2025年中考數學三輪沖刺：二次函數特殊三角形存在性提

分刷題練習題

1.如圖，拋物線與X軸交于點A(T,0)與點3(3,0),與y軸交于點C(o,3),P為第一象限拋

物線上的點.

(1)求該拋物線的函數解析式.

(2)當APBC的面積最大時，求P點的坐標.

(3)在X軸上是否存在點N,使ANBC是等腰三角形，若存在直接寫出所有符合條件的點

N的坐標，若不存在說明理由

2.定義：如果二次函數＞+%(420,%,瓦,q是常數)與y=2/+打工+，2

,

(4片0,a2,b2,是常數)滿足/+%=。，瓦=瓦,q+c2=0,則這兩個函數互為“"

備用圖

(1)寫出y=-/+x-l的函數的表達式；

(2)若題(1)中的兩個函數與正比例函數y=kx(k^0)的圖像只有兩個交點，求上的值；

(3)如圖，二次函數”與"互為"N”函數，A、B分別是“N”函數”與以圖象的頂點,

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C是“AT函數為與y軸正半軸的交點，連接AB、AC、BC,若點4-2,1)且VABC為直角三

角形，求點C的坐標.

3.如圖，拋物線y=-/+bx+c與尤軸交于A,3兩點，y與軸交于點C,拋物線的對稱軸

交x軸于點D已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

⑵在拋物線的對稱軸上有一點使得防1+MC的值最小，求此點M的坐標；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在尸點，使』尸。是等腰三角形，如果存在，求出點尸的坐

標，如果不存在，請說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為6的等腰直角三角板ABC放在第二象限，

且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為(-1,0),點2在拋物線y=o?+?x-2上.

(1)點A的坐標為,點8的坐標為

⑵拋物線的解析式為：;

⑶設(2)中拋物線的頂點為，求ADBC的面積；

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(4)在拋物線上是否還存在點P(點B除外)，使AACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角

形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

5.如圖，已知二次函數y=-N+bx+c(c>0)的圖象與x軸交于A、2兩點(點A在點2

OC=3,頂點為

(1)求二次函數的解析式;

(2)點P為線段上的一個動點，過點尸作x軸的垂線PQ,垂足為。，若。。=機，四邊形

ACP。的面積為S,求S關于根的函數解析式，并寫出相的取值范圍;

(3)探索：線段上是否存在點N,使ANMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標;

如果不存在，請說明理由.

，+%+3的圖象交x軸于42兩點(點A在點2的左側),

6.如圖①，二次函數y=

交y軸于C點，連接AC,過點C作CDJ_AC交AB于點D

(1)求點D的坐標;

(2)如圖②，在直線BC上取一點M(不與點8重合)，在直線CD的右上方是否存在這樣的

點、N,使得以C、M、N為頂點的三角形與△BCD全等？若存在，請求出點N的坐標；若不

存在，請說明理由.

7.如圖，已知拋物線。=加十汝+或“0)經過A-1,0),3(3,0),C(0,-3)三點,直線/是拋物

線的對稱軸.

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(1)求拋物線的函數解析式；

(2)設點尸是直線/上的一個動點，當AR4c的周長最小時，求點尸的坐標；

(3)點M也是直線/上的動點，且4c為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點M

的坐標.

8.如圖，直線/過x軸上一點4(2,0),且與拋物線y=/相交于B,C兩點,3點坐標為(1,1).

(1)求直線/和拋物線的解析式；

(2)若拋物線上有一點。(在第一象限內)使得S-8=SWBC，求。點坐標；

(3)在x軸上是否存在一點尸，使△POC為等腰三角形？若存在，請求出點尸的坐標；若

不存在，請說明理由.

9.如圖，拋物線y=x?-bx-5與x軸交于A.B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于

點C,點C與點F關于拋物線的對稱軸對稱，直線AF交y軸于點E,|OC|：|OA|=5：1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求直線AF的解析式；

(3)在直線AF上是否存在點P,使ACFP是直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不

存在，說明理由.

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10.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數，=加+法+。交X軸于點A(-4,0)、3(2,0),

交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點雙0,-2),連接AE.

(1)求二次函數的表達式；

(2)若點。為拋物線在X軸負半軸上方的一個動點，求AAZ組面積的最大值；

(3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使AAEP為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有尸點

的坐標，若不存在請說明理由.

