新疆阿克蘇市農一師高級中學2025屆數學高二第二學期期末達標測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某地區氣象臺統計，該地區下雨的概率是，刮風的概率為，既刮風又下雨的概率為，則在下雨天里，刮風的概率為（）A． B． C． D．2．已知函數，若，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在某項測量中測量結果，若X在內取值的概率為0.3，則X在內取值的概率為（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.94．點的直角坐標化成極坐標為（）A． B． C． D．5．二項式(ax-36)3(a>0)的展開式的第二項的系數為A．3B．73C．3或73D．36．下列四個不等式：①；②；③；④，其中恒成立的個數是()A．1 B．2 C．3 D．47．有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：1、2、6號選手中的一位獲得第一名；觀眾乙猜測：4、5、6號選手都不可能獲得第一名；觀眾丙猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾丁猜測：3號選手不可能得第一名.比賽后發現沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結果，此人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．定義在上的函數，若對于任意都有且則不等式的解集是（）A． B． C． D．9．從10名大學畢業生中選3人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為()A．85 B．56C．49 D．2810．下面四個命題：：命題“”的否定是“”；:向量，則是的充分且必要條件；：“在中，若，則“”的逆否命題是“在中，若，則“”；：若“”是假命題，則是假命題.其中為真命題的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．411．現有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數為（）A． B． C． D．12．若點在橢圓內，則被所平分的弦所在的直線方程是，通過類比的方法，可求得：被所平分的雙曲線的弦所在的直線方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，若則實數的值為_______．14．首屆中國國際進口博覽會在上海舉行，某高校擬派4人參加連續5天的志愿者活動，其中甲連續參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有_____種（結果用數值表示）15．已知a，b∈{0,1，2，3}，則不同的復數z=a+bi的個數是______．16．已知函數，若，則實數的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（Ⅰ）當時，求的最大值；（Ⅱ）若對恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）已知函數.（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）某小組有10名同學,他們的情況構成如下表,表中有部分數據不清楚,只知道從這10名同學中隨機抽取一位,抽到該名同學為中文專業”的概率為.專業性別中文英語數學體育男11女1111現從這10名同學中隨機選取3名同學參加社會公益活動(每位同學被選到的可能性相同)(1)求的值;(2)設為選出的3名同學中“女生”的人數,求隨機變量的分布列及其數學期望.20．（12分）已知函數（1）求的最小值（2）若不等式的解集為M，且，證明：.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的方程為以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線和曲線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于,兩點，求.22．（10分）已知虛數滿足.（1）求的取值范圍；（2）求證：是純虛數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：根據條件概率求結果.詳解：因為在下雨天里，刮風的概率為既刮風又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮風的概率為，選D.點睛：本題考查條件概率，考查基本求解能力.2、D【解析】

根據題意將問題轉化為，記，從而在上單調遞增，從而在上恒成立，利用分離參數法可得，結合題意可得即可.【詳解】設，因為，所以.記，則在上單調遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立.因為，所以函數在上單調遞增，故有.因為，所以，即.故選：D本題考查了導數在不等式恒成立中的應用、函數單調性的應用，屬于中檔題.3、C【解析】

由題意結合正態分布的對稱性求解ξ在(0,+∞)內取值概率即可.【詳解】由正態分布的性質可知正態分布的圖象關于直線對稱，則,,，即ξ在(0,+∞)內取值概率為0.8.本題選擇C選項.關于正態曲線在某個區間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.4、D【解析】

分別求得極徑和極角，即可將直角坐標化為極坐標.【詳解】由點M的直角坐標可得：，點M位于第二象限，且，故，則將點的直角坐標化成極坐標為.本題選擇D選項.本題主要考查直角坐標化為極坐標的方法，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、A【解析】試題分析：∵展開式的第二項的系數為-32，∴C31a2(-當a=1時，-2a考點：二項式定理、積分的運算.6、C【解析】

依次判斷每個選項的正誤，得到答案.【詳解】①，當時等號成立，正確②，時不成立，錯誤③，時等號成立.正確④，時等號成立，正確故答案選C本題考查了不等式性質，絕對值不等式，均值不等式，綜合性較強，是不等式的常考題型.7、B【解析】

分別假設甲、乙、丙、丁猜對比賽結果，逐一判斷得到答案.【詳解】假設甲猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設乙猜對比賽：3號得第一名，正確假設丙猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設丁猜對比賽：則觀眾甲和丙中有一人正確，矛盾故答案選B本題考查了邏輯推理，意在考查學生的邏輯推理能力.8、D【解析】

令,求導后根據題意知道在上單調遞增，再求出，即可找到不等式的解集。【詳解】令則所以在上單調遞增，又所以的解集故選D本題考查利用導數解不等式，屬于中檔題。9、C【解析】試題分析：根據題意：，故選C.考點：排列組合.10、B【解析】

