2025年中考數學總復習《圓的切線的證明及圓中陰影部分面積的計算》專

項測試卷(帶答案)

學校:班級：姓名：考號：

1.如圖，點。在VABC的BC邊上，CD=2BD,頂點A在以CD為直徑的。上，過D作3c

交C4的延長線于點E,交AB于點尸，尸E=".

⑴求證：相是。的切線；

(2)若DE=2,求陰影部分面積.

2.如圖，在VA5C中，AB=AC,以AB為直徑的。分別與BC,AC交于點。，E,過點。

作。尸交AC于點F.

⑴求證：DF是。的切線；

(2)若)。的半徑為8,NCDF=22.5。,求陰影部分的面積.

3.如圖，AB是〈。的直徑，C是BO的中點，過點C作AD的垂線，垂足為點E.

⑴求證：CE是。的切線；

(2)若AD=2CE,0A=3,求陰影部分的面積.

4.如圖，。是VABC的外接圓，為直徑，點。是VABC的內心，連接AQ并延長交。于

點E,過點E作跖//3C交的延長線于點尸.

⑵若：，。的半徑為3,sinZAEC4，求陰影部分的面積(結果用含萬的式子表示).

5.如圖，在Rt^ABC中，?B90?,N3AC的平分線交8C于點。，點E在AC上，以AE為

直徑的。經過點。.

⑵若點尸是劣弧AD的中點，且CE=5,求陰影部分的面積.

6.如圖所示，VABC的頂點A,3在。上，頂點C在。外，邊AC與。相交于點D,N3AC=45,

連接08,OD,已知

⑴求證：直線8C是。的切線.

⑵若線段8與線段A8相交于點E，連接8，

①求證：ABD^DBE；

②若回.鴕=18,求弓形陰影部分的面積.

7.在探究圓的性質中，小明在數學探究課上無意中把一個三角板放在圓中，發現它們

有很多聯系，于是做了下列研究:如圖，在圓中放一個含3。。角的直角三角板W，4=30。,

AB是。。的直徑，然是。的切線，點A為切點，BE與。交于點C,點。是AE的中點，

連接

⑴求證：8是。的切線；

(2)若AB=4,求陰影部分的面積.

8.大圓0和小圓。為同心圓，正六邊形麻為大圓。的內接正六邊形，連接

AC,CE.連接08與AC交于點K,同時小圓0與C4相切于點K.

(1)求證：CE是小圓。的切線.

⑵若0K=g,求陰影部分的面積.(結果用兀表示)

9.如圖，VABC內接于。，A8為直徑，CD平分NACB交。于點D.

⑴過點。作桃〃AS,求證：DE為。的切線；

(2)若AC=6,BC=8,求陰影部分的面積.

10.如圖，。經過Rt^MC的頂點4,B,斜邊A8平分/OAC.

⑴求證：BC是。的切線.

(2)延長。A,BC,相交于點。，若3C=CD=12cm.

①求。的直徑；

②求圖中陰影部分的周長.

H.如圖，VA2C內接于。，A5是的直徑.直線/與。相切于點4,在/上取一點。

使得ZM=OC,線段DC,A8的延長線交于點￡

E

⑴求證：直線DC是：。的切線；

⑵若3c=2,ZG4B=30°,求圖中陰影部分的面積(結果保留%).

12.如圖，ABC內接于，:。，AB是：。的直徑，。的切線PC交助的延長線于點P,OFBC

交AC于點E,交PC于點尸，連接AA

(1)求證：直線AF是。的切線；

(2)若/AOF=30。，AF=2^,求陰影部分的面積.

13.AB是。的直徑，ZABT=45°,AT^AB,BT與。相交于點C.

(2)如圖2,連接AC,過點。作前_LAC分別交AT,AC于點D,E,交AC于點，若A3=20,

求圖中陰影部分的面積.

(2)如圖2,連接BC,延長DA交。于點E,連接E。并延長交BC于點尸，若點尸是8C的

中點，EF=3,求圖中陰影部分的面積.

15.如圖，VABC內接于O,4=60。，點E在直徑池的延長線上，且AE=AE

(2)若AB=3,求陰影部分的面積.

