2025年中考數學復習難題速遞之因式分解（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025春?南崗區校級月考）已知三角形的三邊長〃、b、。滿足〃2一就=碇一反，則此三角形的形狀為

()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.不等邊三角形D.直角三角形

2.（2025?廬江縣模擬）若〃=4+。，次?=3,貝IJ-浸什2/廿一的值為（）

A.-48B.-12C.-36D.12

3.（2025?花山區校級一模）如果2是"2-版+2的一個因式，則2〃-匕的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

4.（2024秋?龍口市期末）小穎利用兩種不同的方法計算下面圖形的面積，并據此寫出了一個因式分解的

A.=(。+。)(a+b)

B.〃2+3〃/?+2Z?2=(a+2Z?)(a+Z?)

C.a2-b2=(a+b)(a-b)

D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)

5.（2025?宿豫區一模）若孫=-3,x-y=5,貝！J的值是(

A.15B.-15C.2D.-8

6.（2025春?雙流區校級月考）若x,y滿足/+/-孫=1,則（)

A.x+y<V2B.-2C.W+JwiD.x2+y2^l

7.(2024秋?潮陽區期末)已知a=2023x+2022,Z>=2023%+2023,c=2023x+2024,貝!J?2+/?2+c2-ab-ac

-be的值是（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2024秋?東營期末）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a-b,x-y,

x+y,a+b,x2-/,/一廿分別對應下列六個字：林、愛、我、桂、游、美，現將（/一/）〃2_（/

-?）必因式分解，結果呈現的密碼信息可能是（）

A.我愛美B.桂林游C.我愛桂林D.美我桂林

9.（2024秋?衡山縣期末）用圖1中的正方形和長方形紙片可拼成圖2所示的正方形，此拼圖過程可以說

明一個多項式的因式分解，正確的是（）

L)

a

圖2

A.cr-2〃+1=(a-1)B./+2〃+1=(Q+1)

C.(〃+1)=a+2。+1D.CT-1=(〃+1)(。-1)

10.（2025?科爾沁區校級開學）小李是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條明碼信息：a

-1,m-n,5,m2+l,a,〃+l,m+n分別依次對應七個字：之，橋，天，中，眼，空，國，現將5m

（a2-1）-5n（?2-1）因式分解，結果呈現的密碼信息可能是（）

A.天空之橋B.中國天眼C.中國天空天眼之橋

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?浦口區校級月考）己知a=2025x+2024,6=2025元+2025,c=2025x+2026,貝!I一仍

-ac-bc=

12.（2025?湖南模擬）若/+2x-2=0,則.占假日機二.

13.（2025春?九龍坡區校級月考）對于任意一個四位數切，若它的個位數字不為0,且滿足千位數字與個

位數字的差等于百位數字與十位數字的差，則稱這個四位數根為“順利數”.將“順利數”機的千位數

字與個位數字交換，百位數字與十位數字交換得初，并記尸（加）=里薩.例如：4512不是“順利數”,

因為1#0,4-2X5-1；56為是“順利數”,因為1#0,5-1=6-2,則為(5621)

A、2都為“順利數”，記A的千位數字與個位數字分別為尤、y,B的千位數字與個位數字分別為“、b

（其中lWy＜尤W9,iWa、b49,尤、y、a、b均為整數）.若尸（A）能被8整除，F（A）+F（8）=

5x+15y+15a-Ub+ab,則尸（B）所有可能的值的和為.

14.（2025春?九龍坡區校級月考）對于任意一個四位正整數若M各個數位上的數字都不為0,且千

位與個位數字之和等于百位與十位數字之和，那么稱這個四位數為“等和數”.例如：6172,因為6+2

=1+7,所以6172是“等和數”.將一個“等和數”/的千位數字與個位數字對調，百位數字與十位數

字對調后得到一個新的四位數字Ml,記/（M）=書普/列如：F（6172）=%督丑=8.設“等和數”

M=麗，則尸(M)=(用含。，1的代數式表示)；若S是一個“等和數”，且滿足S-

2F(S)能被11整除，則滿足條件的所有S中，S的最小值是.

15.(2025?鄭州一模)分解因式/一°=；若0是整數，則a一定能被整數上整

除，整數上的最大值是.

