第二常根本初等函數〔I〕

一、課標要求：

教材把指數函數，對數函數，塞函數當作三種重要的函數模型來學習，強調通過實例和圖象的直觀,

揭示這三種函數模型增長的差異及其關系，體會建立和研究一個函數模型的根本過程和方法，學會運用

具體函數模型解決些實際問題.

I.了解指數函數模型的實際背景.

2.理解有理數指數幕的意義，通過具體實例了解實數指數幕的意義，掌握幕的運算.

3.理解指數函數的概念和意義，掌握./U)="的符號、意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數

函數的圖象，探索并理解指數函數的有關性質(單調性、值域、特別點).

4.通過應用實例的教學，體會指數函數是一種重要的函數模型.

5.理解對數的概念及其運算性質，了解對數換底公式及其簡單應用，能將一般對數轉化為常用對

數或自然對數，通過閱讀材料，r解對數的發現歷史及其對簡化運算的作用.

6.通過具體函數，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，掌握

J(x)=logtlx符號及意義，體會對數函數是一類重要的函數模型，能借助計算器或計算機畫出具體對數函

數的圖象，探索并了解對數函數的有關性質(單調性、值域、特殊點).

7.知道指數函數產爐與對數函數互為反函數(。＞0,,初步/解反函數的概念和

/“(x)的意義.

8.通過實例，了解探函數的概念，結合五種具體函數y=x,y=x\y=xT,y=爐的圖象，了解

它們的變化情況.

二、編寫意圖與教學建議：

I.教材注重從現實生活的事例中引出指數函數概念，所舉例子比擬全面，有利于培養學生的思想素

質和激發學生學習數學的興趣和欲望.教學中要充分發揮課本的這些材料的作用，并盡可?能聯系?些熟

悉的事例，以豐富教學的情景創設.

2.在學習對數函數的圖象和性質時，教材將它與指數函數的有關內容做了比擬，讓學生體會兩種

函數模型的增長區別與關聯，滲透了類比思想.建議教學中重視知識間的遷移與互逆作用.

3、教材對反函數的學習要求僅限于初步知道概念，目的在于強化指數函數與對數函數這兩種函數

模型的學習，教學中不宜對其定義做更多的拓展.

4.教材對幕函數的內容做了削減，僅限于學習五種學生易于掌握的密函數，并且安排的順序向后

調整，教學中應防止增加這局部內容，以免增加學生學習的負擔.

5.通過運用計算機繪制指數函數的動態圖象，使學生進一步體會到信息技術在數學學習中的作用,

教師要盡量發揮電腦繪圖的教學功能.?

6.教材安排了“閱讀與思考”的內容,有利于加強數學文化的教育，成指導學生認真研讀.

三、教學內容與課時安排的建議

本章教學時間約為14課時.

2.1指數函數：6課時

2.2對數函數：6課時

2.3幕函數：1課時

小結：1課時

§摘數〔第1—2需時〕

一.教學目標：

I.知識與技能：(1)理解分數指數事和根式的概念；

(2)掌握分數指數暴和根式之間的互化；

(3)掌握分數指數基的運算性質；

(4)培養學生觀察分析、抽象等的能力.

2.過程與方法：

通過與初中所學的知識進行類比，分數指數暴的概念，進而學習指數寤的性質.

3.情態與價值

(I)培養學生觀察分析，抽象的能力，滲透“轉化”的數學思想；

(2)通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣：

(3)讓學生體驗數學的簡潔美和統一美.

二.重點、難點

1.教學重點：U)分數指數幕和根式概念的理解：

(2)掌握并運用分數指數暴的運算性質；

2.教學難點：分數指數幕及根式概念的理解

三.學法與教具

1.學法：講授法、討論法、類比分析法及發現法

2.教具：多媒體

四、教學設想：

第一課時

一、復習提問：

什么是平方根？什么是立方根？一個數的平方根有幾個，立方根呢？

歸納：在初中的時候我們已經知道：假設/=〃，那么x叫做。的平方根.同理，假設那

么x叫做。的立方根.

根據平方根、立方根的定義，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如4的平方根為±2,負

數沒有平方根，一個數的立方根只有一個，如一8的立方根為一2；零的平方根、立方根均為零.

二、新課講解

類比平方根、立方根的概念，歸納出n次方根的概念.

