2025年中考數學二輪復習考前預測：四邊形

選擇題（共10小題）

1.（2025?濟南模擬）己知一個多邊形的內角和等于外角和，則這個多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

2.（2025?大渡口區模擬）如圖，在nABCZ）中，AE_LBC于點E,AF_LC￡）于點?若AE=4,4月=6,且

□ABCD的周長為40,貝gABCD的面積為（）

A.24B.36C.40D.48

3.（2025?汕頭模擬）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，ZACD=30°,過點。作。垂足為點E,

則出=（）

AD

A.AB.AC.近D.近

3232

4.（2025?大渡口區模擬）如圖，已知菱形ABCD中，過中點E作EF_L8Q,交對角線8。于點交

BC的延長線于點?連接。R若CF=2,BD=4,則的長是（）

A.4B.4?C.2V7D.5a

5.（2025?江北區模擬）如圖，在正方形ABC。中，點、E為BC邊上一點,BE：CE=1：2,連接AE,將

線段AE繞點E順時針旋轉90°后，點A對應點為點E連接CRDF,則空的值是（）

c

-4D?華

6.（2025?崇明區一模）已知直線/上三點A、B、C,且標卷正，下列說法正確的是（)

A.AB=CBB.BC=BAC.CA=2BCD.CA=2BA

7.（2025?山東模擬）如圖是用正n邊形地磚鋪設小路的局部示意圖，若用4塊正n邊形地磚圍成的中間

區域是一個小正方形，則n的值為（）

8.（2025?山東模擬）如圖，在平行四邊形ABCQ中，點M為邊上一點，AM=2DM,8M平分N4BC,

點、E,尸分別是BM,CM的中點，若EF=3cm,則AB的長為（）

A.5.5cmB.5cmC.4.5cmD.4cm

9.（2025?福田區一模）如圖，在矩形ABC。中，對角線AC與瓦）相交于點。，過點C作CE〃瓦）交AB

的延長線于點E,下列結論不一定正確的是（）

C.是等腰三角形D.BC=yAE

10.（2025?大渡口區模擬）在正方形ABC。中，點尸是CQ上一點，CF=2DF,。尸=4,點E是8c的中

點，點G在AD上，若/GEF=NCEF,則AG的長為（

D.3.5

二.填空題（共5小題）

11.（2025?雁塔區校級一模）如圖，在正方形A8CZ）中，以8C為邊在正方形內作等邊△BCE,則/AE8

12.（2025?佛山一模）如圖1是王先生家的菜圃，圖2是該菜圃的示意圖，該菜圃可看作矩形，點E,F

分別是矩形ABC。的邊CD,AB的中點，兩條平行線AK,CL分別經過菱形EGFH的頂點H,G和邊

FG,即的中點M,N.已知菱形EGfW的面積為6,則陰影部分的面積之和為

圖1

13.（2025?順城區模擬）如圖，在正方形A8C。中，AB=8,E為對角線8。上一動點，F為射線AB上一

點.若EA=EF,則△&￡尸面積的最大值為

14.（2025?碑林區校級一模）如圖，在正方形ABC。中，AB=8?,點E為邊上一點，連接8E,點

G在BE上，以GE為邊作等邊△E/G,點/落在CD上，〃為GF中點，連接CM,則CM的最小值

15.（2025?碑林區校級一模）割補法在我國古代數學著作中稱為“出入相補”.著名的數學著作《九章算

術》已經能十分靈活地應用“出入相補”原理解決平面圖形的面積問題.在《九章算術》中，三角形被

稱為圭田，圭田術日：“半廣以乘正縱”，也就是說三角形的面積等于底的一半乘高，說明三角形的面積

是應用出入相補原理，由長方形面積導出的.如圖中的三角形下盈上虛，以下補上.如果圖中矩形的面

積為20,那么圖中陰影部分的面積是.

16.（2025?濟南模擬）如圖，在口ABC。中，點E,尸分別在ADBC上,且AE=CF,EF,相交于點

O,求證：OE=OF.

17.（2025?永壽縣校級一模）如圖，在矩形A8CZ）中，點M是上一點，連接且BM=BC,CN

18.（2025?安陽模擬）正方形ABC。和正方形AEFG如圖1擺放，且8,A,G三點共線.