三.解答題(共5小題)

16.(2025春?沛縣月考)已知2/2和2”是兩個連續的偶數，它們的平方差一定是4的倍數嗎？為什么？

17.(2025春?市南區校級月考)(1)如圖1,是一個長和寬分別為偌，〃的長方形紙片，如果它的長和寬

分別增加a,b,所得如圖2長方形，用不同的方法表示這個長方形的面積，得到的等式為(優+a)(〃+b)

(2)①如圖3,是幾個正方形和長方形拼成的一個邊長為a+b+c的大正方形，用不同的方法表示這個

大正方形的面積，得到的等式為(a+6+c)2=；

②己知a+b+c=15,/+必+°2=77,利用①中所得到的等式，求代數式油+介+收的值.

(3)如圖4,是用2個正方體和6個長方體拼成的一個棱長為a+b的大正方體，通過用不同的方法表

示這個大正方體的體積，求當a+b=6,而=4時，代數式/+/的值.

18.(2025春?禪城區校級月考)仔細閱讀下面的例題，解答問題：

例：已知二次三項式7-有一個因式是x+3,求另一個因式以及根的值.

解：設另一個因式為x+〃，得，x2-4x+m=(x+3)(尤+w),

貝Ijx2-4x+優=/+(w+3)x+3n,

.fn+3=-4Anxnrn=-7

9km=3n'tm=-21"

另一個因式為x-7,機的值為-21.

仿照以上方法解答問題：

(1)已知二次三項式2/-5x+2上有一個因式是2x+3,求另一個因式以及女的值;

(2)若二次三項式/-5x+6可分解為(x-2)(x+〃)，求4的值；

(3)若二次三項式2/+析-5可分解為(2x-l)(x+5),求〃的值.

19.(2025?永年區模擬)甲、乙兩人做數字游戲，甲每次選擇一個正整數小然后乙根據〃的值計算代數

式七=n3-n的值.

(1)填空：

3

@P2=2-2=1X2X3=；

@P3=33—3=2x3x4=；

③P5=53-5=4x5x6=.

(2)求證：/-〃總能被6整除.

20.(2025春?雁塔區校級月考)閱讀下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分

項數多于3的多項式只單純用上述方法就無法分解，如/-2xy+y2-16,我們細心觀察就會發現，前三

項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結合再運用平方差公式進行分解.過程如下：?-2打+/

-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-y-4),這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種分組的思

想方法解決問題：

已知a,b,c為△ABC的三邊，Kc^-b2-ac+bc=0,試判斷△ABC的形狀，并說明理由.

2025年中考數學復習難題速遞之因式分解（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案AABBABDCBA

選擇題（共10小題）

1.（2025春?南崗區校級月考）已知三角形的三邊長a、b、c滿足J-ab=ac-be,則此三角形的形狀為

（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.不等邊三角形D.直角三角形

【考點】因式分解的應用.

【專題】應用題；應用意識.

【答案】A

【分析】根據題意，將已知的式子進行因式分解，即aQ-6）-c（a-b）=0,得（a-c）（a-b）

=0,據此可得。=。或“=從因此三角形的形狀為等腰三角形.

【解答】解：因為a2-ab=ac-be,

所以〃（q-Z?）=c（a-/?）,

即a（a-Z?）-c（a-b）=0,

得（a-c）（a-b）=0,

所以a-c=0或a-b=0,

a--c或i

答：三角形的形狀為等腰三角形.

故選：A.

【點評】本題考查了因式分解的應用，解決本題的關鍵是將已知式子進行因式分解.

2.（2025?廬江縣模擬）若a=4+b,ab=3,貝！J-1出?/必一的值為（）

A.-48B.-12C.-36D.12

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】A

【分析】對上面式子進行因式分解得-ab（a-6）2,因為。6=3,a=4+b,可得a-6=4,把a6=3,

a-b=4,代入，即可求的答案.

【解答】解：：a=4+b,

.".a-6=4,

-cPb+lcrb2-abi=-ab（a2-2ab+b2）=-ab（a-b）2

把a-b=4,ab=3代入-ab（a-b）2=-3X16=-48,

故選：A.

【點評】本題主要考查了因式分解在代數式求值中的應用.通過對多項式進行因式分解，將其轉化為含

有已知條件的形式，再代入求值，這種方法在代數運算中較為常用.關鍵在于熟練掌握因式分解的方法

（如提取公因式、運用公式法等）以及對已知條件的合理變形和運用.它能有效鍛煉學生的代數變形能

力和整體代入的數學思想.

