=CF-OC=9-r,

在RtaBO尸中，O尸2+BF?=OB?,即（9-rf+32=產(chǎn),

解得r=5,

OC=5,AD=2x5=10,

AE＞是工。的直徑，

???1ABD90?,即ABJLBD,

BD=\lAD2-AB2=8，

又；CF1AB,AB±BD,

CF//BD,

：.COPSBDP,

.CPPC_5

-Bp—BDl飛'

o

BP=-CP,

又：CP+BP=BC=3屈,

CP=—x37io=—Tio.

1313

【點睛】本題考查了圓的切線的判定、弧與弦的關(guān)系、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直

平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握圓的切線的判定和圓周角定理是解題關(guān)鍵.

15.（2025,黑龍江齊齊哈爾?一模）如圖，正方形ABC。中，AB=2,點E為正方形A3CD內(nèi)部一點，連接

AE,BE,CE,且=當(dāng)-BCE為等腰三角形時，AE的長為.

--------------------\D

---------

【答案】0或|石

【分析】由已知可得NA￡B=90。，即得點E在以AB為直徑的圓上，再分BE=CE,CE=CB=2和BE=BC

三種情況解答即可求解，

【詳解】解：；四邊形ABC。是正方形，

ZBAD=ZABC=90°,

：.ZBAE+ZDAE^90°,

ZABE=ZDAE,

：.ZBAE+ZABE^90°,

：.ZAEB=90°,

點E在以AB為直徑的圓上，

??-3CE為等腰三角形，

當(dāng)BE=CE時，點E為正方形對角線AC的中點，如圖，

--------1。

AC=y)AB2+BC2=722+22=2^

A￡=-AC=-X2A/2=A/2；

22

當(dāng)CE=CB=2時，如圖，過點C作CH_LBE于H,則BH=EH=LBE,ZBHC=ZAEB=90°,

2

■：ZABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBH=90°,

：.ZCBH=ZBAE,

又rBC=AB,

BCH^ABE(AAS),

BH=AE,

?.BE=2AE,

設(shè)AE=x,貝i]5E=2x,

AE2+BE2=AB2,

：.x2+(2x)2=22,

._2五

??x----,

5

.AQ非

??A.E----；

5

當(dāng)BE=3C時，如圖，僅當(dāng)點E和點A重合時BE=BC,

???點E為正方形ABCD內(nèi)部一點，

此種情況不符合；

綜上，的長為也或竽,

故答案為：血或寺.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，點和圓的關(guān)系，圓周角，等腰三角形的定義全等三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理等，運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

16.（2025?山東濰坊?一模）如圖，在VABC中，NACB=90。，。是BC上任意一點，連接A。，過C作CE_L4）

于E,連接BE.若3c=4,AC=6,則郎的最小值為.

【答案】2cm

【分析】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識點，由NAEC=90。知E在以AC

為直徑的］"的CN上（不含點C、可含點N）,從而得郎最短時，即為連接與。〃的交點（圖中點E

點），BE長度的最小值1逢旌.

【詳解】解：如圖，

由題意知，NAEC=90。，

在以AC為直徑的：M的CN上（不含點C、可含點N）,

.-?BE最短時，即為連接與《的交點（圖中點E點），

在中，BC=4cm,CM=AC=3cm,則BM=d8c。+CM，=5cm,

■/ME0=MC=3cm,

BE長度的最小值BEi工ME=2cm,

故答案為：2cm.

17.（2025?江蘇淮安?一模）如圖，A,B,C,。是：。上的四個點，ZC=130°,^\ZBOD=度.

C

B,D

\\O/

A

【答案】100

【分析】本題考的查圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確它們各自內(nèi)容，靈活運用，解答

問題.

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補求出NA=50。，然后根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的二倍求解即可.

【詳解】解：A,B,C,D是。上的四個點，ZC=130°,

四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

.-.ZC+ZA=180°,

:.ZA=50°,

BD=BD，

:"BOD=2ZA,

.-.ZBOD=100o,

故答案為：100.