(1)正方形A8CD的邊長為a,正方形AEFG的邊長為b,a>b.當a+b=6,"=6時，四邊形8CEG

的面積=;

(2)若正方形AEBG可以繞點A順時針進行旋轉，且旋轉角度小于90°.

①如圖2,連接BE,DG,探究。G,8E的數量關系，并說明理由；

②如圖3,連接。E,BG,在旋轉過程中，若點P為8G的中點，連接AP,試判斷AP和。E的數量關

系，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，若某時刻&ABG=9,請直接寫出△AE。的面積.

19.(2025?雁塔區校級一模)問題探究

(1)如圖1,四邊形ABC。中，AC與3。相交于點O,AC=5,BD=8,ZAOB=60°,求四邊形ABC。

的面積.

問題解決

(2)如圖2,公園里有一片四邊形的花園A8CD,其中48〃。9,48=2&。=2。=40米，NABC=60°.這

片花園有兩條供游客休息的走廊AC、ED,其中E是AB的中點，兩條走廊交匯。處有一涼亭.設計師

需要改造花園，在花園中鋪設一條長為10米的小路MN,其中/、N分別在￡￡)和AC上，再建造一個

四邊形的花卉區BCPQ(P為小路MN的中點，。在BP左上方區域)，為增強觀賞性，BP和CQ需設

計為兩條長度相等的小路.試問這塊四邊形的花卉區BCPQ的面積是否存在最大值？若存在，求其最

大值；若不存在，說明理由.(走廊、小路的寬度忽略不計)

20.(2025?汕頭模擬)綜合與探究

問題情境:

在正方形ABC。中，E是A8邊上的一個動點，連接CE將△BCE沿直線CE翻折，得到CE,點、B

的對應點夕落在正方形A8CD內.

猜想證明:

(1)如圖1,連接8B'并延長，交邊于點R求證：BF=CE.

(2)如圖2,當E是A8邊的中點時，連接AB'并延長，交CD邊于點、H,將沿直線AH翻折,

點。恰好落在直線CE上的點處，A。'交8'E于點H交B'C于點N.試判斷四邊形8,

MD'N的形狀，并說明理由.

問題解決：

(3)在(2)的條件下，若A8=4,請直接寫出四邊形vMD'N的面積.

2025年中考數學二輪復習考前預測：四邊形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?濟南模擬）已知一個多邊形的內角和等于外角和，則這個多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【考點】多邊形內角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】B

【分析】設多邊形的邊數為力，則根據多邊形的內角和公式與多邊形的外角和為360。，列方程解答.

【解答】解：設多邊形的邊數為"，根據題意列方程得，

（n-2）?180°=360°,

n~2^2,

〃=4.

故選：B.

【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，解題的關鍵是利用多邊形的內角和公式并熟悉多邊形的外角

和為360°.

2.（2025?大渡口區模擬）如圖，在nABCD中，AE_L8C于點E,ARLCZ）于點尸.若AE=4,AF=6,且

□的周長為40,貝心ABC。的面積為（）

A.24B.36C.40D.48

【考點】平行四邊形的性質.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】設BC=x,由平行四邊形的周長表示出CD,再根據平行四邊形的面積列式求出x,然后根據

平行四邊形的面積公式列式進而求出尤=12,即可得出結論.

【解答】解：設8C=x,

:四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AD=BC,

；nABCD的周長為40,

：.BC+CD=20,

：.CD=20-x,

于點E,AFLCD于點F,

:aABCD的面積

：.4x=6(20-x),

解得：尤=12,

:eABCD的面積=BUAE=12X4=48.

故選：D.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質以及平行四邊形面積公式，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的

關鍵.

3.(2025?汕頭模擬)如圖，AC為菱形48C。的對角線，ZACD=30°,過點。作。EJ_BC,垂足為點E,

則絲=()

AD

A.AB.AC.返D.近

3232

【考點】菱形的性質；直角三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】B

【分析】根據含30。直角三角形性質求得CE卷CD，由菱形的性質得出即可得出答案.