參考答案

1.(1)見解析

⑵秒LL

V742

【分析】(1)連接。A,根據切線的性質得到NE+"6=90。，再根據FE=E4,OA=OC證

ZEAF+ZOAC=90°,即可證明N3AO=90。，即可證明結論；

(2)根據特殊角的三角函數值得到NO4C=NC=30。，求出DC=26,分別求出§啊和S扇開皿

和S?的面積即可得到答案

【詳解】(1)證明：連接0A

FE=FA,OA=OC

.\ZE=ZEAF,ZOCA=ZOAC

ZEAF+ZOAC=90°

ZEAF+ZOAC+ZBAO=180°

「.N5Ao=90。，點A在。上

故A8是。的切線;

（2）解：CD=2BD,CD為。的直徑

:.BD=DO=OC

.-.sinB=^=l

BO2

.-.ZB=30°

:.ZAOB=60°

ZOAC-^-ZC=ZAOBZOAC=ZC

:.ZOAC=ZC=30°

°DE73

..tan/C=--——

DC3

DE=2

DC=2百

令半徑為H

:.R=-DC=y/3

2

S=—DC-DE=—x2^3x2=2^3

KRizDjFcCc22、y

_ruir1_60°%x3—%

扇形。QA-360。-360。一E

過點A作AGJ_DC于點G

3

/.AG=-

2

SAOC=-OC-AG=-xs/3x-=^-

AOC2224

，S=SRIDEC-S扇形0a4-SAOC=■

【點睛】本題主要考查圓的性質，切線的性質，特殊角的三角函數值，以及扇形的面

積公式，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

2.⑴見詳解

⑵16萬一32

【分析】本題考查切線的判定和性質，等腰三角形的性質，扇形的面積公式等知識，

解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分割法求陰影部分的面積，屬于中

考常考題型.

(1)連接。QA。，根據圓周角定理得出“?=90。，再證明OD是VABC的中位線，得出

OD//AC,再證明8，￡(下，即可證明￡＞尸是，。的切線.

(2)根據S陰影=S扇形AOE-SAOE計算即可；

【詳解】(1)證明：連接皿A。.

:AB是。的直徑

.\ZADB=90°

QAB=AC,ZADB=90°

:.BD=CD

AO=BO

/.OD是VABC的中位線

:.OD//AC

DF1AC

:,OD1DF

，「是。的切線.

(2)解：連接OE.

DF±AC,ZCDF=22.5°

ZC=67.5°

AB=AC

:.ZC=ZB=67.5°

ABAC=45°

OA=OE

.\ZAOE=90°

史史---X8X8=16TI-32.

S陰影=S扇形40E-S

AOE3602

3.(1)見解析

99

一(2)—4^—2

【分析】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定及扇形的面積公式，矩形的判定和

性質等知識點，熟練地掌握切線的判定方法是解決本題的關鍵.

(1)連接OC,證明㈤C=ZACO,可得笫〃四，再進一步可得結論;

(2)連接。氏8,證明四邊形是矩形，可得￡(F=EC,再證明可得

ZZMB=ZDBA=45°,可得NOO4=2NDK4=90。，利用S陰影=S扇形皿。人”可得答案.

【詳解】(1)證明：連接OC

OA=OC

:.ZCAO^ZACO

TC是80的中點

BC=DC

:.ZBAC=ZEAC

.\ZEAC=ZACO

:.OC//AE

CE±AD

J.CEVOC

?「oc是。的半徑

，C￡是，。的切線；

(2)解：連接。昆。D,3。,。。交于點方

:.ZADB=90°

二NEDB=90。

QZAEC=ZECO=90°

二?四邊形。石C廠是矩形

DF=EC,ZDFC=90°

J.OCYBD

:.DF=FB

:.DB=2DF=2EC

AD=2CE

:.AD=DB

.\ZDAB=ZDBA=45°

/.ZDOA=2ZDBA=90°

2

90^-x31QQ

???S陰影=S扇i-SQ=F1丁3x3=%_|.

4.(1)見解析

9^/33兀

(2

【分析】(1)連接。E,交BC于點G,根據等腰三角形的性質得到/。/=/困，由。為

VASC的內心，得到NOAE=NG4E,求得比〃AC,根據圓周角定理得到NZACB=90。，求得

ZBGO=90°,根據切線的性質得到NFEO=90。即可；

(2)根據三角函數的定義得到ZA￡C=30。，求得N3AC=2NE4c=60。，再求得

歐=OE.tan6(F=3g,根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】(1)證明：連接OE,交于點G

:.ZOAE^ZOEA

又Q為VA3C的內心

:.ZOAE=ZCAE

:.ZOEA=ZCAE

OE//AC

I.ZBGO=ZBCA

又鉆為。的直徑

.\ZACB=90°

:./BGO=90。

又:BC//EF

:.ZFEO=ZBGO=90°

.?.斯是。的切線；

(2)解：sinZAEC=1

:.ZAEC=30°

...ZABC=ZAEC=30°

又NFEO=NBGO=90。

ZBOE=60°,/EFO=30°

EF=OE-tan60°=3y/3

§陰影部分=^AEFO~S扇形BOE

9733兀

22

【點睛】本題考查了三角形的內切圓與內心，切線的判定，三角函數的定義，圓周角

定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算.正確引出輔助線解決問題是解題的

關鍵.