18.（2025?江蘇鹽城?一模）如圖，A3是半圓。的直徑，點C是弧上的一點，ZC=132°,則/的

度數(shù)為度.

【分析】本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題的關(guān)鍵.

由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得再由圓周角定理得出"）3=90。，由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)而可直接

答案.

【詳解】解：；A8是半圓。的直徑，

:.ZADB^90°,

■:ZC=132°,

ZDAB=180°-ZC=180°-132°=48°,

，ZAaD=90°-48°=42°

故答案為：42°.

敗理03切線的判定與性質(zhì)

1.（2025?浙江?一模）已知。的半徑是5,直線/與3。相交，則圓心0到直線/的距離可能是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線/和I。相交即d<r，即可判斷.

【詳解】解：1,直線/與、。相交,

???圓心。到直線/的距離小于5,

符合要求的為4,

故選：A.

2.（2025?山東臨沂?一模）如圖，VABC內(nèi)接于。，。是3C上一點，AD=AC.E是:。外一點,

ZBAE^ZCAD,ZADE^ZACB,連接BE.

(1)若8=2,DE=6,求BO的長;

⑵求證：￡B是」。的切線.

【答案】（1）4

⑵見解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，掌握切線的判定是關(guān)鍵.

(1)證明MDE^AACB(ASA),得到3C=DE=6,即可求解;

（2）連接2。并延長交1。于點尸，可得ZAFB+N4B尸=90。，ZAFB=ZACB,ZABE=ZAFB,所以

AABF+AABE=9Q°,結(jié)合切線的判定即可求解.

【詳解】（1）解：ZBAE=ZCAD,

:.ZBAE+/BAD=/CAD+/BAD,即NE4D=NBAC,

又'ZADE=ZACB,AD=AC,

:._ADE=^ACB(ASA)f

BC=DE=6,

:.BD=BC-CD=6-2=4；

(2)證明：連接5。并延長交C。于點尸，連接AF,

BF是。的直徑，

...NAFB+/AB尸=90。，

AB=ABf

/.ZAFB=ZACB,

由(1)知—AC3(ASA)

/.AE=AB,

,\ZAEB=ZABE,

又ZBAE=/CAD,

:.ZABE=ZACB,

:.ZABE=ZAFB,

.\ZABF+ZABE=90°,

：.OB工BE,

..EB是。的切線.

3.(2025?遼寧葫蘆島?一模)VABC內(nèi)接于。，CO的延長線交于點。，交于點尸，連接AF,AB

平分/E4C,過點3作班〃CD,CELBE,垂足為點E.

⑴求證：BE為。的切線;

(2)若AB=5,BE=3,求3。的長度.

【答案】①證明見解析

(2)T

【分析】(1)連接03、BF,由圓周角定理得NCB/=90。，進(jìn)而由N&F=/54C,即得加1=3C,得到

ZBCF=ZBFC=45°,進(jìn)而得NO3C=NOCB=45。，由根據(jù)平行線的性質(zhì)得/ECF=90。，得ZBCE=45。,

即得/￡BC=45。，即得到/O8E=90。，即可求證；

(2)過點。作明，鉆于H,過點A作AGL3。的延長線于G,可得A8=28=』A2=$,由四邊形

22

BOCE是正方形得OB=BE=3,即得OH=后/二瓦K=叵,再由器=空=的得BG=§,

2BGAGBA6

AG=%叵，進(jìn)而由〈BODSBG4得。。=生叵，最后利用勾股定理解答即可求解.

65

【詳解】(1)證明：連接03、BF,

■■CP是；，。的直徑,

NCBF=90。,

■■■AB平分NE4C,

NBAF=ZBAC,

BF=BC，

?.BF=BC,

..NBCF=NBFC=45。，

.OB=OC,

/.ZOBC=ZOCB=45°,

■「CELBE,

ZE=90°,

又「BE//CD,

/.ZECF=180°-ZE=90°,

ZBCE=90°-45°=45°,

Z￡BC=90°-45°=45°,

：ZOBE=ZOBC+ZEBC=45°+45°=90°,

即OB_LBE,

05是：。的半徑，

二BE為。的切線；

(2)解：如圖，過點。作于"，過點A作AG,30的延長線于G,

則==ZBHO=ZBGA=9Q°

22f

由(1)得，NECF=/OBE=NE=90。,

「?四邊形8OC石是矩形，

.OB=OC,

「?四邊形80CE是正方形，

..OB=BE=3fZBOC=ZBOD=90°,

ZOBH=ZABG,NBHO=NBGA,

..BHOsBGA,

.BHOHBO

BG-AG-BA?