11.如圖，已知拋物線尸/+法+c與x軸交于點A(-LO)和點8,與y軸交于點C(0,-3),

尸為拋物線上任意一點.

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(2)當△3CP是以5C為直角邊的直角三角形時，求此時尸點的坐標.

12.如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數〉=。冗2+"+。交X軸于4一4,0)、8(2,0),

(2)點D是第二象限內的拋物線上一動點.若tan/AED=g,求此時點。坐標；

(3)連接AC,點P是線段。1上的動點，連接OP,把線段尸0繞著點尸順時針旋轉90°

至尸。，點。是點。的對應點.當動點P從點C運動到點A時，判斷動點。的軌跡并求動

點。所經過的路徑長.

13.二次函數廣"2+b尤+c圖象的一部分如圖所示.已知它的頂點M在第二象限，且經過

點A(l,0)和點B(0,1).若此二次函數的圖象與x軸的另一個交點為C.

(1)試求a,b所滿足的關系式；

(2)當AAMC的面積為AABC面積的|■倍時，求a的值；

(3)是否存在實數a,使得/VRC為直角三角形.若存在，請求出a的值；若不存在，請說

明理由.

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14.如圖，在平面直角坐標中，二次函數yuo^+bx+c的圖像經過點A(6,0),2(-2,0),

C(0,4).

(1)求二次函數yua^+Zw+c的表達式；

(2)點P在第一象限的拋物線上，且能夠使AACP得面積最大，求點尸的坐標；

(3)在(2)的前提下，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得AAP。為直角三角形，

若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，說明理由.

15.在平面直角坐標系中,已知拋物線y=Y+bx+c過點A(0,2),對稱軸是直線x=2.

(1)求此拋物線的函數表達式及頂點M的坐標;

⑵若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當ABCM是等邊三角形時,

求出此三角形的邊長;

(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點。的坐標為(L-1),是否存在點憶使以點A,D,E,

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尸為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

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參考答案

1.(1)y=*+2x+3；(2)當△P3C的面積最大時，求尸點的坐標為：尸住，，］；(3)在

x軸上存在點N,使ANBC是等腰三角形，符合條件的點N的坐標為：N(3-3夜,0)、

N(-3,0)、N(0,0)

【分析】(1)根據拋物線上的A、8、C三點的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解

析式；

(2)先根據已知條件設出點尸的坐標，然后列出△P3C的面積關于點P的橫坐標之間的二

次函數關系式，再利用二次函數圖像的頂點坐標即可求得答案；

(3)對等腰三角形ANBC進行分類討論，從而確定符合要求的點N坐標.

【詳解】解：(1)設拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

???拋物線與x軸交于點A(-l,0)與點8(3,0),與y軸交于點C(0,3)

a-b+c-0

<9。+3Z?+c=0

c=3

a=-l

：.\b=2

c=3

拋物線的函數解析式為：尸—+2為+3.

(2)...由(1)可知拋物線的函數解析式為：、=-/+2尤+3,點尸為第一象限拋物線上的點

；?設點尸的坐標為：(陽―/+2元+3),其中的取值范圍是：0<x<3

???過點尸作垂足為點E,如圖：

?q

??24PBe°ABOC

S梯形PCOE+S/BE_S450c

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(CO+PE>OEBE?PECO?BO

2+22

(3-x2+2x+3)*(3-x)(-爐+2X+3)?3-X)3X3

------------------------------------------1--------------------------------------------------

222

3+工

22

9

?,S^PBC—x(0<x<3)

'：a=--<0

2

9

b3

?當x=------2時，取最大值

?,32a3=5S/BC

2x

2

315

J當％=—時，一/+2%+3=—

24

315

???當△的面積最大時，點的坐標為

PBCP25T

(3)①當5C=BN時，如圖:

;點N在x軸上

設點N的坐標為：(x,0)

?.?3(3,0),C(0,3)

BC=M+3。=3&>3

???點N在x負半軸上

??.-x+3=30

X=3-3A/2

N(3-3灰,0)；

②當CB=CV時，如圖：

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CB=CN=3五

'：COLNB

，ON=OB=3

/.N（-3,0）；

③當NC=NB時，如圖:

既是等腰三角形，又是直角三角形

ACN±NB,CN=NB=3

：.N（0,0）.