【解答】解：由題意可知，四邊形ABC。是菱形，

：.CD=AD=CB,且AC平分N8CD,

VZAC￡>=30°,

：.ZBCD=2ZACD=2X30°=60°,

'：DE±BC,

：.ZDEC=90°,

在RtZkCDE中，ZCD￡=30°,

.11

,,CEJC吟AD，

即生」，

AD2

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，關鍵是直角三角形性質的熟練掌握.

4.（2025?大渡口區模擬）如圖，己知菱形ABC。中，過中點E作￡尸，3。，交對角線BD于點跖交

BC的延長線于點F.連接DF,若CF=2,BD=4,則DF的長是（）

A.4B.4%C.2A/7D.5我

【考點】菱形的性質.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】先證明△BCD是等邊三角形，可求出的長，的長，由勾股定理可求解.

【解答】解：設C。與跖的交點為人

:四邊形488是菱形，

:.AD=CD=BC,/ADB=NCDB,

:點E是中點，

：.AE=DE=^AD,

2

在△OEM和△。反M中，

,ZEDM=ZHDM

<DM=DM，

ZEMD=ZDMH=90°

:.叢DEMW叢DHM(ASA),

：.DE=DH,

:?DH=CH,

9：AD//BC,

:?△DEHsACFH,

?DEDH「

CFCH

:?DE=CF=2,

：.AD=4=CD=BCf

：.BF=6,

VBD=4,

:?BC=CD=BD,

???△BCD是等邊三角形，

：.ZDBC=60°,

：.ZBFM=30°,

??.BM=LF=3,MF=4^BM=3M，

2

：.DM=1,

正贏=質元=2后

故選：C.

【點評】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，靈活運

用這些性質解決問題是本題的關鍵.

5.（2025?江北區模擬）如圖，在正方形A3CQ中，點E為8C邊上一點，BE：CE=l：2,連接AE,將

線段AE繞點E順時針旋轉90°后，點A對應點為點F,連接CF、DF,則的值是（）

DF

CEB

DA

A.嚕.B.唔C.逅D.

35

【考點】正方形的性質；旋轉的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；運算能力;

推理能力.

【答案】D

【分析】作FLLCD于點L,FHLBC交BC的延長線于點H,可證明△"EEgZiBAE,則EH=AB=

BC,HF=BE,推導出HC=BE=HR貝I」四邊形CHFL是正方形，所以FL=CL=HF=BE,則DL=CE,

由BE：CE=1：2,得CL：DL=1：2,貝|DL=2CL=2FL,求得CF=42FL,DF=V5FL,則史,

DF5

于是得到問題的答案.

【解答】解：作此JLCQ于點3交的延長線于點H,

???四邊形A8C0是正方形，

AZH=ZB=ZDCB=90°,CD=BC=AB,

??,將線段AE繞點E順時針旋轉90°后，點A對應點為點R

ZAEF=90°,EF=AE,

：.ZHEF=ZBAE=90°-NAEB,

在△”跖和△BAE中，

<ZH=ZB

,NHEF=NBAE，

EF=AE

：.AHEF^/\BAE(A4S),

：.EH=AB,HF=BE,

:?EH=BC,

：.EH-CE=BC-CE,

:?HC=BE,

：.HF=HC,

VZH=ZHCL=ZFLC=90°,

，四邊形CH也是矩形，且HF=HC,

???四邊形CH也是正方形，

：.FL=CL=HF=BE,

：.DL=CD-CL=BC-BE=CE,

9：BE：CE=1：2,

：.CL：DL=1：2,

：.DL=2CL=2FL,

9：ZFLC=ZDLF=90°,

CF=VFL2-*€L2=V2FL>DF={DL2^L2=q(2FL)2+FL2=7^H,

?.---C--F_-V2-F--L-_V---T--O-,

DFV5FL5

故選：D.

【點評】此題重點考查正方形的判定與性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識,

正確地作出輔助線是解題的關鍵.

6.（2025?崇明區一模）已知直線/上三點A、B、C,且標4正，下列說法正確的是（)

2

....————

A.AB=CBB.BC=BAC.CA=2BCD.CA=2BA

【考點】*平面向量.

【答案】D

【分析】根據題意畫出圖形判斷即可.

【解答】解：如圖，

ABC

VAB=^AC?

2

...點8是AC的中點，

,—?

???CA=2BA.

故選：D.