5Tn

即_2_=2=3,

^G~~AG~5

?”一竺“_5而

??D^J_fAG_------,

66

.BOLCF,AG1BO,

?.OD//AG,

?.BODsBGA,

.DOBO

AG~BG

DO3

即5而一名

66

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，弧弦圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理,

正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?浙江湖州?一模）如圖，已知。的半徑長是1,PA,尸8分別切。于點A,B,連結(jié)PO并延長

交〈。于點C,連結(jié)AC,BC.若四邊形上4cB是菱形，則尸C的長是（）

A.272B.3C.2叢D.4

【答案】B

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，含30度的直角三角形，掌握圓的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.連

接AO,8。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NQ4P=NO6P=90。，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)推出ZAO尸=2ZAPC,

進(jìn)而得到NAPO=30。，則。尸=2。4=2,即可求出尸C的長.

【詳解】解：如圖，連接AO,BO,

PA,尸8分別切。于點A,B,

:.ZOAP=ZOBP=90°,

OA=OC=1,

ZOCA=ZOAC,

ZAOP=ZOCA+ZOAC=2ZOCA,

四邊形PACB是菱形，

:.AC=AP,

:.ZAPC=ZACP,

:.ZAOP=2ZAPC,

ZAOP+ZAPO=3ZAPO=90°,

:.ZAPO=30°,

:.OP=2OA=2,

PC=OP+OC=2+1=3,

故選B.

5.（2025?四川達(dá)州?一模）如圖，在。中，BC是切線，3為切點，直線CO交1。于點。,4,點E為iQ上

的一點，連接22。萬.若NC=24。，則NE的度數(shù)為（）

A.76°B.66°C.38°D.33°

【答案】D

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、直角三角形銳角互余、圓周角定理及推論，如圖所示，連接首

先由切線得到NC?C=90。，然后求出/3。。=90。-/。=66。，最后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接08,

???2C是:，。的切線，切點是8,

OB1.BC,

■：在RtAOBC中,Z.OBC=90°,ZC=24°,

/3OD=90。—/C=66°,

???圓周角/E與圓心角/30D所對的弧是BO,

?E-?BOD33?.

2

故選：D.

6.（2025?遼寧鞍山?一模）如圖，48是，。的直徑，AM是,：。的切線，AC,CZ）是；。的弦，且CD1.AB,

垂足為E,連接8。并延長，交A〃于點P.

(1)求證：Z.CAB=ZAPB；

⑵若，。的半徑r=5,AC=8,求線段尸。的長.

【答案】⑴證明見解析

32

2—

3

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得/SAM=90。，推出AM〃CD,得NCD3=NAP3,根據(jù)同弧所對的圓周

角相等得NCAB=NCZ)3,即可得證；

(2)如圖，連接AD,根據(jù)是直徑得NCD5+NADC=NADB=90。，繼而推出/ADC=/C,得

AD=AC=8,由勾股定理得證明得空=空，求出尸2=竺-=包,

PBABBD3

可得答案.

【詳解】(1)證明：:AM是。的切線，

ZBAM=90°,

.CDLAB,

：.ZCEA=90°=ZBAM,

AM//CD,

/.ZCDB=ZAPB,

NC4B和/CD5所對的弧為C5，

/.ZCAB=ZCDB,

/.ZCAB=ZAPB；

(2)解：如圖，連接AD,

APM

A5是直徑，。的半徑r=5,AC=8,

丁./CDB+ZADC=ZADB=90。,

,/ZCAB+NO=90°,ZCDB=ZCAB,

/.ZADC=ZC,

AD=AC=8,

.BD=YIAB2-AD2=A/102-82=6,

??ZBAD+ZDAP=90°=ZDAP+ZAPD,

ZBAD=ZAPD,ZBAD=ZBPA,

???ZBDA=90°=ZBAP,

??AADB^APAB,

.ABDB

,1PB~~AB,

.DA_A52_100_50

BD63

5032

..PD=PB-BD=——6=—,

33

???線段尸。的長為方32.