綜上所述，在無軸上存在點N,使ANBC是等腰三角形，符合條件的點N的坐標為：

N（3-3夜,0）、N（—3,0）、N（0,0）.

【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數解析式、利用面積相等列出二次函數關系式、

二次函數圖像特征、動點問題、最值問題、等腰三角形的性質、勾股定理等知識點，注意第

三問需分類討論，是一道壓軸題，綜合性較強，難度較大，是中考常考題目.

2.（1）y=x2+x+l；（2）上的值為3或一1；（3）點C的坐標為（0,行）或（0,5）.

【分析】（1）根據"N'函數的定義即可求得答案；

（2）根據中心對稱的性質可得y=履次力0）的圖像與y=f+x+1的圖像只有一個交點，

由此聯立方程即可求得答案；

（3）先根據中心對稱的性質求得點2的坐標，進而可分別表示出”與”的函數關系式，以

及點C的坐標，再根據VA3C為直角三角形分類討論，利用直角三角形的勾股定理列出方

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程求解即可.

【詳解】解：⑴'：y=-x2+x-l,

Jq=-1,4=1,q=-1,

??Cl?=1,b?—1,C,2=1,

y=-x2+x-l的“V函數的表達式為y=x2+x+l；

(2)%=—尤2+x—1

=—(%2-x)-l

=-(龍2—尤+；_；)_]

,,1,3

2

同理：y2=(x+-)+-,

X與巴關于原點成中心對稱，

又?.?正比例函數>=依(左20)的圖像也是關于原點成中心對稱，且題(1)中的兩個函數

與正比例函數y=kx(k豐0)的圖像只有兩個交點，

.?.〉=履(左/0)的圖像與〉=/+》+1的圖像只有一個交點，

.??方程依=Y+x+l有兩個相等的實數根，

b2—4ac=0,

整理，得：x2+(l-k)x+l=0,

：.(1-^)2-4=0,

解得：k、=3,k2=-l,

的值為3或一1；

(3)由(2)可知，若二次函數〃與”互為“尸’函數，

則二次函數》與義的圖像關于原點成中心對稱，

"B分別是函數竺與”的圖像的頂點，點A(-2,1),

.?.點2(2,-1),點。為的中點，

設%=。(工—2>—1(a>0),則％=—a(x+2)~+1,

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當x=0時，y2=4A—1,

.?.點C（0,4a-l）,

VC是函數力與〉軸正半軸的交點，

...若VABC為直角三角形，則NACB=90。或NBAC=90。，

當/ACB=90°時，

又：點。為AB的中點，

：.AB=2OC,

?；AB=7[2-（-2）]2+[（-1）-1]2=2舊,

：.OC=y/5,

.?.點C的坐標為（0,石），

當/BAC=90。時，則AB2+AC2=BC2,

???（2百）2+4+（4〃-2）2=4+（4a）2,

3

解得：a=j,

3

??4Q—1=4x1—5,

2

.?.點C的坐標為（0,5）,

綜上所述：點C的坐標為（0,石）或（0,5）.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像性質，理解題意，能夠發現二次函數與與”的圖像關

于原點成中心對稱是解決本題的關鍵.

3.⑴y=-V+2x+3

⑵點M坐標（1,2）

⑶存在，點P坐標為（1,6）,（1,回）,（1,一回）,（1,1）

【分析】（1）把A、C兩點的坐標代入產-/+fcv+c,利用待定系數法即可求出二次函數的解

析式；

（2）由拋物線的對稱性可知點A與點8關于對稱軸對稱，所以BC與拋物線對稱軸的交點

為此時MA+MC最小，即MA+MC最小值等于線段BC長，求出直線BC與拋物線對稱

軸交點M坐標即可；

（3）分兩種情況討論：。當△尸8是以CD為腰的等腰三角形時，又可分兩種情況討論：

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①PC=CD；②PD=CD.設出點P的坐標，利用兩點間的距離公式列出方程求解即可；

，)當△PC。是以C。為底的等腰三角形時，點P在CD的垂直平分線上，PC=PD,利用兩點

間的距離公式列出方程求解即可.

