浙江省嘉興市南湖區第一中學2025年高二下數學期末復習檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數是定義在上的奇函數，當時，，則A． B． C． D．2．已知奇函數在上是增函數，若，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．3．已知函數在定義域上有兩個極值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．《九章算術》是中國古代第一部數學專著，成于公元一世紀左右，系統總結了戰國、秦、漢時期的數學成就.其中《方田》一章中記載了計算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經驗公式：弧田面積=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現有圓心角為2π3，弦長為403m的弧田.其實際面積與按照上述經驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為（）平方米.（其中A．15 B．16 C．17 D．185．定義在上的函數的導函數為，若對任意實數，有，且為奇函數，則不等式的解集為A． B． C． D．6．已知為自然對數的底數，則函數的單調遞增區間是（）A． B． C． D．7．設，向量，若，則等于()A． B． C．－4 D．48．設函數的定義域A，函數的值域為B，則（）A． B． C． D．9．直線（為參數）上與點的距離等于的點的坐標是A． B．C．或 D．或10．已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則（）A．2019 B．1 C．0 D．-111．已知直線與曲線相切，則實數k的值為（）A． B．1 C． D．12．設函數滿足則時，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知二項式展開式的第項與第項之和為零，那么等于____________.14．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為__________．15．函數的單調減區間是______．16．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為紀念“五四運動”100周年，某校團委舉辦了中國共產主義青年團知識宣講活動活動結束后，校團委對甲、乙兩組各10名團員進行志愿服務次數調查，次數統計結果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以表示．（1）若甲組服務次數的平均值不小于乙組服務次數的平均值，求圖中所有可能的取值；（2）團委決定對甲、乙兩組中服務次數超過15次的團員授予“優秀志愿者”稱號設，現從所有“優秀志愿者”里任取3人，求其中乙組的人數的分布列和數學期望．18．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，建立如圖所示的空間直角坐標系.（1）若，求異面直線與所成角的大??；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為，求實數的值.19．（12分）在直角坐標系中，曲線過點，其參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若與交于，兩點，求的值.20．（12分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點分別為，以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設不過原點的直線與橢圓C交于兩點,若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；21．（12分）小王每天自己開車上班，他在路上所用的時間（分鐘）與道路的擁堵情況有關.小王在一年中隨機記錄了200次上班在路上所用的時間，其頻數統計如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時間的數學期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨立，設一周內上班在路上所用時間不超過的天數為，求的分布列及數學期望.22．（10分）如圖，已知點是橢圓上的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線，的斜率都存在．（1）若直線過原點，求證：為定值；（2）若直線不過原點，且，試探究是否為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用奇函數的性質求出的值.【詳解】由題得，故答案為：D(1)本題主要考查奇函數的性質，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)奇函數f(-x)=-f(x).2、D【解析】

利用奇函數性質，將a轉化成，利用單調性比較函數值大小，先比較自變量的大小，再根據增函數，即可比較函數值的大小關系.【詳解】根據題意，為奇函數，則，又由，又由在上是增函數，則有，故選：D.比較指數值或對數值時可以跟1或0進行比較再排列出大小順序.3、B【解析】

根據等價轉化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數根，然后利用根的分布情況，可得，最后利用導數判斷單調性，可得結果.【詳解】令，依題意得方程有兩個不等正根，，則，，令，在上單調遞減，，故的取值范圍是，故選：B本題考查根據函數極值點求參數，還考查二次函數根的分布問題，難點在于使用等價轉化的思想，化繁為簡，屬中檔題.4、B【解析】分析：先根據經驗公式計算出弧田的面積，再利用扇形面積減去三角形面積得實際面積，最后求兩者之差.詳解：因為圓心角為2π3，弦長為403m因此根據經驗公式計算出弧田的面積為12實際面積等于扇形面積減去三角形面積，為12因此兩者之差為1600π3點睛：扇形面積公式12lr=125、B【解析】

構造函數，則得的單調性，再根據為奇函數得，轉化不等式為，最后根據單調性性質解不等式.【詳解】構造函數，則，所以在上單獨遞減，因為為奇函數，所以.因此不等式等價于，即，選B.利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造.構造輔助函數常根據導數法則進行：如構造，構造，構造，構造等6、A【解析】因，故當時，函數單調遞增，應選答案A。7、D【解析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為，且，所以，化為，解得，故選D.利用向量的位置關系求參數是命題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.8、B【解析】

根據二次根式的性質求出，再結合指數函數的性質求出，取交集即可．【詳解】，，解得：，而單調遞增，故值域：，，故選：．本題考查定義域值域的求法，考查交集等基本知識，是基礎題9、D【解析】

直接利用兩點間的距離公式求出t的值，再求出點的坐標.【詳解】由，得，則，則所求點的坐標為或.故選D本題主要考查直線的參數方程和兩點間的距離公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.10、C【解析】

