吉林省永吉縣實驗高級中學2025屆高二數學第二學期期末考試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件2．設是可導函數,且滿足,則曲線在點處的切線斜率為()A．4 B．-1 C．1 D．-43．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．4．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．35．設函數在上單調遞增，則實數的取值范圍()A． B． C． D．6．已知函數，若，且對任意的恒成立，則的最大值為A．3 B．4 C．5 D．67．設拋物線y2=2x的焦點為F，過點M(3,0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，BF=2，則△BCFA．23 B．34 C．48．設函數，若實數分別是的零點，則（）A． B． C． D．9．設集合，則的元素的個數為（）A． B． C． D．10．若曲線：與曲線：（其中無理數…）存在公切線，則整數的最值情況為（）A．最大值為2，沒有最小值 B．最小值為2，沒有最大值C．既沒有最大值也沒有最小值 D．最小值為1，最大值為211．連擲兩次骰子得到的點數分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．12．已知數列是等比數列，若則的值為（）A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數滿足，則的最小值____________．14．在斜三棱柱中，底面邊長和側棱長都為2，若，，且，則的值為________15．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量X，則P(X≤6)＝________.16．公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在前人的基礎上寫了一部劃時代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當時數學家們所研究的六大軌跡問題，其中之一便是“到兩個定點的距離之比等于不為1的常數的軌跡是圓”，簡稱“阿氏圓”．用解析幾何方法解決“到兩個定點，的距離之比為的動點軌跡方程是：”，則該“阿氏圓”的圓心坐標是______，半徑是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，.（1）討論函數的單調性；（2）已知，若存在使得，求實數的取值范圍.18．（12分）已知函數的定義域是，關于的不等式的解集為．（1）求集合；（2）已知，，若是的必要不充分條件，試求實數的取值范圍．19．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦距為4，且過點．（1）求橢圓的方程（2）設橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為，（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求和的直角坐標方程；（2）已知直線與軸交于點，且與曲線交于，兩點，求的值.21．（12分）已知四棱錐的底面為等腰梯形,,垂足為是四棱錐的高,為中點,設（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）伴隨著智能手機的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統支付的局限性和壁壘，有研究表明手機支付的使用比例與人的年齡存在一定的關系，某調研機構隨機抽取了50人，對他們一個月內使用手機支付的情況進行了統計，如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人數510151055使用手機支付人數31012721（1）若以“年齡55歲為分界點”，由以上統計數據完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“使用手機支付”與人的年齡有關；年齡不低于55歲的人數年齡低于55歲的人數合計使用不適用合計（2）若從年齡在[55，65），[65，75）內的被調查人中各隨機選取2人進行追蹤調查，記選中的4人中“使用手機支付”的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望；參考數據如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考格式：，其中

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】A：根據指數函數的性質可知恒成立，所以A錯誤．

B：當時，，所以B錯誤．

C：若時，滿足，但不成立，所以C錯誤．D：則，由充分必要條件的定義，，是的充分條件，則D正確．

故選D．2、D【解析】

由已知條件推導得到f′（1）=-4，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率．【詳解】由，得，∴曲線在點處的切線斜率為-4，故選：D.本題考查導數的幾何意義及運算，求解問題的關鍵，在于對所給極限表達式進行變形，利用導數的幾何意義求曲線上的點的切線斜率，屬于基礎題.3、B【解析】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，4、B【解析】可行域為一個三角形及其內部,其中，所以直線過點時取最小值，選B.5、A【解析】分析：求得函數的導數，令，求得函數的遞增區間，又由在上單調遞增，列出不等式組，即可求解實數的取值范圍．詳解：由函數，可得，令，即，即，解得，所以函數在上單調遞增，又由函數在上單調遞增，所以，解得，故選A．點睛：本題主要考查了根據函數的單調性利用導數求解參數的取值范圍問題，其中熟記導函數的取值正負與原函數的單調性之間的關系是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．6、B【解析】由,則=可化簡為,構造函數,,令,即在單調遞增,設,因為,,所以,且,故在上單調遞減,上單調遞增,所以,又,,即k的最小值為4,故選B.點睛:本題考查函數的恒成立和有解問題,屬于較難題目.首先根據自變量x的范圍,分離參數和變量,轉化為新函數g(x)的最值,通過構造函數求導判斷單調性,可知在上單調遞減,上單調遞增,所以,且,,通過對最小值化簡得出的范圍,進而得出k的范圍.7、C【解析】∵拋物線方程為y2∴拋物線的焦點F坐標為(12,0)如圖，設A(x1,y1)由拋物線的定義可得BF=x2+將x2=32代入∴點B的坐標為(3∴直線AB的方程為y-0-3-0將x=y22代入直線AB的方程整理得y2+(∴x1=2，∴在ΔCAA1中，∴|CB||CA|∴S△BCFS△ACF點睛：與拋物線有關的問題，一般情況下都與拋物線的定義有關，特別是與焦點弦有關的問題更是這樣，“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．8、A【解析】由題意得，函數在各自的定義域上分別為增函數，∵，又實數分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據所給的函數的解析式判斷單調性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據函數的單調性求得的取值范圍，其中借助0將與聯系在一起是關鍵．9、C【解析】分析：分別求出A和B，再利用交集計算即可.詳解：，，則，交集中元素的個數是5.故選：C.點睛：本題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.10、C【解析】分析：先根據公切線求出，再研究函數的最值得解.詳解：當a≠0時，顯然不滿足題意.由得，由得.因為曲線：與曲線：（其中無理數…）存在公切線，設公切線與曲線切于點，與曲線切于點，則將代入得，由得，設當x＜2時，，f(x)單調遞減，當x＞2時，，f(x)單調遞增.或a<0.故答案為：C點睛：（1）本題主要考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的最值，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是求出，再研究函數的最值得解.11、C【解析】