【詳解】(1)解：把A(-1,0),C(0,3)代入尸-無2+版+以

—l—b+c—0b=2

得:解得:

c=3c=3

.??拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

(2)解：由拋物線的對稱性可知點A與點B關于拋物線的對稱軸對稱，

所以設2C與拋物線對稱軸的交點為跖此時MA+MC最小，即MA+MC最小值=2C,如圖,

■：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4；

二拋物線的對稱軸為直線產1,

VA(-1,0),點A與點B關于拋物線的對稱軸對稱,

：.B(3,0),

設直線BC解析式為y=kx+m,

-k+m=0[k=-\

則解得

m—3[m=a3

直線BC解析式為y=-x+3,

當x=l時，y=2,

：.M(1,2).

(3)解：：y=-N+2x+3=-(x-1)2+4,

???對稱軸為直線產1,

：.D(1,0).

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設點尸的坐標為（/,力，

VC（0,3）,

.".CD2=l2+32=10.

分兩種情況討論：i）當ZPCD是以CD為腰的等腰三角形時，又可分兩種情況討論：

①若尸C=C。，則P+63）2=10,解得仁0（舍棄）或6,

所以點P的坐標為（1,6）；

②若PD=CD,則產=10,解得t=±M，

所以點p的坐標為a,A/W）或（1,-M）；

論當公PCD是以C。為底的等腰三角形時，PC=PD,

則1+（t-3）2=凡解得：?=|,

所以點尸的坐標為（1,1）;

綜上所述，點尸的坐標有三個，分別是（1,6）或（1,如））或（1,-M）或（1,1）.

【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式、

二次函數的性質、利用軸對稱求最短距離；難度適中，在考慮構建等腰三角形時，采用了分

類討論的思想.

4.（1）（0,2）；（-3,1）

（4）點P的坐標為7?（1,-1）與2（2』）

【分析】（1）先根據勾股定理求出。4的長，即可得出點A的坐標，再求出OE、班的長即

可求出8的坐標；

（2）把點2的坐標代入拋物線的解析式，求出。的值，即可求出拋物線的解析式；

（3）先求出點。的坐標，再用待定系數法求出直線8。的解析式，然后求出C尸的長，再根

據S&DBC=S*cEB+S&CED進行計算即可；

（4）假設存在點尸，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：

①若以點C為直角頂點；則延長至點片，使得［C=BC,得到等腰直角三角形

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過點《作軸，由全等三角形的判定定理可得△叫C式AFBC,再由全等三角形的對

應邊相等可得出點片點的坐標；

②若以點A為直角頂點；則過點A作且使得A^=AC,得到等腰直角三角形

△4瑪，過點鳥作￡汽，》軸，同理可證△A/VV也△C4。，由全等三角形的性質可得出點打

的坐標；點片、鳥的坐標代入拋物線的解析式進行檢驗即可.

【詳解】(1)解：??,c(T0),AC=5

：.OA=VAC2-oc2==2，

.?.A(0,2)；

過點8作3尸_Lx軸，垂足為尸，

ZACO+ZCAO=90°,ZACO+ZBCF=90°,NBCF+NFBC=90°,

在△AOC與ACFB中，

ZFBC=ZACO

■：BC^AC,

ZBCF=ZCAO

:.AAOC^CFB(ASA),

:.CF=OA=2,BF=OC=1,

:.OF=3,

??.5的坐標為(-3,1),

故答案為：(0,2)；(-3,1)；

(2):把3(-3,1)代入y=o?+辦-2得：

1=9a—3a—2,

解得a=g,

二拋物線解析式為：y=-2.

故答案為：y=^x2+^x-2.

(3)由(2)中拋物線的解析式可知，拋物線的頂點-

設直線3。的關系式為丁=履+"將點8、。的坐標代入得：

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-3k+b=l

<1,717,

—k+b=---

I28

k=--

4

解得:.

b=——

L4

.a.BD的關系式為y—~~7x~~r?

44

設直線即和X軸交點為E,則點E,：,。］,CE=|.

。16,17、15

SADBC=2XgX^+Y=V；

(4)假設存在點尸，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：

①若以點C為直角頂點；

則延長BC至點使得4c=BC,得到等腰直角三角形△ACq,

過點打作々MLx軸，

CP{=BC,ZMCPt=ZBCF,ZP^MC=ZBFC=90°,

.--AAM^C^AFBC(AAS).

:.CM=CF=2,P,M=BF=1,

②若以點A為直角頂點；則過點A作且使得A￡=AC,得到等腰直角三角形

△AC巴，

過點外作軸，同理可證△A^N烏△CAO,

:.NP2=OA=2,AN=OC=1,

經檢驗，點片與點￡(2,1)都在拋物線y=+?-2上，

故點P的坐標為4(1，T)與月(2,1).