3.（2025?花山區校級一模）如果x-2是辦2_灰+2的一個因式，則2a-b的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【考點】因式分解的意義.

【專題】整式；運算能力.

【答案】B

【分析】根據題意可知x=2是方程a?-云+2=0的一個根，然后代入解題即可.

【解答】解：由條件可知當x=2時，ax2-bx+2=4a-26+2=0,

解得：2a-b=-1,

故選：B.

【點評】本題考查因式分解，熟練掌握該知識點是關鍵.

4.（2024秋?龍口市期末）小穎利用兩種不同的方法計算下面圖形的面積，并據此寫出了一個因式分解的

等式，此等式是（）

abb

bba

A.cT+2ab+b2=(a+b)(a+6)

B.cr+3ab+2b2—(a+2b)(a+b)

C.a2-b2—(a+b)(a-b)

D.2d+3ab+b-=(2a+b)(.a+b)

【考點】因式分解的應用；多項式乘多項式；完全平方公式的幾何背景；平方差公式的幾何背景；因式

分解的意義.

【專題】因式分解；幾何直觀；推理能力.

【答案】B

【分析】用兩種方法表示大長方形的面積即可得出答案.

【解答】解：根據題圖可得大長方形是由2個邊長為6的正方形，3個長為6寬為“的長方形和1個邊

長為。的正方形組成，

大長方形的面積為/+3浦+2房，

另外大長方形可以看作一般長為(。+26)寬為(a+6)的長方形組成，

...大長方形的面積為(a+26)(o+Z?),

可以得到一個因式分解的等式為次+3°6+262=(a+26)(a+6),故8正確.

故選：B.

【點評】本題主要考查了用圖形法進行因式分解，解題的關鍵是數形結合，用兩種方法表示大長方形的

面積.

5.(2025?宿豫區一模)若孫=-3,無-y=5,則孫2_的值是()

A.15B.-15C.2D.-8

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】A

【分析】先把原式提公因式分解因式，再整體代入進行計算即可.

【解答】解：,孫=-3,尤-y=5,

.".xy2-j?y—xy(y-x)—~xy(x-y)=3X5=15.

故選：A.

【點評】本題考查的是提公因式分解因式，因式分解的應用，求解代數式的值，掌握“整體代入進行求

值”是解本題的關鍵.

6.(2025春?雙流區校級月考)若x,y滿足/+/-孫=1,貝|()

A.x+y<V2B.尤+y2-2C.W+pWlD.

【考點】因式分解的應用；非負數的性質：偶次方.

【專題】因式分解；運算能力.

【答案】B

【分析】由（尤-y）220（僅當x=y時，取"=可得W+fNlx〉（七護TNxy；x,y滿足彳之+72

2

-xy=l,可得孫=/+/-1,孫=（弋T,進而可計算出x+y和/+/的取值范圍.

【解答】解：：（尤-y）2對（僅當x=y時，取"=”），

.*.x2+y2^2xy,

7+2孫+/24孫，

x2+2xy+y2x+y

?*------------=（~^）2*，

qz

,.*x2+y2-xy=l,

2

.??孫=/+y2-1,xy=（計會——

.*.x2+y2^2xy=2Cx^+y2-1）,解得：0WW+/W2,

2

（竽）2?孫=（飛T,即（x+y）2?4,解得：-2Wx+yW2,

綜上，符合題意的選項為艮

故選：B.

【點評】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的計算是解本題的關鍵，綜合性較強，難度適

中.

7.（2024秋?潮陽區期末）已知a=2023x+2022,6=2023尤+2023,c=2023%+2024,貝|/+房+°2--“0

-be的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】D

1

【分析】先根據已知條件，求出。-6,。-c和6-c的值，然后把所求代數式寫成號［2（a2+b2+c2-

ab-ac-%）］的形式，再利用完全平方公式進行分解因式，然后把a-6,a-c和6-c的值整體代入，

進行計算即可.