5.(1)見解析

0、25

⑵丁

【分析】(1)連接8,根據角平分線定義，^ZBAD=ZOAD,可得=得,

得NODC=/B=90。，即得;

(2)連接。尸交AD于H,根據垂徑定理推論得Of旬，AH=DH,根據ZD5=ZAOb,

NDOF=2NDAF,?ZDOF=Z.OAF=ZAOF=ZOFA=60°,ZCOD=ZOAF=60°,得OD=5,

BOD+52°。

根據FAH^ODH(ASA),得S陰影=S扇形的，即得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接

AD是/BAC的平分線

OA=OD

：.ZOAD=ZODA

/.ZODA=ZBAD

/.OD//AB

:.ZODC=ZB=90°

8為半徑

???BC是。的切線；

(2)解：如圖2,連接。尸交AD于”

:.ZOAF=ZOFA

尸是劣弧AD的中點

:.OF±AD,AH=DH,ZDOF=ZAOF

*.*/DOF=2ZDAF,ZOAD=ZDAF

.\ZDOF=ZOAF=ZAOF=ZOFA

ZOAF+ZAOF+ZOFA=180°

:.ZDOF=ZOAF=ZAOF=ZOFA=60°

由(1)知

:.ZCOD=ZOAF=60°

OPOP_1

cos60°=即

OE+CEOD+5~2

解得，8=5；

ZFHA=ZOHD,AH=DH,ZFAH=ZODH

:..FAH嗎OZ)H(ASA)

-SAFAH-S/\ODH

2

60x525萬

「?S陰影二S扇形。OF=-------------71

3606

二陰影部分的面積為今.

【點睛】本題考查圓與三角形綜合.熟練掌握角平分線有關計算，等腰三角形性質，

平行線判定和性質，切線判定和性質，垂徑定理推論等邊三角形判定和性質，圓周角

定理，銳角三角函數定義，全等三角形判定和性質，扇形面積公式，是解題的關鍵.

6.⑴見解析

(2)①見解析;②:兀-：

【分析】(1)根據圓周角定理，可得根據平行線的性質即可求解；

(2)①反㈤是等腰直角三角形，根據相似三角形的判定即可求證；②根據相似三角形

的性質，可得8。=3應，根據一BOD是等腰直角三角形，得04=08=3,根據扇形面積與三

角形面積可得弓形陰影的面積.

【詳解】(1)證明：???44C=45。

I.ZBOD=2ZBAC=9QP

即DOLOB

,/OD//BC

：.OBIBC

直線BC是，。的切線.

(2)解：①證明：

由(1)知，400=90。

,/0B=0D

ZBDE=ZBAD=45°

ZDBE=ZABD

_ABD^_DBE；

②由①知：一AB4_DBE

?ABBD

*?BD~~BE

/.BD2=ABBE

ABBE=1S

BD2=18

/.BD=3A/2

OA=OB=BD=3

2

1199

nBOBOD=

S弓形陰影=S扇形OB°-SOBD=--°^-^-n--.

【點睛】本題主要考查圓與三角形的綜合.熟練掌握圓周角定理，切線的判定，相似

三角形的判定和性質，等腰直角三角形性質，扇形面積公式，三角形面積公式，是解

題的關鍵.

7.⑴見解析

(2)4/一『

【分析】本題考查切線的性質和判定，扇形的計算；掌握切線的判定和性質是解題的

關鍵.

(1)連接。C、OD、AC,由直徑得，ZACE=90°,由切線得ZBAE=90。，可證DC=：,

利用SSS證明△OM^ZkOCD,所以“CD=NOM>=90。，所以CD是;。的切線；

(2)解RtAABE,ZB=90°-ZE=60°,得ZAOC=2/3=120。，根據S陰影=S四邊形*扇形人如求解即可.