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D

【點睛】本題考查的是二次函數綜合題，涉及到全等三角形的判定定理、用待定系數法求一

次函數及二次函數的解析式、二次函數的性質、勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直

角三角形是解答此題的關鍵.

5.(1)y=—x2+2x+3；

o3

(2)S=-m2+—m+—(l<m<3)

⑶((，Y(2,2),(1+巫，4-^^)

3355

【分析】(1)可根據。8、0c的長得出夙C兩點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物

線的解析式.

(2)可將四邊形ACP。分成直角三角形A0C和直角梯形CQPC兩部分來求解.先根據拋

物線的解析式求出A點的坐標，即可得出三角形A0C直角邊OA的長，據此可根據上面得

出的四邊形的面積計算方法求出S與相的函數關系式.

(3)先根據拋物線的解析式求出M的坐標，進而可得出直線的解析式，據此可設出N

點的坐標，然后用坐標系中兩點間的距離公式分別表示出CM、MN、CN的長，然后分三種

情況進行討論：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN.根據上述三種情況即可得出符合條件

的N點的坐標.

【詳解】(1),：OB=OC=3,

：.B(3,0),C(0,3)

0=-9+3b+cb=2

解得

3=cc=3

二次函數的解析式為y=-/+2x+3.

(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,M(1,4)

設直線MB的解析式為y=kx+n,

第10頁共37頁

4=k+n

則有

0=3左+n

k=-2

解得

〃=6

???直線MB的解析式為y=-2x+6

?.,PQ_Lx軸，OQ=m,

，點尸的坐標為(m,-2/n+6)

5a^ACPQ=SAAOC+S^PQOC=^AO-CO+1(PQ+C。)-OQ

1193

=—xlx3+—(-2m+6+3)?m=-m2+—m+—(l<m<3).

(3)設N(x,-2x+6)

CM=J(l-0)2+(4-3)2=V2,C7V=7%2+(-2X+3)2,

W=7(X-1)2+(-2X+2)2

①當CM=NC時，Jd+(-2x+3)2=&，

7

解得X尸彳,X2=l(舍去)

此時N((,)

②當CM=MN時，J(l)2+(_2%+2)2=0,

解得制=1+巫，X2=l-巫(舍去)，

55

此時N(1+典，4-冬叵)

55

③當CN=MN時，舊+(_2尤+3)2=J(尤_+(_2x+2了解得x=2,此時N(2,2)

綜上所述：線段上存在點N,((-,—),(2,2),(1+?,4-2叵)使AM0C

5555

為等腰三角形.

【點睛】本題主要考查二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點、等腰三角

形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力.考查學生分類討論、數形結合的數學思

想方法.

6.⑴喑“；

第11頁共37頁

⑵存在，滿足要求的N點坐標有（孚,12：石］,（3A/5,3）,卜噂F\臚.

【分析】（1）根據二次函數圖象的與坐標軸交點的計算方法，分別求出AB,C的坐標，

根據題意，可證AAOCSACOD,可得OC?=0402）,由此即可求解；

（2）根據題意，運用勾股定理求出。C,DB,3C的值，可得△D3C是等腰三角形，結合

圖形，分類討論：①如圖所示，KMN、DCB,可證ACKNSACOB,即可求解；②如圖

所示，AMCN沿QBC,根據平行線，等腰三角形的性質即可求解；③如圖所示，

△CMN'DBC,運用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：令x=0,則y=3,

AC（0,3）,

OC=3.

令y=。，則一1尤2+J_X+3=O,

84

解得玉=-4,無2=6,

A（T,O）,3（6,0）,

?*.0A=4,OB=6.

VCD1AC,

???ZACD=9Q0,

CO.LAD,

??△AOCSACOD,

.OAoc

即OC2=OAOD,

…ocOD

???32^4OD,

9

（90=-,

4

???小；

（2）解：存在，理由如下，

VB（6,0）,C（0,3）,DR。,

CD=/|"|+3?=?，BC=yj62+32=375>則08_0。=6_：=*

第12頁共37頁

:.DC=DB,

，ZDCB=ZDBC.