〃次方根：一般地，假設那么x叫做。的〃次方根(throot),其中〃>1,且〃￡N*,當

〃為偶數時，〃的〃次方根中，正數用板表示，如果是負數，用-%表示，喝叫做根式.〃為奇數時,

。的〃次方根用符號標表示，其中〃稱為根指數，。為被開方數.

類比平方根、立方根,猜測：當〃為偶數時，一個數的〃次方根有多少個？當〃為奇數時呢?

"為奇數,。的〃次方根有一個,為加

。為正數：4

〃為偶數,。的〃次方根有兩個,為±或1

、/存物[〃為奇數，。的〃次方根只有一個，為赤

。為負數：〈

為偶數，。的〃次方根不存在.

零的〃次方根為零，記為a二0

舉例：16的次方根為±2,-27的5次方根為47等等，而-27的4次方根不存在.

小結：一個數到底有沒有〃次方根，我們一定先考慮被開方數到底是正數還是負數，還要分清〃為

奇數和偶數兩種情況.

根據〃次力根的怠義，可得：

麗)"=。

(%)〃=。肯定成立，折表示小的n次方根，等式。二。一定成立嗎？如果不一定成立，那

么如等于什么？

讓學生注意討論，〃為奇偶數和〃的符號，充分讓學生分組討論.

通過探究得到：，?為奇數，仃=々

〃為偶數，=|〃|=("。-。

[-a,a<0

小結：當〃為偶數時，歷化簡得到結果先取絕對值，再在絕對值算具體的值，這樣就防止出現錯

誤：

例題：求以下各式的值

⑴(1)將不⑵“-IO,(3)&3—兀y(4)"b￥

分析：當〃為偶數時，應先寫然后再去絕對值.

思考：而=(夜)”是否成立，舉例說明.

課堂練習：1.求出以下各式的值

(DV^)7(2)[-a-3)3.21)⑶依1)“

2.假設J/—2a+l=。一1,求他取值范圍.

3.計算而護+#(3-2

三.歸納小結：

1.根式的概念：假設〃>1月.〃那么x是。的n次方根,n為奇數時后,

〃為偶數時，工=±標；

2.掌握兩個公式：〃為奇數時，(標)”，〃為偶數時"0)

-4(4<0)

3.作業：P69習題2.1A組第I題

第二課時

提問：

I.習初中時的整數指數暴，運算性質？

二4。。…=1(。-0),0°無意義

/〃=5("0)

""?/=""+〃；(a,ny,=a,,,n

(ab)n=anbn

什么叫實數？

有理數，無理數統稱實數.

2.觀察以下式子，并總結出規律：a>0

①二九2)5=〃2=[②"=J(/)2=/=Q

③冊=胸)4=/=1④妤=3(/)5=〃2=」

小結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式，(分數指

數塞形式).

根式的被開方數不能被根指數整除時，根式是否也可以寫成分數指數哥的形式.如：

V?=仆=(?>0)

加=京=(b>0]

V?==(c>0)

即："=。飛〉。,〃￡*,〃>])

為此，我們規定正數的分數指數幕的意義為:

an=\/a^(a>0,in,neN")

正數的定負分數指數基的意義與負整數辱的意義相同.

-巴1

即：an=——(4>N")

規定：0的正分數指數疑等于0,0的負分數指數基無意義.

說明：規定好分數指數幕后，根式與分數指數累是可以互換的，分數指數幕只是根式的一種新的寫

2_L1

法，而不是am=aman,(a>0)

由于整數指數累，分數指數暴都有意義，因此，有理數指數塞是有意義的，整數指數幕的運算性質,

可以推廣到有理數指數曷，即：

(1)ar-as=ar's{a>0,r,seQ)

rsrs

(2)(a)=a(a>09rtseQ)

(3)(a?b)r=arbr(Q>0^>0,rGQ)

假設OA0,P是一個無理數，那么P該如何理解？為了解決這個問題，引導學生先閱讀課本P62-

P62.

即：V2的缺乏近似值，從由小于近的方向逼近血,血的過剩近似值從大于血的方向逼近J5.

所以，當庭缺乏近似值從小于近的方向逼近時，5&的近似值從小于5、’的方向逼近5頁.

當血的過剩似值從大于近的方向逼近血時，5&的近似值從大于的方向逼近5?,(如課本

圖所示)

所以，5五是一個確定的實數.

