高三開學考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\capB\)是（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{3\}\)D.\(\{4\}\)2.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值為（）A.1B.0C.-1D.34.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)在第二象限，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.-26.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.47.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,-1)\)D.\((-1,0)\)8.已知\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)C.\(a-1\gtb-1\)D.\(ac\gtbc\)9.函數\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.1B.-1C.0D.210.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.2二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于奇函數的函數有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.一個正方體的棱長為\(a\)，則以下說法正確的是（）A.表面積為\(6a^2\)B.體積為\(a^3\)C.體對角線長為\(\sqrt{3}a\)D.面對角線長為\(\sqrt{2}a\)3.下列直線中，與直線\(y=3x+1\)平行的有（）A.\(y=3x-1\)B.\(y=\frac{1}{3}x+1\)C.\(y=3(x+1)\)D.\(y=-3x+1\)4.關于橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，下列說法正確的是（）A.長軸長為6B.短軸長為4C.焦點在\(x\)軸上D.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)5.已知復數\(z=1+i\)，則以下正確的是（）A.\(|z|=\sqrt{2}\)B.\(z^2=2i\)C.\(\overline{z}=1-i\)D.\(z\)在復平面內對應的點在第一象限6.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\gt1)\)B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)C.\(S_n\)為前\(n\)項和，則\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等比數列D.公比\(q\neq0\)7.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的性質正確的有（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱C.圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱D.在\((-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})\)上單調遞增8.已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列正確的是（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)9.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)10.已知\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(AB)=0.3\)，則以下正確的是（）A.\(P(A|B)=0.6\)B.\(P(B|A)=0.5\)C.\(A\)與\(B\)相互獨立D.\(P(A\cupB)=0.8\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(f(x)\)是偶函數，則\(f(-x)=f(x)\)。（）3.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為0）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）4.等比數列的公比可以為0。（）5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）6.函數\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）7.橢圓的離心率\(e\)的范圍是\((0,1)\)。（）8.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）9.函數\(y=x^3\)的導數是\(y^\prime=3x^2\)。（）10.互斥事件一定是對立事件。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸為\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函數\(a=1\)，\(b=-2\)，對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數得\(y=2\)，頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)得\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求圓\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的圓心坐標和半徑。答案：圓的標準方程為\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，圓心坐標為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。所以此圓的圓心坐標為\((1,-2)\)，半徑\(r=3\)。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求\(a_5\)和\(S_5\)。答案：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，則\(a_5=1+(5-1)\times2=9\)。\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，\(S_5=\frac{5\times(1+9)}{2}=25\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調性，并說明理由。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，所以\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)單調遞減；同理在\((-\infty,0)\)上也單調遞減。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數法，聯立直線與圓的方程，通過判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論如何提高數學成績，結合自身學習經歷