由，得出，計算出基本事件的總數以及事件所包含的基本事件數，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，所有的基本事件數為，因此，事件“”的概率為.故選：C.本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關鍵就是求出總的基本事件數和所求事件所包含的基本事件數，考查計算能力，屬于中等題.12、A【解析】

設數列{an}的公比為q，由等比數列通項公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，計算可得．【詳解】因故選：A本題考查等比數列的性質以及通項公式，屬于簡單題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據條件可得，然后利用基本不等式求解即可．【詳解】，，當且僅當，即時取等號，的最小值為．故答案為．本題考查了基本不等式及其應用，關鍵掌握“1“的代換，屬基礎題．14、4【解析】

根據向量線性運算分別表示出,結合向量數量積運算即可求解.【詳解】根據題意,畫出空間幾何體如下圖:,,,且,且底面邊長和側棱長都為2則,所以故答案為:4本題考查了空間向量的線性運算和數量積的應用,屬于基礎題.15、【解析】根據題意可知取出的4只球中紅球個數可能為4，3，2，1個，黑球相應個數為0，1，2，3個，其分值X相應為4，6，8，1．∴.16、2【解析】

將圓化為標準方程即可求得結果.【詳解】由得：圓心坐標為：，半徑為：本題正確結果：；本題考查根據圓的方程求解圓心和半徑的問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）求導數，討論的不同范圍得到單調區間.（2）設函數，，函數單調遞增推出，解得答案.【詳解】（1）的定義域為.，，則.當時，則，在單調遞減；當時，，有兩個根，，不妨設，則，，由，，所以.所以時，，單調遞減；，或，單調遞增；當時，方程的，則，在單調遞增；綜上所述：當時，的減區間為；當時，的減區間為，增區間為和.當時，的增區間為.（2），，，所以在單調遞增，，，要使得在有解，當且僅當，解得：.本題考查了函數的單調性，存在性問題，構造，判斷是解題的關鍵.18、（1）當時，；當時，；當時，（2）【解析】

（1）由含參二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；（2）由函數定義域的求法求得，再結合命題間的充要性求解即可.【詳解】解：（1）因為，所以，當時，；當時，方程無解；當時，，故當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（2）解不等式，即，即，解得，即，由，，若是的必要不充分條件，可得是的真子集，則當時，則，即；當時，顯然滿足題意；當時，則，即，綜上可知：，故實數的取值范圍為.本題考查了函數定義域的求法、含參二次不等式的解法及充要條件，重點考查了分類討論的數學思想方法及簡易邏輯，屬中檔題.19、（1）；（2）存在直線滿足題設條件,詳見解析【解析】

（1）由已知列出關于，，的方程組，解得，，，寫出結果即可；（2）由已知可得，，．所以，因為，所以可設直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．設，，，，由根與系數的關系寫出兩根之和和兩根之積的表達式，再由垂心的性質列出方程求解即可．【詳解】（1）由已知可得，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）由已知可得，，∴.∵，∴可設直線的方程為，代入橢圓方程整理，得.設，則，∵.即∵即，∵∴或.由，得又時，直線過點，不合要求，∴，故存在直線滿足題設條件.本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系應用，以及垂心的定義應用。意在考查學生的數學運算能力。20、（1）直線的直角坐標方程為，的普通方程；（2）.【解析】

（1）利用將直線的極坐標方程轉化為直角坐標方程.利用將曲線的參數方程轉化為直角坐標方程.（2）先求得點的坐標，寫出直線的參數方程并代入的直角坐標方程，寫出韋達定理，利用直線參數的幾何意義求解出所要求的表達式的值.【詳解】解：（1）因為直線的極坐標方程為，所以直線的直角坐標方程為.因為曲線的參數方程為（為參數），所以曲線的普通方程.（2）由題可知，所以直線的參數方程為，（為參數），代入，得.設，兩點所對應的參數分別為，，則，..本小題主要考查極坐標方程、參數方程轉化為直角坐標方程，考查直線參數方程的幾何意義，屬于中檔題.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】分析：（1）以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明·＝0即得PE⊥BC.（2）利用線面角的向量公式求直線與平面所成角的正弦值．詳解：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)證明：設C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因為·＝-＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．設n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則，即，因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－