32

故答案為：y.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)定理，直徑所對的圓周角是直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，等角對等

邊，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識點，掌握切線的性質(zhì)及相似三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?重慶江津?一模）如圖，A5是.。的直徑，點C,E在。上，過E作；。的切線交A5的延長線于

4

點F,/CAB=2/EAB,過。作COLAB于點。，交AE于點"，BF=1,sinZAFE=-9則AB=,

DH=

HE

128

【答案】

75

【分析】連接。石，過點E作石于點可得NOEF=90。，可證明/3=/4,^OB=OE=x,則

QFx4

OF=OB+BF=x+l,由sinNA/E=—=——=一，解得:x=4,那么=5,AB=2x=8,貝l]EF=3,

OFx+15

解直角三角形得到畫/=9,,貝IJAM=AO+OM=E，而cosN4=cosN3=(,解直角三角形得

q,11OR

到AC=M'A八三,再由3s*'求得D*行

【詳解】解：連接OE,過點E作成于點M,如圖:

「.NO跖=90。，

.OA=OE,

Z1=Z2,

N3=N1+N2=2N1,

VN4=2N1,

/3=/4，

^OB=OE=x,則O9=。5+5/=%+1,

OFx4

：.sinZAFE=——

OFx+15

解得：x=4,

OF=5,AB=2x=8,

EF=』OF2—OE2=3,

3EM4_OM

5454

55

1636

AM=AO+OM=4+——=——，

55

N4=N3,

cosZ4=cosZ3=—

5

---AB是直徑，

：ZACB=90°,

???CDLAB,

.AC_M_4

一~AB~~AC~5'

.AC_AD_4

…32f128

..AC——,AD-,

525

.CDLAB,EMLAB,

DH//EM,

「?AADH^AAME,

DHAD

EMAM

PH=25

1236

/.DH=

故答案為：8；

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?山東淄博?一模）如圖，四邊形ABCD是O的外切四邊形，且AS=10,CD=12,O的半徑r=5,

則四邊形ABC。的面積為（）

C.100D.110

【答案】D

【分析】本題考查的是切線長定理的應(yīng)用，如圖,連接。4,OB,OC,OD,作出過切點的半徑OE,OF,

OG,OH,證明AB+CD=AD+3C=22,再利用割補法求解面積即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,OB,OC,OD,作出過切點的半徑OE,OF,OG,OH,

1,四邊形ABCD是。的外切四邊形,

AH=AE,DH=DG,CF=CG,BE=BF,

AB+CD=AD+BC,

-：AB=10,CD=U,

：.AB+CD=AD+BC=22,

???四邊形458的面積為：

cj_e_i_e_i_e

^.AODFaBOC-°AOB丁uCOD

=1（AB+C￡））r+1（A￡）+BC）r

=-x5x22+-x5x22

22

=110；

故選：D

9.（2025?北京?一模）如圖，PA,尸8分別與：。相切于點A,B,OP交于點C,四邊形AEOP是平行

四邊形，若尸3=8,則PC=,劣弧EC=

【答案】8V2-8/-8+8V26兀

【分析】根據(jù)切線長定理得24=尸3,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)推得NAOP=45。、ZEAP=ZEOP=135°,通

過三角函數(shù)可求得PC的長，通過弧長公式可求得劣弧EC的長.

PA,P8分別與。相切于點A,B,

.?四邊形AEOP是平行四邊形,

:.PA=OE=OA=OC=8,EA//OP,

ZAOP=ZAPO=18。。―/?！?o=,

45ZEAO

2

NEAP=ZEAO+ZOAP=ZEOP=45°+90°=135°,

二劣弧左一與薩=6,，

「在RtZiOA尸中，