【詳解】(1)解：證明：連接OC、OD、AC,如圖

〈AB是。的直徑，AE是?。的切線

ZACE=90°,ZBAE=90°

,點。是AE的中點

DC=-AE=DA

2

又,：OA=OC,OD=OD

aw/AOCD(SSS)

ZOCD=ZOAD=90°

即OC±CD

.?.CO是。的切線；

(2)解：\,在RtAABE中，ZE=30°

/B=60°

ZAOC=120°

/.OA=-AB=2,BE=2AB=8,AD=->jBE2-AB2=273

22

??S四邊形0Aoe=2sA。14p=ADxOA=46

120x1x22=464萬

陰影四邊形

,"S=S0AoeS扇形AOC=，括

3603

8.(1)見解析

(2)12萬-18百

【分析】(1)連接。石，OC,OD,設OD,CE交于H,可證明垂直平分CE,則NO"C=90。，

再由切線的性質得到NOKC=90O=NOAC,進而可證明△OHC絲△OKC,得到O"=OK,據此

可證明結論；

(2)證明OC8是等邊三角形，則可求出OC、03的長，進而求出CK的長，求出以"B

則可求出，六邊形ABCDEF,；^后^艮與居S陰影二S大圓。一S正六邊形ABCDEF即可求出答案.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接OE，g,OD,設ODCE交于H

,「正六邊形ABCDE5為大圓O的內接正六邊形

DE=DC=BC

ZDOC=ZBOC

又「OE=OC

/.OD垂直平分CE

/.zone=90°

;小圓。與CA相切于點K

ZOKC=90°=ZOHC

又「OC=OC

OHC^_OKC(AAS)

：.OH=OK

，點”在小圓。上

又OH±CE

???CE是小圓。的切線；

(2)解：?.?正六邊形ABC。跖為大圓。的內接正六邊形

360°

，ZBOC=——=60°,OB=OC

6

OC3是等邊三角形

?.?小圓。與C4相切于點K

/.CKLOK

OC=OB=2OK=2^/3

.*?CK=^OC1-OK1=3

S.nrK=-OBCK=-x2s/3x3=3j3

**S正六邊彩4Ba)EF=6SAOCB-18A/3

,"S陰影=S大圓o_S正六邊形4BCDEF==12萬一184.

【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓綜合，等邊三角形的性質與判定，全等三角形

的性質與判定，線段垂直平分線的性質與判定，熟知切線的性質與判定定理是解題的

關鍵.

9.(1)證明見解析

(2)史冗-紀

v742

【分析】(1)連接得ZAOD=NBOD,即可得出AO=B。，而ZA8+/BOD=180。，則

ZAOD=ZBOD=90°,DE//AB,得NODE=NBOD=90°,貝ijOE人OD,即可證明DE是C。的切線；

(2)由A3為。的直徑，得ZACB=90。，則4MAe。+g2=10,^\^OD=OA=OB=^AB=5,

根據S陰影-S扇形A。。-SAOD計算即可.

【詳解】(1)證明：連接8

BCD平分/ACB

￡

:.ZACD=NBCD

??AD=BD

ZAOD=/BOD=-ZAOB=1x180°=90°

22

又DE//AB

:.ZODE=ZBOD=90°

.\DE.LOD

又是半徑

「.D石為。的切線.

(2)解：腦為直徑

.-.ZACB=90°,而AC=6,3c=8

AB=A/AC2+BC2=V82+62=10

:.OD=OA=-AB=5

2

ZAOD=9Q°

Ce_907rx5212525

S陰影=S扇形=

【點睛】此題重點考查切線的判定、圓周角定理、勾股定理、三角形的面積公式、扇

形的面積公式等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

10.（1）見解析

⑵①,。的直徑為166cm；②兀+24+8出cm

【分析】（1）連接03,根據三角形的內角和定理得到N3AC+ZABC=90。，根據角平分線

的定義得到=根據等腰三角形的性質得到4^=/。胡，根據切線的判定定

理得到是。的切線；

（2）①根據線段垂直平分線的性質得到旗=仞，求得4AC=/ZMC,得至IJ

ZOAB=ABAC=ADAC=|xl80°=60°,推出VA03是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到

ZAO3=60。，求得NO=30。，根據直角三角形的性質即可得到結論；

②根據直角三角形的性質得到8=2OB=16、/§cm,求得4￡>=0口-04=8、氏111,根據弧長公式

得到AB的長度=然乎="兀（加），于是得到圖中陰影部分的周長的長度

ioU3

+2。+4￡>=￥兀+12+12+84=手兀+24+8.（cm）.