【點評】本題考查平面向量，解題的關鍵是理解題意，正確畫出圖形.

7.（2025?山東模擬）如圖是用正n邊形地磚鋪設小路的局部示意圖，若用4塊正n邊形地磚圍成的中間

區域是一個小正方形，則n的值為（）

正n邊形邊形

正n邊形【正n邊形

A.4B.6C.7D.8

【考點】多邊形內角與外角；平面鑲嵌（密鋪）.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】D

【分析】先求出正“邊形的每個內角的度數，從而可得這個正”邊形的每個外角的度數，再根據多邊形

的外角和等于360°求解即可得.

【解答】解：這個正〃邊形的每個內角的度數為/x（360°-90°）=135°，

所以這個正〃邊形的每個外角的度數為180°-135°=45°,

所以"=360°+45°=8,

故選：D.

【點評】本題考查了正多邊形的內角與外角和、平面鑲嵌，熟練掌握多邊形的外角和等于360°是解題

關鍵.

8.（2025?山東模擬）如圖，在平行四邊形A8CO中，點M為邊AQ上一點，AM=2DM,8M平分/ABC,

點、E,尸分別是BM,CM的中點，若EF=3cm,則AB的長為（）

A.5.5cmB.5cmC.4.5cmD.4cm

【考點】平行四邊形的性質；三角形中位線定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】D

【分析】根據三角形中位線定理和平行四邊形的性質即可得到結論.

【解答】解：：點E,點尸分別是CM中點，

:.EF是ABCM的中位線，

EF—3cm,

BC=2EF=6cm,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD=BC=6cm,

'：AD//BC,

：.ZAMB^ZMBC,

平分/ABC,

ZABM=ZMBC,

：.NAMB=ZABM,

：.AM=AB,

'：AM=2MD,

AM=AB=—AD—4cm,

3

故選：D.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵.

9.（2025?福田區一模）如圖，在矩形ABC。中，對角線AC與30相交于點。，過點C作交AB

的延長線于點E,下列結論不一定正確的是（）

C.△人（?￡是等腰三角形D.BC=^AE

【考點】矩形的性質；等腰三角形的判定.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】由矩形形的性質可得AO=CO=1AC,AC=BD,通過證明四邊形。8EC是平線四邊形，可得

2

BD=CE=AC,得出。B=」CE,是等腰三角形，即可求解.

2

【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

C.AC^BD,B0=D0=l~BD,

2

\'CE//BD,DC//BE,

四邊形DBEC是平行四邊形，

：.CE=BD=AC,

OB=1.CE,

2

...△ACE是等腰三角形,

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定和性質，掌握矩形的對角線相等是解題的關鍵.

10.（2025?大渡口區模擬）在正方形ABC。中，點尸是CD上一點，CF=2DF,DF=4,點E是的中

點，點G在上，若NGEF=/CEF,則AG的長為(

D

F

C

A.2B.2.5C.3D.3.5

【考點】正方形的性質；相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的判定

與性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

【答案】B

【分析】延長所交的延長線于點過點G作GML2C于點先求出正方形的邊長，再證△

DHF^CEF,即可求出的長，設AG=尤，貝!I-AG=12-x,求出GW的長，再證得GE=

GH,再證四邊形為矩形，最后根據勾股定理即可求出x的值.

【解答】解：如圖，延長EE交AO的延長線于點H,過點G作GML8C于點

：.CF=8,

：.CD=Z)E+C尸=4+8=12,

:四邊形A8CD是正方形，

：.AB=BC^AD=CD=12,AD//BC,

:點E是8C的中點,

.?.BE=C￡=XBC=6,

'：AD//BC,

.?.△DHFsCEF,

.PH_DF_1

"CE"CF"2"

???D一H=-1,

62

:?DH=3,

設AG=x,

則0G=A。-AG=12-

JG〃=DG+DH=12-x+3=15-x,

U：AD//BC,

:?/GHE=/CEF,

ZGEF=NCEF,

；?NGEF=NGHE,

：.GH=GE=\5-x,

???四邊形ABCD是正方形，

/.ZA=ZB=90°,

VGM±BC,

：.ZGMB=90°,

AZA=ZB=ZGMB=90°,

??.四邊形A5MG是矩形，

：.BM=AG=x,

：?EM=BE-BM=6-x,GM=AB=\2,

在Rt^GME中，由勾股定理得，GM2=GE2-EM2,

：.122=(15-x)2-(6-x)2,

解得x=2.5,

即AG=2.5,

故選：B.