一般來說，無理數指數哥是一個無理數)是一個確定的實數，有理數指數需的性質同

樣適用于無理數指數塞.無理指數寤的意義，是用有理指數塞的缺乏近似值和過剩近似值無限地逼近以確

定大小.

思考：24的含義是什么？

由以上分析，可知道，有理數指數基，無理數指數鼎有意義，且它們運算性質相同，實數指數哥有

意義，也有相同的運算性質，即：

ar-a=ar+s(a>0,rwR,swR)

(ar)x=a"(a>0,rwR,swR)

(ab)r=arbr(a>^reR)

3.例題

(1).(P60,例2)求值

解：①85=(23p=23^=22=4

③(I)-5=(27)-5=2-卬-5)=32

2

16--24x(-2)2,27

④喘)4(-)4=(-)-3=—

338

(2).(P60,例3)用分數指數暴的形式表或以下各式(?>0)

3+1-

解：cc'.yfa=ay-a2=a2=a2

分析：先把根式化為分數指數累，再由運算性質來運算.

課堂練習：P63練習第1,2,3,4題

補充練習：

(2”.(!嚴

1.計算：-------2_的結果

4〃8-2

2.假設%=3,40=384,求生?[(%戶廣3的值

%

小結：

1.分數指數是根式的另一種寫法.

2.無理數指數哥表示一個I角定的實數.

3.掌握好分數指數累的運算性質，其與整數指數塞的運算性質是一致的.

作業：P69習題2.1第2題

第三課時

一.教學目標

1.知識與技能：

(1)掌握根式與分數指數錄互化；

(2)能熟練地運用有理指數哥運算性質進行化簡，求值.

2.過程與方法：

通過訓練點評，讓學生更能熟練指數哥運算性質.

3.情感、態度、價值觀

(1)培養學生觀察、分析問題的能力；

(2)培養學生嚴譚的思維和科學正確的計算能力.

二.重點、難點：

1.重點：運用有理指數哥性質進行化簡，求值.

2.難點：有理指數寤性質II勺靈活應用.

三.學法與教具：

1.學法：講授法、討論法.

2.教具：投影儀

四.教學設想：

1.復習分數指數第的概念與其性質

2.例題講解

例1.中60,例4）計算以下各式（式中字母都是正數）

22I115

（1）（2。3b2）（_6〃33）+（-3。辦4）

I3

⑵（加〃a）8

（先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析、提問、解答）

分析：四那么運算的順序是先算乘方；再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號的.整數幕的運

算性質及運算規律擴充到分數指數暴后，其運算順序仍符合我們以前的四那么運算順序.

我們看到（1）小題是單項式的乘除運算；（2）小題是乘方形式的運算，它們應讓如何計算呢？

其實，第（1）小題是單項式的乘除法，可以用單項式的運算順序進行.

第（2）小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按呆的乘方進行計算.

2+|_||+1_5

解，（1）原式=[2乂（-6）+（-3）]戶號立右飛

=4而°

二4。

2_3

(2)原式=(?)8(〃力8

例2.(P6I例5)計算以下各式

⑴(V25-VI25)^^25

2

（2）=L（。＞0）

分析：在第（1）小題中，只含有根式，且不是同類根式，比擬難計算，但把根式先化為分數指數

冢再計算，這樣就簡便多了，同樣，第（2）小題也是先把根式轉化為分數指數幕后再由運算法那么計

算.

解:⑴原式=（253-1253）+25*

23|

=（55-52）-5-52

2_131

=57"5釬

=5^-5

=</5-5

(2)原式)《不=4々=5/

a2?涼

小結：運算的結果不強求統一用哪一種形式表示，但不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分

母，又含有負指數.

課堂練習：

化簡：

2___9

(1)

(2)J3+2應-，3-20

(3)

歸納小結：

1.熟練掌握有理指數幕的運算法那么，化簡的根底.

2.含有根式的式子化簡，一般要先把根式轉化為分數指數事后再計算.

作業：P65習題2.1

A組第4題

B組第2題

措致而數及其倏質〔2個解時〕

一.教學目標：

1.知識與技能

①通過實際問題了解指數函數的實際背景；

②理解指數函數的概念和意義，根據圖象理解和掌握指數函數的性質.

③體會具體到一般數學討論方式及數形結合的思想；

2.情感、態度、價值觀

①讓學生了解數學來自生活，數學又效勞于生活的哲理.

