2022年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)仿真卷B滿分100分，考試時間80分鐘一、選擇題(本大題共18小題，每小題3分，共54分。每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分。)1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)子集定義，即可判斷.【詳解】由子集定義，可知.故選：C2．函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．R【答案】B【分析】根據(jù)根式函數(shù)的定義域求法求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以函數(shù)的定義域是，故選：B3．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小.【詳解】，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，故選：D.【點睛】對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．當(dāng)?shù)讛?shù)與指數(shù)都不相同時，選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤睌?shù)（通常以“0”或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)比較，從而可間接地比較出要比較的數(shù)的大小．當(dāng)?shù)讛?shù)與指數(shù)都不同，中間量又不好找時，可采用作商比較法，即對兩值作商，根據(jù)其值與1的大小關(guān)系，從而確定所比值的大小．當(dāng)然一般情況下，這兩個值最好都是正數(shù)．作差比較法是比較兩個數(shù)值大小的最常用的方法，即對兩值作差，看其值是正還是負(fù)，從而確定所比值的大小．分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，運用分類討論法時，首先要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，涉及到指數(shù)函數(shù)問題時，通常將底數(shù)與1的大小關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)．4．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：D.5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】A【分析】由三視圖畫幾何體的直觀圖，該幾何體是底面為直角梯形的一個四棱錐，然后根據(jù)圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積【詳解】解：由三視圖可該幾何體是底面為直角梯形，高為2的四棱錐，如圖所示，所以該幾何體的體積為，故選：A6．不等式的解集為（）A． B．C． D．或【答案】C【分析】由等價于，進(jìn)而可求出不等式的解集.【詳解】由題意，等價于，解得，所以不等式的解集為.故選：C.【點睛】本題考查分式不等式的解集，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A．11 B．8 C．13 D．6【答案】A【分析】作出可行域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義求出答案.【詳解】可行域如圖所示，當(dāng)過點D（4,1）時取得最大值為：.故選：A.8．已知直線在軸上的截距為3，在軸上的截距為-2，則的方程為（）A．3x-2y-6=0 B．2x-3y+6=0C．2x-3y-6=0 D．3x-2y+6=0【答案】C【分析】根據(jù)直線方程的截距式即可求解.【詳解】由題意可得直線的方程為，整理可得2x-3y-6=0.故選：C9．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，，則（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】直接利用余弦定理，代入數(shù)值即可求解.【詳解】由余弦定理可得，，所以.故選：B.10．、、是直線，是平面，則下列說法正確的是（）A．平行于內(nèi)的無數(shù)條直線，則B．不在面，則C．若，，則D．若，，則平行于內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】D【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理逐個分析判斷即可【詳解】對于A，當(dāng)平行于內(nèi)的無數(shù)條直線，若，則與不平行，所以A錯誤，對于B，當(dāng)不在面時，與有可能相交，所以B錯誤，對于C，當(dāng)，時，若，則與不平行，所以C錯誤，對于D，當(dāng)，時，由線面平行的性質(zhì)可知平行于內(nèi)的無數(shù)條直線，所以D正確，故選：D11．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【詳解】∵等價于，當(dāng)或時，不成立；∴充分性不成立；又∵等價于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分條件．故選：B．12．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)不是偶函數(shù)，排除C、D，再結(jié)合，即可作出求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，且不是偶函數(shù)，所以排除C、D；又，排除A，即確定答案為B.故選:B.13．已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，，，則（）A．32 B．24 C．6 D．8【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，，又因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以數(shù)列的首項是，公比為，則，故，所以，故選：A14．四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，側(cè)棱AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AA1=2AB，則異面直線A1B與D1B1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，易得異面直線A1B與D1B1所成角為，再集合的性質(zhì)求解即可【詳解】連接，易得，故異面直線A1B與D1B1所成角為.設(shè)，因為∠DAB=60°，故為正三角形，所以在中，，取中點，連接，則，故故選：D【點睛】本題主要考查了空間中異面直線的夾角問題，需要根據(jù)題意將異面直線轉(zhuǎn)移到同一三角形中，再根據(jù)三角形的性質(zhì)求解角度問題，屬于基礎(chǔ)題15．在中，斜邊長為2，O是平面外一點，點P滿足，則等于（）A．2 B．1 C． D．4【答案】B【分析】利用向量的減法可得，從而可得為斜邊的中線，即可求解．【詳解】解：，，，為斜邊的中線，．故選：B．16．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意把函數(shù)的零點問題即的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖像交點問題，由題可得關(guān)于對稱，由，可得的周期為4，根據(jù)函數(shù)圖像，即可得解.