根據題意推導出函數的對稱性和周期性，可得出該函數的周期為，于是得出可得出答案．【詳解】函數是上的奇函數，則，，所以，函數的周期為，且，，，，，，，故選C．本題考查抽象函數求值問題，求值要結合題中的基本性質和相應的等式進行推導出其他性質，對于自變量較大的函數值的求解，需要利用函數的周期性進行求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．11、D【解析】由得，設切點為，則，，，，對比，，，故選D.12、D【解析】

函數滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調遞減，在上單調遞增，的最小值為.又在單調遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點：1、利用導數研究函數的單調性；2、利用導數研究函數的極值及函數的求導法則.【方法點睛】本題主要考察抽象函數的單調性以及函數的求導法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結論進行類比、聯想、抽象、概括，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.本題通過觀察導函數的“形狀”，聯想到函數，再結合條件判斷出其單調性，進而得出正確結論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

用項式定理展開式通項公式求得第4項和第5項，由其和為0求得．【詳解】二項式展開式的第項為，第5項為，∴，解得．故答案為：1．本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，屬于基礎題．14、【解析】該同學通過測試的概率為，故答案為.15、【解析】分析：先求出函數的定義域，函數的導函數，令導函數小于0求出的范圍，寫成區間形式，可得到函數的單調減區間.詳解：函數的定義域為，，令，得函數的單調遞減區間是，故答案為.點睛：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，屬于簡單題.利用導數求函數的單調區間的步驟為：求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間.16、【解析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因為，，所以，故答案為.點睛：本題考查長方體的性質，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的取值為0或1或1．（1）見解析，【解析】

（1）根據甲組服務次數的平均值不小于乙組服務次數的平均值列不等式，由此求得的可能取值.（1）根據超幾何分布的分布列計算公式，計算出分布列并求得數學期望.【詳解】（1）甲組10名團員服務次數的平均值為，乙組10名團員服務次數的平均值為．由題意得，即．故圖中的取值為0或1或1．（1）由圖知，甲組“優秀志愿者”有1人，乙組“優秀志愿者”有3人．由題意，隨機變量的所有可能取值為1，1，3，則．所以的分布列為113故．本小題主要考查根據莖葉圖計算平均數，考查超幾何分布分布列和期望的計算，考查數據處理能力，屬于基礎題.18、（1）異面直線與所成角為；（2）與平面所成角的正弦值為；（3）二面角的大小為，的值為.【解析】分析：（1）由題意可得和的坐標，可得夾角的余弦值；（2）求出平面的法向量，即可求出答案；（3）設，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小為，即可求出t.詳解：（1）當時，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當時，，，，，，則，，設平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，設與平面所成角為，因為，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點睛：本題考查空間向量的數量積和模長公式.19、(1)；.(2).【解析】分析：第一問將參數方程消參，求得其普通方程，對于曲線，將方程兩邊同時乘以，再結合極坐標與直角坐標之間的轉換關系，求得極坐標方程，第二問將直線的參數方程寫出=成標準形式，代入曲線方程，整理，利用韋達定理求得兩根和與兩根積，結合直線出參數方程中參數的幾何意義求得結果.詳解：（1）由（為參數），可得的普通方程為，又的極坐標方程為，即，所以的直角坐標方程為．（2）的參數方程可化為（為參數），代入得：，設，對應的直線的參數分別為，，，，所以，，所以．點睛：該題考查的是有關坐標系與參數方程的知識，涉及到的知識點有參數方程與普通方程的互化，極坐標方程與平面直角坐標方程的轉化，直線的參數方程中參數的幾何意義等，在解題的過程中，需要注意韋達定理的應用以及直線的參數方程是否是標準式.20、（1）（2）線恒過定點，詳見解析【解析】

（1）根據焦距得到，根據圓心到直線的距離得到，由得到，從而得到橢圓方程；（2）直線，聯立得到，然后表示，代入韋達定理，得到和的關系，從而得到直線過的定點.【詳解】(1)由題意可得，即，由直線與圓相切，可得，解得，即有橢圓的方程為；(2)證明：設，將直線代入橢圓，可得，即有，，由，即有，代入韋達定理，可得，化簡可得，則直線的方程為，即，故直線恒過定點；本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的關系，橢圓中的定點問題，屬于中檔題.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解析】分析：（Ⅰ）先由題得到x=15,20,25,30，再求出其對應的概率，最后得到X的分布列和期望.（Ⅱ）利用二項分布求的分布列及數學期望.詳解：（Ⅰ），，，，的分布列為15202530所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用時間不超過的概率為，依題意，，分布列為，，012345.點睛：（1）本題主要考查隨機變量的分布列和數學期望，考查二項分布，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)若～則利用該公式可以提高計算效率.22、（1）見解析（2），詳見解析【解析】

（1）設，，由橢圓對稱