【解答】解：：a=2023尤+2022,6=2023x+2023,c=2023x+2024,

：.a-b=(2023^+2022)-(2023x+2023)

2023x+2022-2023%-2023

=-1,

a-c=(2023x+2022)-(2023x+2024)

=2023x+2022-2023%-2024

=-2,

b-c=(2023x+2023)-(2023x+2024)

=2023x+2023-2023x-2024

=-1,

(22+/?2+C2-ab-ac-be

—?[2(a2+b2+c2—ab—ac—be)]

i

—2(2。2+2b2+2c2—2ab—2.etc-2bc)

i

=2【(a?-2ab+Z)2)+(a2-2ac+c2)+(Z?2—2bc+c2)]

i

=][(a—b)2+(a—c)2+(力-c)2]

=1[(-l)2+(-2)2+(-l)2]

=1x(1+4+1)

=3x6

=3,

故選：D.

【點評】本題主要考查了分解因式的應用，解題關鍵是熟練掌握把多項式進行分解因式.

8.(2024秋?東營期末)小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a-b,x-y,

x+y,a+b,d分別對應下列六個字：林、愛、我、桂、游、美，現將(/-/)(%2

-/)啟因式分解，結果呈現的密碼信息可能是()

A.我愛美B.桂林游C.我愛桂林D.美我桂林

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】C

【分析】將所給整式利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解，再與所給的整式與對應的漢字比較,

即可得解.

【解答】解：原式=(?-?)@

=(x+y)(x-j)(a+b)Ca-b),

.?.結果呈現的密碼信息可能是：我愛桂林，

故選：C.

【點評】本題主要考查因式分解，掌握提取公因式和公式法分解因式是解題的關鍵.

9.(2024秋?衡山縣期末)用圖1中的正方形和長方形紙片可拼成圖2所示的正方形，此拼圖過程可以說

明一個多項式的因式分解，正確的是()

1

L》

a

1a

圖1圖2

A.a2-2a+l=(a-1)2B./+2。+1=(a+1)~

C.(ci+1)~=02+2(1+1D.a2-1—(a+1)(a-1)

【考點】因式分解的應用.

【專題】因式分解；運算能力.

【答案】B

【分析】觀察圖1和圖2,根據面積公式列出關系式即可.

【解答】解：根據題意得：/+2°+1=(a+l)2.

故選：B.

【點評】此題考查了因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

10.(2025?科爾沁區校級開學)小李是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條明碼信息：a

-1,m-n,5,〃，+],a,a+\,m+n分別依次對應七個字：之，橋，天，中，眼，空，國，現將5m

(/-1)-5w(/_1)因式分解，結果呈現的密碼信息可能是()

A.天空之橋B.中國天眼C.中國天空D.天眼之橋

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】A

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式繼續分解即可.

【解答】解：原式=(5m-5w)(/_1)

=5(.m-n)(。+1)(ci-1),

結果呈現的密碼信息可能是“天空之橋”，

故選：A.

【點評】本題考查了因式分解.熟練掌握因式分解的方法是關鍵.

—.填空題(共5小題)

11.(2025春?浦口區校級月考)已知a=2025x+2024,b=2025x+2025,c=2025x+2026,貝!J。2+.+。2一”萬

-ac-bc=3.

【考點】因式分解的應用.

【專題】應用題；應用意識.

【答案】3.

【分析】根據題意，因為?2+/?2+c2-ab-ac-be—*[(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]；將a-0、b-c>c

-〃代入計算即可.

【解答】解：6Z2+Z?24-C2-ab-ac-be

=2[(a—b)2+(b—c)?+(a—c)2]；

a—2025x+2024,b—2025x+2025,c=2025x+2026,

a-b=(2025x+2024)-(2025x+2025)=-1,

b-c=(2025x+2025)-(2025x+2026)=-1,

c-a=(2025x+2026)-(2025x+2024)=2,

將這些值代入恒等式中：dt2+/?2+c2-ab-ac-be

=][(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]

=1X[(-1)2+(-1)2+22]

=/x6

=3.

因止匕，a2+b2+c2-ab-ac-bc=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了因式分解的應用，解決本題的關鍵是?2+Z?2+c2-ab-ac-be-1[(a-b)2+(/?-

c)2+(a-c)2].

12.(2025?湖南模擬)若/+2x-2=0,貝U￥+2/+4尤+6=^.

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】10.

【分析】由/+2彳-2=0,得出d+2x=2,然后將代數式/+2x=2,再整體代入x2(x2+2x)+4x+6,進

一步求得答案即可.