【詳解】由可得關(guān)于對稱，由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以的周期為4，把函數(shù)的零點問題即的解，即函數(shù)和的圖像交點問題，根據(jù)的性質(zhì)可得如圖所得圖形，結(jié)合的圖像，由圖像可得共有3個交點，故共有3個零點，故選：B.17．如圖是橢圓與雙曲線的公共焦點分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用橢圓的定義及四邊形為矩形，列出方程組求得的值，結(jié)合雙曲線的定義和離心率的計算公式，即可求解.【詳解】設(shè)，由點為橢圓上的點，可得且，即，又由四邊形為矩形，所以，即，聯(lián)立方程組，解得，設(shè)雙曲線的實軸長為，焦距為，則，，即，所以雙曲線的離心率為.故選：D.18．如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AC=AB=BD=CD=2，且∠CDB=90°．取AB中點E以及CD中點F，連接EF，則EF與AB所成角的正切值取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得當(dāng)平面平面時，張角最大，即EF與AB所成角最大，從而可得最大值，當(dāng)平面與平面重合時，張角最小，即EF與AB所成角最小，從而可得最小值，又平面與平面不能重合，即可求得EF與AB所成角的正切值取值范圍.【詳解】解：如圖，作于H，因為，當(dāng)平面平面時，張角最大，即EF與AB所成角最大，如圖①，作與M，，，因為，則，所以，所以EF與AB的夾角為或其補(bǔ)角，，則，所以，故EF與AB所成角的正切值的最大值為，當(dāng)平面與平面重合時，張角最小，即EF與AB所成角最小，如圖②所示，即為EF與AB所成角的平面角，，又平面與平面不能重合，所以EF與AB所成角的正切值取值范圍為.故選：C.二、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分。)19．設(shè)等差數(shù)列的公差為非零常數(shù)，且，若成等比數(shù)列，則公差___________，___________.【答案】【分析】由等差數(shù)列通項及等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可求，并寫出通項公式.【詳解】由題意，，又且成等比數(shù)列，∴，即且，故，∴.故答案為：2，20．已知為平面內(nèi)兩個不共線的向量，，若M，N，P三點共線，則λ=________.【答案】-4【分析】結(jié)合向量的共線性質(zhì)和相等向量的運算即可得出結(jié)果.【詳解】因為M，N，P三點共線，所以存在實數(shù)k使得=k，所以，又，為平面內(nèi)兩個不共線的向量，可得，解得λ=-4.故答案為：-421．已知橢圓：和雙曲線：的焦點相同，，分別為左?右焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，軸，為垂足，若(為坐標(biāo)原點)，則橢圓和雙曲線的離心率之積為________.【答案】【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，根據(jù)，得到P的橫坐標(biāo)為，設(shè)，分別利用橢圓和雙曲線的定義求得，然后再利用橢圓和雙曲線的第二定義求解.【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，所以，即P的橫坐標(biāo)為，設(shè)，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得：，聯(lián)立解得，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為：，由橢圓的第二定義得，解得，由雙曲線的第二定義得：，解得，又，則，，所以，故答案為：22．已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【分析】將化簡成，令，則，問題轉(zhuǎn)化成：存在，使得成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】因為，所以可化為：，整理得：，將代入上式整理得：，令，，則，不等式可化為：，，所以存在實數(shù)，使得成立可轉(zhuǎn)化成：存在，使得成立，由函數(shù)，可得：，所以，解得：.【點睛】本題主要考查了換元思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題．三、解答題(本大題共3小題，共31分。)23．(本題10分)已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域和最小正周期；（2）當(dāng)時，求的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先對進(jìn)行化簡，再根據(jù)函數(shù)有意義以及周期公式即可求解；（2）先根據(jù)的范圍求出的范圍，即可求解.【詳解】解：（1），定義域為，；（2），，即，，.24．(本題10分)已知拋物線的焦點為，點在上，且（為坐標(biāo)原點）．（1）求的方程；（2）若是上的兩個動點，且兩點的橫坐標(biāo)之和為．（ⅰ）設(shè)線段的中垂線為，證明：恒過定點．（ⅱ）設(shè)（ⅰ）中定點為，當(dāng)取最大值時，且，位于直線兩側(cè)時，求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）.【分析】（1）根據(jù)題意得，，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）（ⅰ）設(shè)中點為，則，，進(jìn)而分和兩種情況求解直線方程，以證明直線過定點；（ⅱ）直線與拋物線聯(lián)立方程消去，根據(jù)韋達(dá)定理與弦長公式求得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，進(jìn)而得直線，再討論，位于直線兩側(cè)時得，進(jìn)而根據(jù)點到直線的距離求解點到直線的距離以求解四邊形的面積.【詳解】解：（1）由拋物線的性質(zhì)得，所以根據(jù)拋物線的定義得：，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，且．（ⅰ）證明：設(shè)中點為，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，，令，得，故直線過定點綜上，恒過定點．（ⅱ）由（ⅰ）知直線，即，所以直線與拋物線聯(lián)立方程消去，整理得，由，得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為10，此時直線的方程為．對于直線，，所以點在同側(cè)，不合題意，對于直線，滿足，位于直線兩側(cè)，所以直線，點到直線的距離，點到直線的距離，所以．25．(本題11分)已知函數(shù)（1）若時，求的最小值的值；（2）在（1）的條件下，已知非零實數(shù)滿足，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（3）若，當(dāng)時，對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值及此時的值．【答案】(1)；(2)；(3)，此時．【分析】(1)將代入，對分類討論去掉絕對轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，判斷其單調(diào)性，即可求出的最小值；(2)由(1)知，利用常數(shù)代換求出的最小值，解不等式即可求出實數(shù)的取值范圍；(3)分和寫出分段函數(shù)，然后對，，分類求出的最大值和最小值，由即可求得的最大值及此時的值．【詳解】(1)當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，所以的最小值的值為.(2)由(1)可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，