安徽天一大聯考2025年最后一卷數學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數，則（）A. B.2 C. D.42.已知：，：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知在中，點D滿足，設，則（）A.1 B. C. D.24.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，其側面積等于上、下底面積之和，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.5.函數的零點個數為（）A.0 B.1 C.2 D.36.已知A，B為橢圓C：上兩點，為坐標原點且，過點作直線的垂線，垂足為H，則點H的軌跡方程為（）A. B. C. D.7.為紀念中國人民抗日戰爭暨世界反法西斯戰爭勝利80周年，合肥六中高三（1）班開展了“銘記歷史，緬懷先烈”的主題教育知識競賽活動.已知該班男生有20人，女生有30人，根據統計分析，男、女生成績的方差分別為11，6，且男、女生成績的平均數之差的絕對值不大于5，若該班成績的方差為，則的最大值為（）A.8 B.10 C.12 D.148.在三棱錐中，是邊長為1的正三角形，，，，則點B到平面的距離為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的最大值為1，則（）A.B.C.在區間上單調遞減D.不等式的解集10.已知拋物線C：的焦點為F，直線與C相交于A，B兩點，P為AB的中點，為坐標原點，且，則（）A.當時， B.點F到的距離的最大值為C. D.點P的軌跡是一條拋物線11.已知函數的兩個極值點分別為，，且，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若的極大值與極小值之差為，則C.若，則關于的方程有且僅有4個不同的實數根D.若存在實數，使得，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知等差數列的前項和為，且，，若，則________.13.已知，，則_______，_______.（本題第一空2分，第二空3分）14.甲同學完成一道英語七選五型選擇題組練習（即從七個選項中選擇五個，分別填入五個空中），已知每個空有且僅有一個正確答案，若甲同學每個空均作答且每個選項不重復選擇，則甲同學此題五個空全部答錯的情況數為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知a，b，c分別為的三個內角A，B，C的對邊，且.（I）求A；（Ⅱ）若，且的面積為，求b，c.16.（15分）已知函數（I）若，求的單調區間；（Ⅱ）若，證明：當時，.17.（15分）如圖，將沿直線旋轉至，再將沿直線旋轉至，且使得平面.（I）證明：；（Ⅱ）若為正三角形，且，求直線與平面所成角的正弦值.18.（17分）為了解一種新藥治療某疾病的效果，在獲得有關部門批準后，制藥公司在若干醫院進行試驗，每個醫院選10個病人服用此藥，規定：若這10個病人中至少有5人痊愈，則認為這種藥有效，否則認為這種藥無效.（I）甲醫院參加試驗的10個病人服用該藥后有6人痊愈，乙醫院參加試驗的10個病人服用該藥后有7人痊愈，現隨機從甲、乙兩醫院中選擇一個醫院，然后從參加試驗的10個病人中隨機抽取2人，求恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人的概率；（Ⅱ）假設這種新藥的治愈率為80%，且每個病人服藥后是否痊愈相互獨立，求某醫院經過試驗認定該藥無效的概率；（結果精確到0.0001）（Ⅲ）若已知這種病的自然痊愈率為10%，根據（Ⅱ）的結果解釋規定是否合理.參考數據：512×62201≈32000000.19.（17分）已知為坐標原點，點為雙曲線：的右頂點，過點作垂直于軸的直線交直線于點，過點作垂直于軸的直線交的右支于點，再過點作垂直于軸的直線交直線于點，如此繼續下去得到點列.（I）設點的橫坐標為，求數列的通項公式.（Ⅱ）過點作C的切線，求的方程及與的兩條漸近線圍成的三角形的面積.（Ⅲ）某條曲線的包絡直線系，是指與該曲線相切的所有直線組成的集合，且該曲線上每一點處的切線都是該直線系中的某條直線.若點與關于軸對稱，直線與線段，分別交于點M，N，且直線平分的面積，試寫出直線系包絡形成曲線的軌跡方程.

安徽天一大聯考2025年最后一卷數學·答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.D2.A3.C4.B5.B6.D7.D8.C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.ACD10.ABD11.AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.913.；14.1214四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.解析（I）根據正弦定理，原條件即，也即，所以，由于，所以，即：，由于，所以，即.（Ⅱ）由，，得，由余弦定理，得，所以，又，所以，，或，.16.解析（I）若，則，其定義域為，，令，解得，或，令，解得，或，所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，.（Ⅱ）當，時，，則有，故只需證明當時，.當時，，令，解得，令，解得，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，當時，取得最小值，所以.綜上，當時，.17.解析（I）過點作，垂足為，連接.因為，所以，又，故平面，又平面，所以.（Ⅱ）方法一：設正三棱錐的棱長均為，如圖，取的中點，連接，，，易知，，.作平面于點，連接，易知點為的中心，且在線段上，.由（I）知，同理，所以平面.設平面平面，則直線過點且，所以直線即直線，又平面，所以.因為，所以，.所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以為直線與平面所成的角.因為，，，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值.方法二：如圖，取的中點，連接，，，作平面于點，易知點為的中心，且在線段上，以為原點，直線，分別為y，z軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系.設正三棱錐的棱長均為，易知，，，則，，.由（I）知，同理，所以平面，設平面平面，則直線過點B且，所以直線即直線，又平面，所以.因為，所以，.所以，，，，，則，，.設平面的法向量為，則可取.設直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.解析（I）設“抽到甲醫院”，“抽到乙醫院”，“隨機抽取2人，恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人”，則，，，由全概率公式得.（Ⅱ）將10個病人服用新藥視為10重伯努利試驗，在每次試驗中，每個病人痊愈的概率均為0.8，且每個病人是否痊愈是相互獨立的.設表示這10個病人中痊愈的人數，則.設“經過試驗認定該藥無效”，事件C發生等價于，所以.（Ⅲ）由題意，實際上新藥提高了治愈率，是有效的.當痊愈的病人數不超過4時，認定新藥無效，此時作出了錯誤的判斷.因為作出錯誤判斷的概率很小，所以規定是合理的.19.解析（I）設，因為點在直線上，所以.因為與軸垂直，所以，因為與軸垂直，所以，又點在上，所以，即，所以，又，所以，又，，所以.（Ⅱ）設點為C的右支上位于第一象限的任一點，當，時，C的方程化為，求導得，則在點處的切線方程為，整理得（*）當時，點即，代入（*）式，得的方程為.由可得交點的橫坐標，由可得交點的橫坐標，所以與兩條漸近線圍成的