【解答】解：由題意可得：/+2x=2,

原式=/(X2+2X)+4.r+6

—2X2+4X+6

=2(/+2x)+6

=4+6

=10.

故答案為：10.

【點評】此題考查因式分解的實際運用，把X2+2X作為一個整體，將所求代數式變形為/(/+2x)+4X+6

是解決問題的關鍵.

13.(2025春?九龍坡區校級月考)對于任意一個四位數加，若它的個位數字不為0,且滿足千位數字與個

位數字的差等于百位數字與十位數字的差，則稱這個四位數機為“順利數”.將“順利數”機的千位數

字與個位數字交換，百位數字與十位數字交換得初，并記?(小)=*L例如：4512不是“順利數”,

因為1W0,4-2X5-1；5621是“順利數”，因為1/0,5-1=6-2,則尸(5621)=44.若A、

B都為“順利數”，記A的千位數字與個位數字分別為x、y,8的千位數字與個位數字分別為a、b(其

中iWa、bW9,x、y、a、6均為整數).若F(A)能被8整除，F(A)+F(B)=5x+15y+15a

-12b+ab,則F(B)所有可能的值的和為-22.

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】44；-22.

【分析】對于F(5621),直接根據新定義求解即可；對于F(B)：先根據題意，得出F(A)=11(x

-y),F(B)=11(a-b),再將尸(A)+F(B)=5尤+15y+15a-12b+ab化簡，根據尸(A)能被8整

除，得出x和y的值，最后進行分類討論，即可求解.

【解答】解：F(5621)=56251265=4生

設A的百位數為相，十位數為小

則A=1000x+100m+1On+y,

，A'=1000y+100〃+1Om+x,

A-A1=1000x+100m+1On+y-(1000y+100〃+1Om+x)

999(x-y)+90(m-n),

TA為“順利數”,

.*.x-y—m-n,

：.A-A'=1089(x-y),

._10890一y)_、

.?F(i4)—gg-11Q-J7)，

同理可得：F(B)=11(a-b),

：.F(A)+F(B)=5x+15y+15a-Ub^ab,

整理得：6x-26y=4〃-b+ab,

VF(A)能被8整除，x、y均為非0整數,

??x-y=8,

，x=9,y=L

.*.6X9-26X1=4(7-/?+^,整理得：4。-/?+仍=28,

???(a-1)(b+4)=24,

???』、bW9,a、。均為整數,

：.0<a~1^8,4V6+4W13

(“-1)(Z?+4)=24=2X12=4X6=6X4=3X8,

???G；4：L解得憶看此時尸⑻=11QS=-55,

解得CM，此時F⑶=11QS=33,

解得的;(不合題意，舍去)，

＜；：：8解得憶:，此時“8)=11(?-.)=0,

，所有尸(B)的可能值的和為-22,

故答案為：44；-22.

【點評】本題以新定義為背景，考查了整式的運算，因式分解，解題的關鍵是正確理解題意，明確題目

所給“順利數”的定義.

14.(2025春?九龍坡區校級月考)對于任意一個四位正整數若M各個數位上的數字都不為0,且千

位與個位數字之和等于百位與十位數字之和，那么稱這個四位數為“等和數”.例如：6172,因為6+2

=1+7,所以6172是“等和數”.將一個“等和數”M的千位數字與個位數字對調，百位數字與十位數

字對調后得到一個新的四位數字Mi,記F(M)=需1.例如：F(6172)=絲制生=8.設“等和數”

M=高而，則/(M)=a+d(用含a,d的代數式表示)；若S是一個“等和數"，且滿足S-2尸

(S)能被11整除，則滿足條件的所有S中，S的最小值是2198.

【考點】因式分解的應用；列代數式.

【專題】整式；運算能力.

【答案】a+d,2198.

【分析】根據"等和數”和F(M)的定義即可求得F(M)；S=nmjh=1000n+100:+10/+h且

m+h=n+j,則Si=1000/?+100〃+lQ/+"z,然后求得/(S),再代入S-2尸(S)可得9987”+100〃+lQ/-/?,

根據S-2F(S)能被11整除，進而得到Sm+n-j-h能被11整除；由m+h=n+j可得h=n+j-m,然

后代入化簡可得9〃廣藥；要使S最小，千位的機應盡量最小，從1開始嘗試，從而確定小j的值，進

而確定〃、h的值即可解答.