【詳解】（1）證明：連接

ZACB=90°

ZBAC-^-ZABC=90°

9：A3平分/OAC

，ZOAB=ZBAC

OA=OB

，NOAB=NOBA

ZOBA=ZABC

ZOBA+ZABC=90°

:?ZOBC=9Q°

：.OBLBC

〈OB是O的半徑

???5C是)0的切線;

(2)解：(DvACJ.BD,BC=CD

AB=AD

ABAC=ADAC

NOAB=NBAC

ZOAB=ABAC=ADAC=1x180°=60°

3

*/OB=OA

???VA08是等邊三角形

ZAOB=60°

ZOBD=90°

ZD=30。

，08=.tan30。=24x—=8瓜m

3

。的直徑為16gcm；

②ZOBD=90°,ZD=30°

.*?OD=2OB=16V§cm

「?AD=OD-OA=8V§cm

..."的長度二黑譽二”兀（加）

loll3

，圖中陰影部分的周長的長度+8。+4。=卓無+12+12+8省=空兀+24+8同加）.

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定，角平分線的定義，等腰三角形的性

質，直角三角形的性質，弧長的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

IL（1）詳見解析

⑵26T

【分析】（1）連接OC,根據切線的性質得到4M3=90。，根據等腰三角形的性質得到

"CO=ZDAO=90°,于是得到結論；

（2）根據圓周角定理得到NBOC=2ZCAB=60°,根據等邊三角形的性質得至OC=OB=BC=2,

根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】（1）證明：連接”

...直線/與。相切于點A

/.ZZMB=90。

*/DA=DC,OA=OC

/.ZDAC=ZDC4,ZOAC=ZOCA

ZDCA+ZACO=ZDAC+ZCAO

ZDCO=ZDAO=90°

/.OC.LCD

直線。c是，。的切線;

(2)解：*/ZC4B=30°

ZBOC=2ZCAB=60°

,/OC=OB

?*.是等邊三角形

OC=OB=BC=2

CE=tan60°OC=2V3

???圖中陰影部分的面積=sOCE~S扇形COB

」x2x2君-亞友巨=2石-2.

23603

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性

質，扇形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

12.(1)證明過程見解答

(2)陰影部分的面積為186-6萬

【分析】(1)連接。，證明AOF^COF,由全等三角形的性質得出/O”=/Ob=90。，由

切線的判定可得出結論；

(2)由直角三角形的性質求出/4?！?30。，可得出OA=6,求出NAOC=60。，由三角形面

積公式和扇形的面積公式可得出答案.

【詳解】(1)證明：連接oc

,：PC為。的切線

..."CP=90。

?/OFBC

：.NAOF=ZB,NCOF=NOCB

OC=OB

：.NOCB=NB

：.NAOF=NCOF

;在AO尸和CO尸中

OC=OA

<ZAOF=ZCOF

OF=OF

/..AOF^COF(SAS)

NOAF=NOCF=90。

???04為。的半徑

尸為。的切線；

(2)解：在Rt_A"中，/AO尸=30。，A尸=2百

OA=y/3AF=6

ZAOF=ZCOF

：.ZAOC=2ZAOF=60°

在RtOCP中，OC=OA=6

CP=6>Ctan60°=6V3

???陰影部分的面積『℃尸的面積-扇形A"的面積”-霽々=白6><6有-6兀

=18A/3-6TT.

，陰影部分的面積為186兀.

【點睛】本題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，

等腰三角形的性質，解直角三角形，三角形的面積求法，扇形的面積公式，熟練掌握

切線的判定與性質是解本題的關鍵.

13.⑴見解析

(2)2

【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；

(1)根據等腰三角形的性質，三角形內角和定理求出/加?=90。，再根據切線的判定方

法進行解答即可；

(2)根據垂徑定理，平行線的性質以及扇形面積的計算方法進行計算即可.

【詳解】(1)證明：AT=AB

:.ZATB^ZABT^45°

:.ZTAB=180°-45°-45°=90°

即ABVAT

初是。的直徑

二.AT是(。的切線;

(2)解：如圖，連接OC

是。的直徑

:.ZACB=90°

即AC±BT

AC-LOD

，OD//BT

:.ZAOD=ZB=45°

AD=AO=—AB=^2

2

BC=TC,AO=BO

，OC//AT

:.ZCOF=90°-45°=45°

S陰影部分二S梯形QA7C-SAOD-S扇形oc尸

1/r廣、廠\廠廠457rx（及Y

=—x|V2+2V2lxV2——xV2xV2----------———

21>2360

14.(1)見解析

v723

【分析】本題主要考查切線的判定以及扇形面積的計算：

(1)連接OC,證明AD〃OC,得OCLCD即可得結論；

(2)連接OC,證明四邊形A￡OC是平行四邊形，求出ZACD=30。，EF=3,CD=G再