①如圖所示，ACMN'DCB,MN交y軸于K,

/O\DB^X

貝，

ljCM=CN=OC=OB="MN=BC=3也,NCMN=NCNM=NDBC=NDCB,

4

???MN//AB,

,?.MV_Ly軸，

:?/CKN=/COB=90。，MK=NK=-MN=—,

22

:?ACKNSJZOB,

.KNOB

CKOC

?“3A/5

4

OK=OC+CK=^3石,

4

...N尸弋斗

②如圖所示，AMCN^ADBC

/o\DSV*

則CN=CB=36，ZMCN=/DBC,

CN//AB,

N卜底3）；

③如圖所示，ACMN%DBC

第13頁共37頁

則NCMN=ZDBC=ZDCB,CM=CN=DC=DB=—,MN=BC=38

：.MN//CD,

作軸于H,則必=%="=1,

COOBCB4

：.CR=—,RM=—,

42

???OR=CO-CR=3-^~,

4

作MQ〃y軸，NQ_LMQ于點Q,貝IjNM/Q=ZDCO,ZNQM=ZDOC=90°,

：.公CODs^MQN,

.MQCO_4

??NQ~DO~39

???在RtZXMQN中，MQ2+NQ2=MN2,

412J539J5

MQ=-MN=^-,NQ=-MN=^~,

:?NQ—RM=^~,OR+MQ=60±3點,

1020

.入/3A/560+33斯'

I1020J

/發、"口曲+%人…皿-右12+36]伍仁A(3君60+336)

綜上所述，滿足要求的N點坐標有1,,(3,5,3),[--—,—.

【點睛】本題主要考查了二函數圖象的性質，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質，

全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，掌握以上知識的綜合運用，

圖形結合分析，分類討論思想是解題的關鍵.

7.(1)y=x2-2x—3；(2)(1,-2)；(3)(1,-指)或(1,&)或(1,-1)或(1,

0)

【分析】(1)根據點A、B、C的坐標，利用待定系數法求解拋物線的函數解析式即可；

(2)因為AC為定值，要使AHC的周長最小，只需PA+PC最小即可，根據拋物線的對稱

第14頁共37頁

性，連接BC交/于點P,此時PA+PC最小為BC的長，由點B、C坐標求出直線BC的函

數解析式，利用二次函數的性質和一次函數圖像上的點的坐標特征即可求得點P坐標；

(3)設點M(1,m),分AM=AC、AM=MC、AC=MC三種情況討論求解即可.

【詳解】解：⑴將點A(-L0),3(3,0),C(0,-3)代入y=奴2+"+°(〃。0)中,

a-b+c=0a=1

解得：\b=-2,

得：＜9。+3/?+。=0,

c=-3c=-3

???拋物線的函數關系式為尸尤2-2尤-3；

(2)因為AC為定值，要使AR4c的周長最小，只需PA+PC最小即可,

連接BC交/于點P,此時PA+PC取得最小值，如圖，

設直線AB的函數解析式為y=kx+t(k±0),

將5(3,0),C(0,-3)代入，

得“\?…>k+t3=0，解得：[k—1

直線BC的函數解析式為y=x-3,

；y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

???拋物線的對稱軸為直線x=l,即點P的橫坐標為1,

將x=l代入y=x-3中，得：y=l-3=-2,

.?.點P坐標為(1,-2)；

(3)設點M(l,m),貝AC?=(0+1)2+(-3-0)2=10,AM2=(1+1)2+(m-0)2=4+m2,

MC2=(l-0)2+(m+3)2=7M2+6/77+10,

第15頁共37頁

分三種情況討論：

①當AM=AC時，有4+-=10,

解得：〃[=-A/6,%=指,

???點M的坐標為（1,-灰）或（1,76）；

②當AM=MC時，有4+機2=機2+6根+10,

解得：m=-1,

.,.點M的坐標為（1,-1）；

③當AC=MC時，有10=m2+6m+10,

解得：=0,m2=-6,

...點M的坐標為（1,0）或（1,-6）,

設直線AC的函數解析式為y=px+q,

將A（-l,0）,C（0,-3）代入，

得：;，解得：2，

國=-3[g=_3

直線AC的函數解析式為y=-3x-3,

當x=l時，y=-3-3=-6,

...點M（1,-6）在直線AC上，即點A、C、M不能組成三角形，

故滿足題意的點M的坐標為（1,-后）或（1,或（1,T）或（1,0）.