【解答】解：設"等和數"M=abed=1000a+100b+10c+d,Mi=1000i/+100c+10Z?+?,且a+d=

b+c

則F(M)=筆率

_lOOOa+lOOb+lOc+d+lOOOd+lOOc+lOb+a

=1TT1

_1001(a+d)+110(a+d)

=ITTi

llll(a+d)

二~lm

=4+d；

S==lOOChn+100荏+10/+h且機+%=〃4出同理可得：FQS)=h+m,

S-2F(S)=1000m+100n+10/+/z-2(h+m)

=998m+100n+10/-h,

■:S-2F(S)能被11整除，

.998m+100n+10j-h,

11

=90m+9n+j+^-J-\

/.8m+n-j-h能被11整除，

m+fi=n+j,

:?h=n+j-m,

8m+?-j-(n+j-m)=8m+n-j~n-j+m=9m-2j,

要使s最小，千位的"應盡量最小，從1開始嘗試：

當m—1時，

若j=0時，9機-4=9X1-2X0=9,不能被11整除；

若j=l時，9/77-2/=9Xl-2X1=7,不能被11整除；

若j=2時，9/77-2/'=9Xl-2X2=5,不能被11整除；

若j=3時，9m-2j=9Xl-2X3=3,不能被11整除；

若j=4時，9m-2/=9Xl-2X4=1,不能被11整除；

若j=5時，9m-2/=9Xl-2X5=-1,不能被11整除;

若j=6時，9m-2/=9Xl-2X6=-3,不能被11整除;

若j=7時,9m-2/=9X1-2X7=-5,不能被11整除;

若j=8時，9m-2j=9Xl-2X8=-7,不能被11整除;

若j=9時，9m-2/=9Xl-2X9=-9,不能被11整除;

當m=2時，

若j=0時，9/77-2j=9X2-2X0=18,不能被11整除；

若j=l時，9m-2/-=9X2-2X1=16,不能被11整除；

若j=2時，9機-4=9X2-2X2=14,不能被11整除；

若j=3時，9/77-27=9X2-2X3=12,不能被11整除;

若j=4時，9m-2/=9X2-2X4=10,不能被11整除；

若j=5時，9m-2j=9X2-2X5=8,不能被11整除；

若j=6時，9m-2/=9X2-2X6=-6,不能被11整除;

若j=7時，9m-2j=9X2-2X7=4,不能被11整除；

若j=8時，9/77-27=9X2-2X8=2,不能被11整除；

若j=9時，9m-2j=9X2-2X9=0,能被11整除；

此時，m=2,j=9；

m+h=n+j,

,'.2+h—n+9,

要使S最小，〃取最小,BPn=l,h=8,

所以S的最小值為2198.

故答案為:a+d,2198.

【點評】本題主要考查了數的整除性、新定義運算等知識點，理解“等和數”的定義并利用代數式的值

進行相關分類討論是解題的關鍵.

15.(2025?鄭州一模)分解因式a3-a=a(q+l)(。-1)；若a是整數，則a3-a一定能被整數k

整除，整數左的最大值是6.

【考點】因式分解的應用.

【專題】計算題；運算能力.

【答案】a(o+l)(a-1),6.

【分析】首先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可.

【解答］解：_a—a-1)—a(a+1)(a-1),

若。是整數，

則a-1,a,a+1是三個連續的整數，

.,.a(a+1)(G-1)能被土1,±2,±3,±6整除，

???最大的整數是6.

故答案為:a(a+1)Ca~1X6.

【點評】主要考查了分解因式的實際運用，注意兩個連續整數中必有一個是偶數.

三.解答題(共5小題)

16.(2025春?沛縣月考)已知2〃+2和2〃是兩個連續的偶數，它們的平方差一定是4的倍數嗎？為什么？

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；推理能力；應用意識.

【答案】是，證明過程見解析.

【分析】本題需要判斷兩個連續偶數2n+2和2n的平方差是否為4的倍數.可先根據平方差公式次

-b2=(a+b)(a-b)對(2?+2)2-(2?)2進行化簡，再分析化簡結果與4的倍數關系.