【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理,

矩形的判定與性質，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

H.（2025?雁塔區校級一模）如圖，在正方形ABC。中，以8C為邊在正方形內作等邊△BCE,則NAEB

【考點】正方形的性質；等邊三角形的性質.

【專題】運算能力.

【答案】75°.

【分析】由正方形的性質及等邊三角形的性質，求得NABE=30：從而由等腰三角形的性質可得NA匹

=ZEAB=75°.

【解答】解：在正方形ABC。中，ZBAD=ZABC=ZADC=ZBCD=90°,AB=BC=CD=DA,

；△BCE是等邊三角形，

:.BC=BE=CE,ZEBC=60°,

：.AB=BE,ZABE=ZABC-ZEBC=30°,

?■?ZAEB=ZEAB^-X（18O0-30°）=75°-

故答案為:75°.

【點評】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和等知識，掌

握這些性質是關鍵.

12.（2025?佛山一模）如圖1是王先生家的菜圃，圖2是該菜圃的示意圖，該菜圃可看作矩形，點E,F

分別是矩形438的邊CDAB的中點，兩條平行線AK,CL分別經過菱形EGPH的頂點X,G和邊

FG,的中點M,N.已知菱形的面積為6,則陰影部分的面積之和為w

圖1

【考點】菱形的性質；矩形的判定與性質；平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質；平行四邊

形的判定與性質.

【專題】推理能力.

【答案】5.

【分析】連接ERGH交于點0,設EF交NG于苴R,交AK于點T,連接AG,先證明四邊形

是矩形，得至IjEfWA。，EF=AD,ZAFE=90°,證明絲△R1M,推出四邊形AFHG為平行四

邊形，推出A,G,E三點共線，且AG=EG,再證明△AGZ^ZkEGR,得到AL=ER,證明四邊形ALRT,

四邊形ALCK均為平行四邊形，得至IJER=RT,平行線分線段成比例，推出FT=RT=ER」EF」AD，根

33

據菱形的面積分別求出四邊形ALCK和GM8N的面積，分割法求出陰影部分的面積即可.

【解答】解：連接ERGH交于點。，設所交NG于點R,交AK于點T,連接AG,

:四邊形ABC。為矩形，

J.AB^CD,AB//CD,ZD=90°,

:點E,F分別是邊CD,AB的中點，

.11

??DE=yCD-AFJAB，

J.DE^AF,

,JDE//AF,

...四邊形AFED為平行四邊形，

VZZ)=90o,

四邊形AB即是矩形；

：.EF//AD,EF=AD,ZAFE=90°,

:四邊形EGFH為菱形，

：.GHA.EF,0G=0H=yHG,EG〃FH,EG=FH,

：.ZEOG=90°=NAFE,

：.GH//AFf

：.ZGHM=ZFAM,

丁點M是尸G的中點,

：.GM=FMf

?：NGMH=/FMA,

在△GH0和中，

<ZGHM=ZFAM

,NGMH=NFMA，

GM=FM

:.AGHMmAFAM(A4S),

：.GH=AFf

???四邊形AFHG為平行四邊形，

：.AG//HF,AG=HF,

■:EG〃FH,EG=FH,

：.A,G,E三點共線，且AG=EG,

U：EF//AD,

：.ZLAG=ZREG,

'：ZLGA=ZRGE,

：./\AGL^/\EGR(ASA),

：.AL=ER,

U：AL//RT//CK,CL//AK,

???四邊形ALRT,四邊形ALCK均為平行四邊形,

:.AL=RT=CK,

:?ER=RT,

9

：AK//CLf

.FMFT

,,—=—=pH

GMRT

:?FT=RT,

.11

??FT=RT=ER-^EF=^-AD^

o0

??,菱形EGbH的面積為6,

：.EF?GH=12,

：.AD*AB=24,

..1

?AL=CK=yAD^

o

?1

??Sn^LQK=AL，AB=^AD，AB=8,

：Sn_GNHM，

?'?S陰影=SoAZCK-SoGNHM=8-3=5;

故答案為：5.