【點睛】本題考查了待定系數法求二函數的解析式、求一次函數的解析式、軸對稱中的最短

路徑問題、圖像上點的坐標特征、兩點間的距離公式以及等腰三角形的性質，解答的關鍵是

認真審題,尋找相關聯的信息，利用待定系數法、數形結合和分類討論的思想方法進行推理、

探究和計算.

8.（1）V=f+2,y=Y；（2）。（百,3）；（3）符合條件的點P的坐標為

（-2A/5,0）,（2^,0）,（-4,0）,（-5,0）.

【分析】（1）根據題意，直線過A、B兩點，用待定系數法求出直線解析式，再把B點坐標

帶入y=ax?求出拋物線解析式.

（2）根據題意，先聯立一次函數和二次函數求出交點B、C的坐標，再根據點坐標求△ACO

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和AABO的面積，用它們兩個相減求出A3CO的面積，設。?,產)，用t表示△ADO面積并

且令它等于ABCO的面積，解方程求出t的值，D的坐標就求出來了.

(3)分類討論：①OC=OP,用兩點之間距離公式求出OC,OP就等于OC,P在x軸上，

可以直接寫出P的坐標；

②OC=PC,由等腰三角形三線合一，O、P中點的橫坐標等于C的橫坐標，可以求出P的坐

標；

③OP=PC,作CF，x軸，設OP=PC=a,在RSCPb中利用勾股定理列方程求出a,求出P

的坐標.

【詳解】(1)設直線AB的解析式為了=履+6.

(2k+b-0[k=-\

把A(2,0),8(l,l)代入y=&+6得?'解得，J

[k+b=l,[b=2,

所以直線AB的解析式為y=T+2.

把8(1,1)代入y=依2得。=1,

所以拋物線的解析式為》=/.

[y=—x+2,fx=-2,「尤=L

(2)依題意得’2解得,或,

[y=尤，[y=4[y=i,

即直線y=-x+2與拋物線y=x2的兩個交點的坐標是C(-2,4),3(1,1).

SACOB=^^COA~^AAOB=-x2x4--x2xl=3.

設。?,戶)(”0).

2

v5AA0D=SAC0B,.-.1X2X/=3,解得仁君或一石(舍去)，；.。(63).

⑶OC=^22+42=275-

①當OC=OP=2如時，弓(-2方,0),8(26,0)；

②當OC=PC=2君時，4(-4,0)；

③當OP=PC時，點尸是線段OC的垂直平分線與x軸負半軸的交點.

過點C作CFLx軸于點足設OP=PC=a.

在RtACPF中，CP?=CF2+PF2,

第17頁共37頁

-：CF=4,PF=a-2,a2=42+(a-2)2,解得a=5,...舄(-5,0)

綜上所述，符合條件的點P的坐標為(-26,0),(2逐,0),(-4,0),(-5,0).

【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，平面直角坐標系中三角形面積問題，等腰三

角形的存在性問題，關鍵在于要熟悉平面直角坐標系中三角形面積的求法，以及能夠利用數

形結合的方法對等腰三角形的存在性進行分類討論.

9.(1)y=x2-4x-5(2)y=-x-1(3)直線AF上存在點P(0,-1)或(0,-1)使ACFP

是直角三角形

【詳解】解：⑴在y=x2-bx-5中令x=0,得y=5,|OC|=5.

V|OC|：|OA|=5：1,A|OA|=1..'.A(-1,0).

把A(-1,0)代入y=x2-bx-5得(-1)2+b-5=0,解得b=4.

二拋物線的解析式為y=x2-4x-5.

(2)；y=x2-4x-5=(x-2)2-9,...拋物線的對稱軸為x=2.

???點C與點F關于對稱軸對稱，C(0,-5)AF(4,-5).

設直線AF的解析式為y=kx+b,

把F(4,-5),A(-1,0),代入y=kx+b,得

4k+b=-5k=-1

{八，解得k「‘直線FA的解析式為y=-x-l.

-k+b=。b=-1

(3)存在.理由如下：

①當NFCP=90。時，點P與點E重合，

???點E是直線y=-x-1與y軸的交點，...E(0,-1).：.P(0,-1).

②當CF是斜邊時，過點C作CP_LAF于點P.

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設P(XI,-Xi-1),

ZECF=90°,E(0,-1),C(0,-5),F(4,-5),

；.CE=CF.；.EP=PF..\CP=PF.