【解答】解：根據平方差公式/-必=(a+匕)(a-b),對于(2〃+2)2-(2n)2,其中a=2〃+2,b=

In,

(2w+2)2-(2w)2=(2w+2+2w)(2n+2-2n)=(4n+2)X2=8w+4=4(2n+l),

?.%是整數，

.\2n+l也是整數,

A4(2n+l)是4的倍數.

，兩個連續偶數2〃+2和2〃的平方差一定是4的倍數.

【點評】本題主要考查平方差公式的應用以及倍數的判斷.通過運用平方差公式將兩個連續偶數的平方

差進行化簡，再結合整數的性質來判斷是否為4的倍數，很好地考查了學生對公式的掌握和代數變形能

力.解題關鍵在于準確運用平方差公式進行化簡，同時理解倍數的概念以及整數運算的性質.

17.(2025春?市南區校級月考)(1)如圖1,是一個長和寬分別為機，〃的長方形紙片，如果它的長和寬

分別增加a,b,所得如圖2長方形，用不同的方法表示這個長方形的面積，得到的等式為6"+a)(〃+6)

=mn+mb+na+ab；

(2)①如圖3,是幾個正方形和長方形拼成的一個邊長為a+6+c的大正方形，用不同的方法表示這個

大正方形的面積，得到的等式為(a+6+c)2="2+62+02+2(ab+bc+ac)；

②已知a+6+c=15,aW+c2=77,利用①中所得到的等式，求代數式漏+bc+ac的值.

(3)如圖4,是用2個正方體和6個長方體拼成的一個棱長為a+b的大正方體，通過用不同的方法表

示這個大正方體的體積，求當a+b=6,成=4時，代數式/+/的值.

【考點】因式分解的應用；認識立體圖形；幾何體的表面積；多項式乘多項式；完全平方公式的幾何背

景；完全平方式.

【專題】整式；運算能力.

【答案】(1)mn+mb+na+ab-,(2)①次+啟+02+2(ab+bc+ac)；②ab+bc+ac=74；(3)184.

【分析】(1)由圖形面積的兩種不同表示方法可得等式；

(2)①由圖形面積的兩種不同表示方法可得等式；

②由等式利用代入法即可求解；

(3)由圖形體積的兩種不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解.

【解答】解：(1)大長方形的面積為(優+a)(w+6),

也可表示為四個長方形的面積根小mb,na,出?的和,

(m+?)(〃+Z?)=mn+mb+na+ab,

故答案為：mn+mb+na+ab；

(2)①如圖3,是幾個小正方形和小長方形拼成的一個邊長為〃+A+c的大正方形,

(圖3)

用不同的方法表示這個大正方形的面積，

得至U的等式為(a+b+c)2=〃2+廬+。2+2(ab+bc+ac)；

故答案為：a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

②由條件可知152=77+2(ab+bc+ac),

ab+bc+ac=74；

(3)如圖4,是用2個小正方體和6個小長方體拼成的一個棱長為〃+8的大正方體,

(圖4)

整體上大正方形的體積為(。+6)3,

3223

組成大正方體的2個小正方體和6個小長方體的體積的和為a+3ab+3ab+bf

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

.9.a3+b3

=(a+b)3-301b-3ab2

=(a+b)3-3ab(〃+b)

=256-3X4X6

=184.

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，利用圖形的面積和體積來得到數學公式，關鍵是靈活進

行數形結合來分析.

18.(2025春?禪城區校級月考)仔細閱讀下面的例題，解答問題：

例：已知二次三項式x2-4x+m有一個因式是1+3,求另一個因式以及m的值.

解：設另一個因式為x+幾，得，X2-4x+m=(x+3)(x+n),

則/-4%+加=/+(〃+3)%+3小

：.{n+3=-4,解得

tm=3nIm=—21

...另一個因式為x-7,m的值為-21.

仿照以上方法解答問題：

(1)已知二次三項式2/-5X+24有一個因式是2x+3,求另一個因式以及上的值；

(2)若二次三項式7-5尤+6可分解為(尤-2)(x+a),求a的值；

(3)若二次三項式2?+汝-5可分解為(2x-1)(尤+5),求。的值.

【考點】因式分解的意義；因式分解-十字相乘法等.

【專題】運算能力.

【答案】(1)x-4,-6；

(2)a--3；

(3)6=9.

【分析】(1)設另一個因式為x+f,得2f-5x+2A=(2X+3)(x+t)=2：+⑵+3)無+3f,可知2f+3

5,2k=3t,繼而求出f和左的值及另一個因式.