根據全稱命題的否定是特稱命題判斷；根據向量垂直的坐標表示判斷；根據逆否命題的定義判斷；由且命題的性質判斷.【詳解】：命題“”的否定是“”，不正確；:的充分且必要條件是等價于,即為，正確；：由逆否命題的定義可知，“在中，若，則“”的逆否命題是“在中，若，則“”，正確；：若“”是假命題，則是假命題或是假命題，不正確.所以，真命題的個數是2，故選B.本題通過對多個命題真假的判斷，主要綜合考查全稱命題的否定、向量垂直的充要條件、逆否命題的定義、“且”命題的性質，屬于中檔題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.11、C【解析】先排剩下5人，再從產生的6個空格中選3個位置排甲、乙、丙三人，即，選C.12、A【解析】

通過類比的方法得到直線方程是，代入數據得到答案.【詳解】所平分的弦所在的直線方程是，通過類比的方法，可求得雙曲線的所平分的弦所在的直線方程是代入數據，得到：故答案選A本題考查了類比推理，意在考查學生的推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由兩向量垂直得數量積為0，再代入坐標運算可求得k.【詳解】由題意可得，代入坐標可得，解得。填。本題考查用數量積表示兩向量垂直及空間向量的坐標運算。14、24【解析】

首先安排甲，可知連續天的情況共有種，其余的人全排列，相乘得到結果.【詳解】在天里，連續天的情況，一共有種剩下的人全排列：故一共有：種本題考查基礎的排列組合問題，解題的關鍵在于對排列組合問題中的特殊元素，要優先考慮，然后再考慮普通元素.15、1【解析】

分a=b和a≠b兩種情況討論，結合排列數公式求解．【詳解】當a=b時，復數z=a+bi的個數是4個；當a≠b時，由排列數公式可知，組成不同的復數z=a+bi的個數是A42∴不同的復數z=a+bi的個數是1個．故答案為：1．本題主要考查了排列及排列數公式，涉及分類討論思想，屬于中檔題．16、【解析】

根據題意，求得，解不等式即可求得結果.【詳解】容易知，故可得，故等價于，解得.故答案為：.本題考查分段函數函數值的求解，涉及二次不等式的求解，屬綜合基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）1；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當時求出的單調性，根據單調性即可求出最大值．（Ⅱ）求出的單調性．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，再判斷出的單調性即可．【詳解】（Ⅰ）當時，，定義域為..令，得.當時，，單調遞增，當時，，單調遞減.所以.（Ⅱ），.令，得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以.依題意有，設，則，所以在上單調遞增.又，故，即實數的取值范圍為.本題考查了利用函數的單調性求最值、求含參數的范圍、恒成立的問題．是高考中的必考點，也是高考中的壓軸題．在解答時應該仔細審題．18、（I）；（II）.【解析】分析：(1)先求切線的斜率和切點的坐標，再求切線的方程.(2)分類討論求，再解≥0，求出實數a的取值范圍.詳解：（Ⅰ）當時，，，，即曲線在處的切線的斜率為，又，所以所求切線方程為.（Ⅱ）當時，若不等式恒成立，易知，①若，則恒成立，在上單調遞增；又，所以當時，，符合題意.②若，由，解得，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以時，函數取得最小值.則當，即時，則當時，，符合題意.當，即時，則當時，單調遞增，，不符合題意.綜上，實數的取值范圍是.點睛：（1）本題主要考查導數的幾何題意和切線方程的求法，考查利用導數求函數的最小值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.(2)解答第2問由兩次分類討論，第一次是分類的起因是解不等式時，右邊要化成，由于對數函數定義域的限制所以要分類討論，第二次分類的起因是是否在函數的定義域內,大家要理解掌握.19、（1），（2）見解析【解析】

（1）中文專業有人，因此抽1人抽到中文專業的概率是，從而可得，由此也可得．（2）共有4名女生，因此的可能值分別為0,1,2,3，分別求出其概率，得分布列，再由期望公式可得期望．【詳解】(1)設事件:從10位學生中隨機抽取一位,抽到該名同學為“中文專業”由題意可知“中文專業”的學生共有人.解得,所以(2)由題意,的可能取值為0,1，2,3山題意可知,“女生"共有4人所以，所以的分別列為0123所以本題考查隨機變量概率分布列，考查古典概型．考查運算求解能力．20、（1）（2）證明見解析【解析】

根據題意，由函數的解析式分3種情況討論，分段求出函數的最小值，綜合3種情況即可得答案；根據題意，分3種情況討論，求出不等式的解集，又由a，，可得，，分析可得，變形即可得結論．【詳解】（1），在上單調遞減，在上單調遞增，．2若，則，或，或，，，，，，，即．本題考查分段函數的應用和絕對值不等式的解法，考查了轉化思想，屬中檔題．21、（1）的極坐標方程為，直線極坐標方程為；（2）.【解析】

（1）利用三種方程的轉化方法，即可得解；（2）將代入中得，結合韋達定理即可得解.【詳解】（1）由曲線的參數方程為（為參數），得曲線的普通方程為，則的極坐標方程為，由于直線過原點，且傾斜角為，故其極坐標方程為.（2）由得，設,對應的極徑分別為，則，，.本題考查三種方程的互