【點評】本題考查矩形的判定和性質，菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性

質，平行線分線段成比例等知識點，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造全等三角形和特殊圖形，是

解題的關鍵.

13.(2025?順城區模擬)如圖，在正方形4BCO中，AB=8,E為對角線8。上一動點，尸為射線AB上一

點.若EA=EF,則面積的最大值為16.

【考點】正方形的性質；二次函數的性質；三角形的面積；等腰三角形的性質.

【專題】二次函數圖象及其性質；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】16.

【分析】過E作EH1AF于H,由等腰三角形的性質推出AF^2AH,判定是等腰直角三角形,

得至I]EH=BH,設,EH=x,得到所的面積=山＞￡//=-(x-4)2+16,即可求出△?!￡1尸面積的最

2

大值.

【解答】解：過E作EH1AF于H,

:EA=EF,

：.AF^2AH,

:四邊形ABC。是正方形，

ZABD=45°,

:NEHB=90°,

AEHB是等腰直角三角形，

：.EH=BH,

設EH=x,

：.AH=AB-BH=8-x,

：.AF=2(8-x),

.,.△AEP的面積=義（8-尤）Xx=8x-7=-（尤-4）2+i6,

22

△A所面積的最大值為16.

故答案為：16.

AHBF

【點評】本題考查正方形限額性質，二次函數的性質，等腰三角形的現在在，三角形的面積，關鍵是得

到的面積關于x的二次函數關系式.

14.（2025?碑林區校級一模）如圖，在正方形ABC。中，AB=8?，點E為邊AD上一點，連接BE,點

G在BE上,以GE為邊作等邊△EFG,點F落在上，M為GP中點，連接CM,則CM的最小值

【考點】正方形的性質；垂線段最短；等邊三角形的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；圖形的全等；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】連接由等邊△跖G,M為GF中點，可得EMLGF,即NEMF=90°，/FEM=//GEF=30。，

又由正方形的性質得/互不=90°,所以點E、。、F、M四點共圓，所以/M￡）F=/M￡E=30°,所

以點當點E在上運動，且點尸落在CD上時，點M在。N上運動，且/Cr>N=30°,根據垂線段

最短可得當CM±DN時，CM最小,利用直角三角形的性質即可求解.

【解答】解：：正方形ABC。，

???CD=AB=8V3?

作NCDN=30°,

,/以GE為邊作等邊△E/G,點F落在CD上，M為GF中點,

：.EM.LGF,

：.ZEMF=9Q°,ZFEM=yZGEF=30°-

:四邊形ABCD是正方形，

；./EDF=90°,

.?.點￡、D、F、〃四點共圓，所以/河/m=/加￡尸=30°,

當點E在上運動時，點M■在OV上運動，當CA/_LZ）N時，CM最小，

,：ZCDN=30°,

?'?CM最小值=/CD4X873=473,

故答案為：473.

【點評】本題考查正方形的性質，等邊三角形的性質，垂線段最短，直角三角形的性質，判定出點M

的運動路徑是解題的關鍵.

15.（2025?碑林區校級一模）割補法在我國古代數學著作中稱為“出入相補”.著名的數學著作《九章算

術》已經能十分靈活地應用“出入相補”原理解決平面圖形的面積問題.在《九章算術》中，三角形被

稱為圭田，圭田術日：“半廣以乘正縱”，也就是說三角形的面積等于底的一半乘高，說明三角形的面積

是應用出入相補原理，由長方形面積導出的.如圖中的三角形下盈上虛，以下補上.如果圖中矩形的面

積為20,那么圖中陰影部分的面積是5.

【考點】矩形的性質；數學常識；三角形的面積.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】5.

【分析】作△ABC的高A。，由矩形EPG8的邊在BC上，證明U/〃A。，IE//AD,則

BAD,/\CIE^/\CAD,由題意得&BZH=SZXALG,S^CIE—S^AIF,LB—LA——AB,IC—1A=-AC,推導

22

出：dELH.=FLIE=工貝uS^BLH——S^BAD,S^CIE——S^CAD,所以S/^BLH+S^CIE——S^ABC,而

,△BAD4SACAD4444

Sz\ABC=S矩形EFGH=20,所以5^sj=SAAZG+Sz\Am=SABZH+Sz\C/E=5,于是得到問題的答案.