(2)將(x-2)(x+a)展開，根據所給出的二次三項式即可求出a的值；

(3)(2x-1)(x+5)展開，可得出一次項的系數，繼而即可求出6的值.

【解答】解：(1)設另一個因式為x+f,

貝！］2?-5無+2左=(2x+3)(x+t)=2/+(2t+3)x+3t>

,(2t+3=-5

=3t'

解得K=一，

Ik=-6

.,?另一個因式為％-4,%的值為-6；

(2),.,%2_5%+6可分解為(x-2)(%+〃),

:?/-5x+6=(x-2)(x+a)=f+(〃-2)x-2a,

.U?a-2=-5,

解得a=-3；

(3)?二次三項式2/+加-5可分解為(2x-1)(尤+5),

：.2^+bx-5=(2x-1)(x+5)=2蝗+9無-5,

：.b=9.

【點評】本題考查因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

19.(2025?永年區模擬)甲、乙兩人做數字游戲，甲每次選擇一個正整數%然后乙根據〃的值計算代數

式R=n3-n的值.

(1)填空：

①22=23-2=1X2X3=6；

②P3=33—3=2x3x4=24；

③=53-5=4x5x6=120.

(2)求證：總能被6整除.

【考點】因式分解的應用；代數式求值.

【專題】整式；運算能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)通過代入具體數值(〃=2,3,5),計算左右兩邊的值即可；

(2)利用因式分解/-w=(n-1)n(”+1),根據連續整數性質問題即可得證.

【解答】解：(1)①「2=23—2=1x2x3=6；

②23=33-3=2x3x4=24；

③「5=53—5=4x5x6=120.

故答案為：6,24,120.

32

(2)證明：Pn—n—n-n(n—1)=n(n—l)(n+1),

???〃是正整數，三個數其中至少存在一個偶數，能被2整除，一個能被3整除的數，

：.n(n-1)(n+1)能被6整除.

即/-”總能被6整除.

【點評】本題考查了本題主要考查代數式求值、因式分解以及連續整數的性質.解題關鍵在于理解連續

整數性質.

20.(2025春?雁塔區校級月考)閱讀下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分

項數多于3的多項式只單純用上述方法就無法分解，如/-2孫+y2-i6,我們細心觀察就會發現，前三

項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結合再運用平方差公式進行分解.過程如下：/-2口+F

-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-j-4),這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種分組的思

想方法解決問題：

已知mb,c為AABC的三邊，且/-廿一農+6c=0,試判斷△ABC的形狀，并說明理由.

【考點】因式分解的應用；三角形三邊關系；等腰三角形的判定.

【專題】整式；運算能力.

【答案】AABC是等腰三角形，證明見解析.

【分析】把/-廬-ac+6c=。化為(a-6)(a+b-c)=0,再進一步解答即可.

【解答】解：△ABC是等腰三角形.理由如下：

由條件可知(a+b)(<7-b)-c(a-b)—0,

(a-b)Ca+b-c)=0.

由條件可知a-b=0,即6=a,

.'.△ABC是等腰三角形.

【點評】本題考查了用分組分解法對超過3項的多項式進行因式分解，等腰三角形的定義，合理分組是

解題的關鍵.

考點卡片

1.非負數的性質：偶次方

偶次方具有非負性.

任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為。時，則其中的每一項都必須等于①

2.列代數式

（1）定義：把問題中與數量有關的詞語，用含有數字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數式.

（2）列代數式五點注意：①仔細辨別詞義.列代數式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義.如

“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區分.②分清數量關系.要正確列

代數式，只有分清數量之間的關系.③注意運算順序.列代數式時，一般應在語言敘述的數量關系中，

先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現出先低級運算，要把代數式中代表低級運算的這部分括起

來.④規范書寫格式.列代數時要按要求規范地書寫.像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，

數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號.注意代數式括號的適當運用.⑤正確進行代換.列代數式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

【規律方法】列代數式應該注意的四個問題

1.在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量.

2.要注意書寫的規范性.用字母表示數以后，在含有字母與數字的乘法中，通常將“X”簡寫作“；，或

者省略不寫.

3.在數和表示數的字母乘積中，一般把數寫在字母的前面，這個數若是帶分數要把它化成假分