安徽省2024屆“耀正優+”12月高三名校階段檢測聯考數學試題一、選擇題1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，則下列說法正確的是（）A.函數的圖像關于原點對稱B.函數在$(-\infty,+\infty)$上單調遞增C.函數在$x=1$處取得極大值D.函數在$x=2$處取得極小值2.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，則數列的前$n$項和$S_n$可以表示為（）A.$S_n=2^n-1$B.$S_n=2^n+n-1$C.$S_n=2^n-2n+1$D.$S_n=2^n-2n$3.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項為$a_1$，則下列說法正確的是（）A.若$a_1>0$，則$d>0$B.若$a_1<0$，則$d<0$C.若$a_1=0$，則$d=0$D.若$a_1\neq0$，則$d\neq0$4.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，首項為$a_1$，則下列說法正確的是（）A.若$a_1>0$，則$q>0$B.若$a_1<0$，則$q<0$C.若$a_1=0$，則$q=0$D.若$a_1\neq0$，則$q\neq0$5.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}$，則下列說法正確的是（）A.函數在$(0,+\infty)$上單調遞增B.函數在$(-\infty,0)$上單調遞增C.函數在$(0,+\infty)$上單調遞減D.函數在$(-\infty,0)$上單調遞減二、填空題6.已知函數$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，則函數的定義域為______。7.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，則數列的前$n$項和$S_n$為______。8.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項為$a_1$，則數列的第$n$項$a_n$為______。9.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，首項為$a_1$，則數列的第$n$項$a_n$為______。10.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}$，則函數的圖像與$y=1$的交點坐標為______。三、解答題11.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：（1）函數的導數$f'(x)$；（2）函數的極值點及極值；（3）函數的單調區間。12.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，求：（1）數列的前$n$項和$S_n$；（2）數列的通項公式$a_n$。13.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項為$a_1$，求：（1）數列的第$n$項$a_n$；（2）數列的前$n$項和$S_n$。14.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，首項為$a_1$，求：（1）數列的第$n$項$a_n$；（2）數列的前$n$項和$S_n$。15.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}$，求：（1）函數的導數$f'(x)$；（2）函數的極值點及極值；（3）函數的單調區間。四、解答題16.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：（1）函數的導數$f'(x)$；（2）函數的極值點及極值；（3）函數的單調區間。五、解答題17.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=4^n-3^n$，求：（1）數列的前$n$項和$S_n$；（2）數列的通項公式$a_n$。六、解答題18.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項為$a_1$，且$a_1+a_3=10$，$a_2+a_4=18$，求：（1）數列的第$n$項$a_n$；（2）數列的前$n$項和$S_n$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$，通過導數的符號變化可以判斷出在$x=2$處取得極小值。2.C解析：數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，前$n$項和$S_n=2^1-1+2^2-1+...+2^n-1=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-2-n$。3.D解析：等差數列的公差$d$可以大于0、小于0或等于0，只要首項$a_1$和公差$d$的符號相同，數列就是遞增的；如果符號不同，數列就是遞減的。4.D解析：等比數列的公比$q$可以大于0、小于0或等于0，只要首項$a_1$和公比$q$的符號相同，數列就是遞增的；如果符號不同，數列就是遞減的。5.C解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上單調遞減，在$(-\infty,0)$上單調遞減。二、填空題6.$\{x|x\leq-2\text{或}x\geq2\}$解析：函數$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域要求$x^2-4\geq0$，解得$x\leq-2$或$x\geq2$。7.$S_n=2^{n+1}-2-n$解析：數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，前$n$項和$S_n=(3^1-2^1)+(3^2-2^2)+...+(3^n-2^n)=3(3^n-1)-2(2^n-1)=3^{n+1}-3-2^{n+1}+2=2^{n+1}-2-n$。8.$a_n=a_1+(n-1)d$解析：等差數列的第$n$項$a_n$可以通過首項$a_1$和公差$d$計算得到，即$a_n=a_1+(n-1)d$。9.$a_n=a_1q^{n-1}$解析：等比數列的第$n$項$a_n$可以通過首項$a_1$和公比$q$計算得到，即$a_n=a_1q^{n-1}$。10.$(1,1)$解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}$與$y=1$的交點滿足$\frac{1}{x}=1$，解得$x=1$，因此交點坐標為$(1,1)$。三、解答題11.（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$（2）極值點為$x=1$和$x=2$，極大值為$f(1)=3$，極小值為$f(2)=-1$。（3）函數在$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$上單調遞增，在$(1,2)$上單調遞減。12.（1）$S_n=2^{n+1}-2-n$（2）$a_n=2^n-1$13.（1）$a_n=a_1+(n-1)d$（2）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$14.（1）$a_n=a_1q^{n-1}$（2）$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\neq1$），$S_n=a_1n$（$q=1$）15.（1）$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$（2）極值點為$x=0$（不包含在定義域內），沒有極值。（3）函數在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上單調遞減。四、解答題16.（1）$f'(x)=3x^2-12x+9$（2）極值點為$x=1$和$x=3$，極大值為$f(1)=5$，極小值為$f(3)=-2$。（3）函數在$(-\infty,1)$和$(3