【解答】解：如圖，作AOL8C于點。，

,/四邊形EFGH是矩形，且邊EH在BC上,

：.ZLHC^ZADC^9Q°,/IEB=/ADB=9U°,

：.LH//AD,IE//AD,

MBLHsABAD,ACZ￡^ACAD,

由題意得&\BZH=&AZG,SACIE=SAAIF,LB=LA=—AB,IC=IA=—AC,

22

-LB=1；IC=X,

"ABAC

S

.ABLH_fLB.2=4s2=2,S^cIE_（匹）2=4s2=2,

SABAD研24SACADAC24

SABLH=—S^BAD,SACIE=^-SACAD,

44

SABLH+SACIE=—S^ABC,

4

,**S/\ABC=S矩形EFGH=20,

S陰影=SZ\A￡G+SZ^AZF=SZVB￡H+SZ\CZE=-^X20=5，

【點評】此題重點考查矩形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?濟南模擬）如圖，在口人8。。中，點、E,b分別在A。，BC上,且AE=CREF,相交于點

O,求證：OE=OF.

AED

O

BFC

【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形.

【答案】見試題解答內容

【分析】先判斷出￡>￡=3尸，進而判斷出△QOEg/kBOE即可.

【解答】證明：：四邊形ABC。是平行四邊形，

C.AD//BC,AD=BC,

：.ZODE=ZOBF,

'：AE=CF,

:.DE=BF,S.ZDOE=ZBOF,ZODE=ZOBF,

:ADOE絲ABOF(AAS),

：.OE=OF

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，證明是本題的關

鍵.

17.(2025?永壽縣校級一模)如圖，在矩形A2C￡>中，點M是AD上一點，連接且BM=3C,CN

于點N,求證：AB=NC.

---------------------------b

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】見解析.

【分析】根據四邊形ABCD是矩形，可得NA=/BNC=90°,AD//BC,進而可得/CBN,

即以證明△MAB0ZXBNC(AAS),可得結論.

【解答】證明：?.,四邊形ABCD是矩形，CN±BM,

：.ZA=ZBNC=90°,AD//BC,

：.ZBMA^ZCBN.

在AMAB和△BNC中，

，ZA=ZBNC

-ZBMA=ZCBN，

BM=CB

:.AMAB迫ABNC(AAS),

：.AB=NC.

【點評】本題考查矩形的性質及全等三角形的判定和性質，正確找出三角形全等的條件是解題的關鍵.

18.(2025?安陽模擬)正方形ABC。和正方形AEFG如圖1擺放，且B,A,G三點共線.

(1)正方形ABC。的邊長為。，正方形AE/G的邊長為6,a>b.當。+6=6,必=6時，四邊形BCEG

的面積=15；

(2)若正方形AEFG可以繞點A順時針進行旋轉，且旋轉角度小于90°.

①如圖2,連接BE,DG,探究。G,8E的數量關系，并說明理由；

②如圖3,連接DE,BG,在旋轉過程中，若點尸為3G的中點，連接AP,試判斷AP和DE的數量關

系，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，若某時刻么ABG=9,請直接寫出△AE。的面積.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】代數幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】⑴15；

(2)①DG=BE,理由見解析②位)卷DE，理由見解析；

(3)S^AED=9.

【分析】(1)將四邊形BCEG的面積轉化為求梯形ABCE和AAEG的面積，計算時將算式變形為a+b

與ab的形式即可求解；

(2)①證明△GAOgZXEAB(SAS)即可求證；

②利用倍長中線法構造再證明(SAS)即可求解；

(3)利用全等三角形進行等面積轉化即可求解.