②培養學生觀察問題，分析問題的能力.

3.過程與方法

展示函數圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函數的性質.

二.重、難點

重點：指數函數的概念和性質及其應用.

難點：指數函數性質的歸納，概括及其應用.

三、學法與教具：

①學法：觀察法、講授法及討論法.

②教具：多媒體.

第一課時

一.教學設想：

1.情境設置

①在本章的開頭，問題（1）中時間X與GDP值中的》=1.073'"￡X工20）與問題（2）

中時間t和C-14含量P的對應關系P二［（：）旃丫,請問這兩個函數有什么共同特征.

②這兩個函數有什么共同特征

把P=［弓）焉］變成P=［（g）焉丫，從而得出這兩個美系式中的底數是一個正數，自變量為指數，即都

可以用y=?'（。＞0且。#1來表示）.

二.講授新課

指數函數的定義

一般地，函數》=優且叫做指數函數，其中X是自變量，函數的定義域為R.

提問：在以下的關系式中，哪些不是指數函數，為什么？

（1）y=2"2（2）y=（-2）r（3）y=-T

（4）y=TTX（5）y=x2（6）y=4x2

（7）y=xv⑻y=（a-1）v且。工2）

小結：根據指數函數的定義來判斷說明：因為。＞0,“是任意一個實數時，罐是一個確定的實數,

所以函數的定義域為實數集R.

廿八（當等于（）

若a=0"

［當xW0H寸，優無意義

假設。V0,如丁=（一2『元時，對于=L等等，在實數范圍內的函數值不存在.

68

假設。=1,y=lr=l,是一個常量，沒有研究的意義，只有滿足），=優（。＞0,且。工1）的形式才

1

能稱為指數函數，。為常數，象廠23,y0，），=/,），=3叱）,=3、+1等等，不符合

＞=＞（）且。*1）的形式,所以不是指數函數.

我們在學習函數的單調性的時候，主要是根據函數的圖象，即用數形結合的方法來研究.下面我們

通過

先來研究。＞1的情況

用計算機完成以下表格，并且用計算機畫出函數），=2'的圖象

X-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00

從圖中我們看出），=2'與），=（》'的圖象有什么關系？

通過圖象看出），二2八與），=§））的圖象關于）軸對稱，實質是y=2、上的點（-A；y）

與產（：尸上點（.），）關于），軸對稱.

討論：y=2、與），=（；）'的圖象關于y軸對稱，所以這兩個函數是偶函數，對嗎？

②利用電腦軟件畫出y=5"=3"嗎"=(乎的函數圖象.

問題：1：從畫出的圖象中，你能發現函數的圖象與底數間有什么樣的規律.

y=ax[O<a<\)y=a\a>1)

0

從圖上看y="(a>1)與y=優(OVaVl)兩函數圖象佗特征.

問題2：根據函數的圖象研究函數的定義域、值域、特殊點、單調性、最大(小)值、否偶性.

問題3：指數函數>=，且。#1),當底數越大時，函數圖象間有什么樣的關系.

圖象特征函數性質

a>\0<。VIa>\0<a<\

向x軸正負方向無限延伸函數的定義域為R

圖象關于原點和)，軸不對稱非奇非偶函數

函數圖象都在x軸上方函數的值域為R+

函數圖象都過定點(0,1)

自左向右，自左向右，

增函數減函數

圖象逐漸上升圖象逐漸下降

在第一象限內的圖在第一象限內的圖

x>0,ax>1x>0,ax<1

象縱坐標都大于1象縱坐標都小于1

在第二象限內的圖在第二象限內的圖

xVO,ax<1x<0,ax>1

象縱坐標都小于1象縱坐標都大于1

5.利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

(1)在3向上J(上二優">0且值域是"(GJS)]或"S)"(a)];

⑵假設X工0,貝曠(x)工：；/(X)取遍所后正數當且僅當XwR;

13)對于指數函數/(工)=〃、(。>0且。#1),總有了。)二。；

(4)當。>1時，假設M<々，那么/(M)</52)；

例題：

例1：(P66例6)指數函數/(幻=優(。>0且。W1)的圖象過點(3,無)，求

〃0),/⑴,/(-3)的值.

￡

分析：要求f(0)J⑴,/(-3)的值，只需求出得出fCv)=(齊尸，再把0,1,3分別代入x,即

可求得/(0),/⑴,/(—3).