點P在拋物線的對稱軸上.，xi=2.

把xi=2代入y=-xT,得y=-3....P(2,-3).

綜上所述，直線AF上存在點P(0,-1)或(0,-1)使ACFP是直角三角形.

(1)根據拋物線解析式求出OC的長度，再根據比例求出OA的長度，從而得到點A的坐

標，然后把點A的坐標代入拋物線解析式計算求出b,即可得到拋物線解析式.

(2)由y=x2-4x-5=(x-2)2-9可得對稱軸為x=2,根據點C、F關于對稱軸對稱可得

點F的坐標，然后利用待定系數法求直線函數解析式求解即可.

(3)分①點P與點E重合和②CF是斜邊兩種情況討論即可.

332

10.(1)二次函數的解析式為了=-1￡-5尤+6；(2)當x=-§時，A4DE的面積取得最大

值g；(3)尸點的坐標為(-L1),(-1,±V1T),(-1,-2±719).

【詳解】分析：(1)把已知點坐標代入函數解析式，得出方程組求解即可；

(2)根據函數解析式設出點。坐標，過點。作OGLc軸，交AE于點孔表示

△ADE的面積，運用二次函數分析最值即可；

(3)設出點P坐標，分*PE,PA=AE,PE=AE三種情況討論分析即可.

詳解：(1)二?二次函數尸QN+H+C經過點A(-4,0)、B(2,0),C(0,6),

16a-4b+c=0

?，?<4。+2b+c=0,

c=6

第19頁共37頁

3

a=—

4

3

解得：心=-J，

c=6

33

所以二次函數的解析式為：y=--x2--x+6；

(2)由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直線解析式為尸-g尤-2,

過點D作DNLx軸，交AE于點F,交x軸于點G,過點E作EH1DF,垂足為H,

如圖，

則點尸(加，-g機-2),

3313

DF=—m2—m+6-(—m—2)=—m2—m+8,

4224

***SAADE^AADF^-SAEDF=—x_DFxAG+—DF義EH

22

二—x￡)FxAG+—xDFxEH

22

=—x4xZ)F

2

3

=2x(——m9-m+8)

4

_%+"翌

233

???當機=-：2時，△A。石的面積取得最大值為手50.

33

(3)y二—二/一7%+6的對稱軸為x=-1,設P(-1,幾),又E(0,-2),A

42

(-4,0),可求B4=J9+*,PE=Ji+(幾+2)2,AE1二J16+4=26，分三種情況

第20頁共37頁

討論：

當出=PE時，j9+〃2=Ji+5+2）2,解得：〃=1,此時P（-l,1）；

當B4=AE時，,9+/=J16+4=2口,解得："=土而，此時點P坐標為（-1,

土而）；

當PE=AE時，71+（?+2）2=A/16+4=2^/5,解得：n=-2土屈,此時點尸坐標

為：（-1,-2±V19）.

綜上所述：P點的坐標為：（-1,1）,（-1,±41）,（-1,-2±V19）.

點睛：本題主要考查二次函數的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數分

析三角形面積的最大值,會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題

的關鍵.

11.（1）y=x2-2x-3；（2）點P（l,-4）或（-2,5）

【分析】⑴把點A（TO）和點。（0,-3）代入拋物線＞進行求解即可；

（2）由（1）易得點B的坐標為（3,0）,然后可設點P（a,"-2a-3）,進而根據題意可分當

/PCB=90。時和當/PBC=90。時兩種情況，最后根據勾股定理及兩點距離公式進行求解即可.

【詳解】解：（1）把點4（-1,0）和點。（0,-3）代入拋物線y=/+bx+c可得：

[l-Z?+c=0fZ?=-2

.，解得：“

[c=-3[c=-3

二拋物線解析式為尸/-女-3；

（2）由（1）可得拋物線解析式為：y=x2-2.r-3,

二當y=0時，貝!）有0=無。—2元—3,解得：%=—1,%=3,

.?.點B（3,0）,

設點P（a,"2_2a-3）,

當ABCP是以BC為直角邊的直角三角形時，可分：

①當/PCB=90。時，由勾股定理8。?+PC?=尸/及兩點距離公式可得:

18+a~+-2a）=（a-3）+（6T-2a-3）~,

第21頁共37頁

解得：at=l,a2=Q(不符合題意，舍去),

.?.點P(I)；

②當NPBC