【解答】解：(1):四邊形BCEG的面積=

c,=(AE+BC)*ABI”…(a+b)a1,2日…a=6〃八=A

S梯形ABGE+S&AEG-----2-------叼2?杷=-2-qb，且6,ab6,

；?四邊形BCEG的面積2Vb2.ab=-^~(a+b)”[ab[X6*Jx6=15,

乙乙乙乙乙乙乙

故答案為；15；

(2)@DG=BE；理由如下：

,正方形ABC。和正方形AEFG中，ZBAD=ZGA￡=90°,BA^DA,EA^GA,

：.ZBAD+ZEAD=ZGAE+ZEAD,即/GAD=ZEAB,

在△GAO和△EAB中，

'DA=BA

<ZGAD=ZEAB>

GA=EA

二△GAD四AEAB(SAS),

：.DG=BE；

②理由如下：

如圖3,延長AP至M,使PAf=AP,則AP』AM，

:點尸為BG的中點，

:.BP=GP,

又；NBPM=NGM,

:.ABPM沿AGPA(SAS),

：.BM=AG,ZPBM=ZPGA,

C.BM^AG^AE,ZABM^ZPBM+ZPBA^ZAGP+ZPBA^180°-ZBAG,

ZDAE=36Q0-ZDAB-ZEAG-ZBAG=360°-90°-90°-ZBAG=180°-/BAG,

：.ZABM^ZDAE,

在△ABM和△D4E中,

，BM=AE

<ZABM=ZDAE>

BA=AD

:.AABM2ADAE(SAS),

：.AM=DE,

.1

??AP^-DE-

(3)S&AED=9,理由如下：

由(2)知△?而絲△GE4,

；.S&PBM=SSPG

S^ABG—9,

??S/\ABM=S/\ABP+S/^PBM=S/\ABP+S/\APG=S/\ABG=9,

AABM^/XDAE,

S^DAE=S^ABM=9,即S^AED=9.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、

倍長中線法、求不規則圖形面積、完全平方公式的變形等知識，解題的關鍵是發現全等三角形并運用轉

化的思想方法.

19.(2025?雁塔區校級一模)問題探究

(1)如圖1,四邊形ABCZ)中，AC與8。相交于點O,AC=5,BD=8,ZAOB=60°,求四邊形ABCD

的面積.

問題解決

(2)如圖2,公園里有一片四邊形的花園4BCZ),其中48〃^),48=24。=2。=40米，ZABC=60°.&

片花園有兩條供游客休息的走廊AC、ED,其中E是A8的中點，兩條走廊交匯O處有一涼亭.設計師

需要改造花園，在花園中鋪設一條長為10米的小路MN,其中M、N分別在和AC上，再建造一個

四邊形的花卉區BCP。(P為小路MN的中點，。在左上方區域)，為增強觀賞性，8尸和CQ需設

計為兩條長度相等的小路.試問這塊四邊形的花卉區BCPQ的面積是否存在最大值？若存在，求其最

大值；若不存在，說明理由.(走廊、小路的寬度忽略不計)

A

【考點】四邊形綜合題.

【專題】矩形菱形正方形；圓的有關概念及性質；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力.

【答案】⑴1073；

(2)725=100/？平方米.

2

【分析】(1)作DE±AC于E,作BFLAC,交CA的延長線于F,分別解直角三角形DOE和BOF,

表示出DE和8R進一步得出結果；

(2)連接。尸，可得出。2=/照=5,從而點尸在以。為圓心，5為半徑的圓上運動，連接8。并延長

交。。于P,此時8P長，當時，四邊形8CP。面積最大，連接CE,可推出nAOCE是菱形，

從而得出AC±DE,OE=OC,CE=AE=BE=20米，進而得出OEHBC,從而得出AC±BC,ZAEO

=ZABC=60°,可推出△BCE是等邊三角形，進一步得出結果.

作DELAC于E,作BFLAC,交CA的延長線于F,

：.ZF=ZDEO=90°,

：.DE=OD'sinZCOD,BF=OB-smZAOB,

'：ZDOE^ZAOB^6Q°,

亨(OBK)D)

：.DE+BF^OD-sm60°+OB?sin60°X8=4-73'

?'?S四邊形A5CQ=SaA5c+SaAa)=-^AC?BF?DE=yAC'(BF+DE)yX5X4V3=10V3=

(2)如圖2,

A

圖2

連接。P,

VZAOD^ZA0B^9Q°,點尸是MN的中點，

???°尸=1?1=5,

...點尸在以。為圓心，5為半徑的圓上運動，連接8。并延長交。。于P,此時8P長最大,

當時，四邊形8”。面積最大，

連接CE,

:點