提問：要求出指數函數，需要幾個條件？

課堂練習：P68練習：第1,2,3題

補充練習：1、函數/")=(；)'的定義域和值域分別是多少？

2、當x￡[-1,1：時,函數了")=3、—2的值域是多少？

解(1)XG/?,y>0

(2)1)

3

例2：求以下函數的定義域:

分析：類為y="(awl,a>0)的定義域是R，所以，要使(1),(2)題的定義域，保要使其指

數局部有意義就得.

3.歸納小結

作、也：P69習題2.1A組第5、6題

1、理解指數函數y=a\a>0),注意a>1與0vav1兩種情況"

2、解題利用指數函數的圖象，可有利于清晰地分析題目，培養數型結合與分類討論的數學思想.

第2課時

教學過程：

1、復習指數函數的圖象和性質

2、例題

例1：卬66例7)比擬以下各題中的個值的大小

(1)1.72-5與1.73

(2)08°」與0.8”

(3)1.7°3與0.93-1

解法1：用數形結合的方法，如第(1)小題，用圖形計算器或計算機畫出＞=1.7?'的圖象，在圖

象上找出橫坐標分別為2.5,3的點，顯然，圖象上橫坐標就為3的點在橫坐標為2.5的點的上方，所以

1.725<1.7\

解法2：用計算器直接計算：1.725*3.771.73?4.91

所以，1以25VL73

解法3：由函數的單調性考慮

因為指數函數y=1.7'在R上是增函數，且2.5V3,所以，1.72'VL73

仿照以上方法可以解決第(2)小題.

注：在第(3)小題中，可以用解法1,解法2解決，但解法3不適合.

由于1.7°-3=0?9浦不能直接看成某個函數的兩個值，因此，在這兩個數值間找到1,把這兩數

值分別與1比擬大小，進而比擬1.7鋁與0.93』的大小.

思考：

1、。=0.8°7,"=0.8°\。=1.208,按大小順序排列

2.比擬4,與標的大小(。＞0且aWO).

指數函數不僅能比擬與它有關的值的大小，在現實生活中，也有很多實際的應用.

例2(P67例8)截止到1999年底，我們人口喲13億，如果今后，能將人口年平均均增長率控制

在1%,那么經過20年后，我國人口數最多為多少1精確到億)？

分析：可以先考試一年一年增長的情況，再從中發現規律，最后解決問題：

1999年底人口約為13億

經過1年人口約為13(1+1%)億

經過2年人口約為13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)?億

經過3年人口約為13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3億

經過X年人口約為13(1+1%產億

經過20年人口約為13(1+1%產億

解：設今后人口年平均增長率為1%,經過X年后，我國人口數為)，億，那么

3=13(1+1%)*

當x=20時，y=13(l+l%產方16(億)

答：經過20年后，我國人口數最多為16億.

小結：類似上面此題，設原值為N,平均增長率為尸，那么對于經過時間x后總量

)，=川(1+〃)\像3=川(1+〃)"等形如9=履'(長€汽,。＞0且。/1)的函數稱為指數型函數.

思考：P68探究：

(I)如果人口年均增長率提高I個平分點，利用計算器分別計算20年后，33年后的我國人口數.

(2)如果年平均增長率保持在2%,利用計算器2020~2100年，每隔5年相應的人口數.

(3)你看到我國人口數的增長呈現什么趨勢？

(4)如何看待方案生育政策？

3.課堂練習

①力二%②

3

(3)用清水漂洗衣服，假設每次能洗去污垢的二，寫出存留污垢y與漂洗次數x的函數關系式,

4

假設要使存留的污垢，不超過原有的1%,那么少要漂洗幾次(此題為人教社B版101頁第6題).

歸納小結：本節課研究了指數函數性質的應用，關鍵是要記住。＞1或OVaV時)，="的圖象,

在此根底上研究其性質.本節課還涉及到指數型函數的應用，形如y=(。＞0且。#1).

作業：P69A組第7,8題P70B組第1,4題

對數〔笫一理時〕

一.教學目標：

1.知識技能：

①理解對數的概念，了解對數與指數的關系；

②理解和掌握對數的性質；

③掌握對數式與指數式的關系.

2.過程與方法：

通過與指數式的比擬，引出對數定義與性質.

3.情感，態度，價使觀

(1)學會對數式與指數式的互化，從而培養學生的類比、分析、歸納能力.

(2)通過對數的運算法那么的學習，培養學生的嚴謹的思維品質.

(3)在學習過程中培養學生探究的意識.

(4)讓學生理解平均之間的內在聯系，培養分析、解決問題的能力.

二.重點與難點：

(1)重點：對數式與指數式的互化及對數的性質

(2)難點：推導對數性質H勺

三.學法與教具：

(1)學法：講授法、討論法、類比分析與發現

(2)教具：投影儀

四.教學過程：

1.提出問題

思考：(P72思考題)y=13x1.01'^,哪一年的人口數要到達10億、20億、30億……，該如何

解決？

1Qof)30

即：匕=1.01*,'=1.01-二=1.01",在個式子中，X分別等于多少？

131313

象上面的式于，底數和系的值，求指數，這就是我們這節課所要學習的對數(引出對數的概念).

1、對數的概念

一般地，假設/=N(〃＞0,且。工1),那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=k)g〃N

。叫做對數的底數，N叫做真數.

2

舉例：如：4=16jij2=log416,讀作2是以4為底，16的對數.

111

牛=2,那么一=log42,讀作一是以4為底2的對數.

22

提問：你們還能找到那些對數的例子

2、對數式與指數式的互化

在對數的概念中，要注意：

(1)底數的限制。＞0,且

(2)優=N。log“N=x

指數式O對數式

鼎底數一a-對數底數

指數一X一對數

鼎一N-真數

說明：對數式log”N可看作一記號，表示底為。(。＞0,且。工1),塞為N的指數工表示方程

ax=N(。＞0,且的解.也可以看作一種運算，即底為。(。＞0,且aWl)事為N,求塞指

數的運算.因此，對數式log“N又可看箱運算的逆運算.

例題：

例1(P73例1)

將以下指數式化為對數式，對數式化為指數式.

⑶

[1)54=645(2)2~6=—(If=5.73

64

(4)log,16=-4(5)loglo0.01=-2(6)logr10=2.303

2

注：(5)、(6)寫法不標準，等到講到常用對數和自然對數后，再向學生說明.

[讓學生自己完成，教師巡視指導)

穩固練習：P74練習1、2

3.對數的性質：

提問：因為。＞0,。工1時，”'=N=x=log「v

那么由2、如何轉化為對數式

②負數和零有沒有對數？

③根據對數的定義，二？

(以上三題由學生先獨立思考，再個別提問解答)

由以上的問題得到

①v=1,a1=a(a＞0,且aNl)

②???。＞0,且對任意的力，log1°N常記為lgN.

恒等式：…=N

4、兩類對數

①以10為底的對數稱為常用對數，log1°N常記為IgN.

②以無理數e=2.7l828…為底的對數稱為自然對數，log°N常記為InN.

以后解題時，在沒有指出對數的底的情況下，都是指常用對數，如10()的對數等于2,即電100=2.

說明：在例1中,logioO.Ol應改為1g0.01,logJO應改為In10.

例2：求以下各式中x的值

2

(1)log64A：=-^(2)logK8=6(3)Igl()()=x⑷-lne=x

分析：將對數式化為指數式，再利用指數鼎的運算性質求出工

_2_2321

解：(1)x=(64)3=(43)3=43=4-2=—

16

!!11

(2)x6=8,所以(f"=(8"=(23)6=2受=加

(3)10、=100=1()2,于是工=2

(4)由一In/=x，得-x=In/,即c'=/

所以x=—2

課堂練習；P74練習3,4

補充練習：1.將以下指數式與對數式互化，有X的求出X的值.

11

11)52=—(2)log屋(3)3'=——

后27

(4)F)v=64(5)lgO.(XX)l=x(6)lni=x

4

2.求。砥,"砥'的值(a,b,ceR+,且不等于1,N>0).

3.計算3嘀括+6嗝(的值.

4.歸納小結：對數的定義

=Nob=log/(a>0且4H1)

C1的對數是零，負數和零沒有對數

對數的性質logaa=1a>0且aWI

"嗚N=N

作業：P86習題2.2A組1、2

P88B組1

對數〔笫二扉時〕

一.教學目標：

1.知識與技能

①通過實例推導對數的運算性質，準確地運用對數運算性質進行運算，求值、化簡，并掌握化簡求

值的技能.

②運用對數運算性質解決有關問題.

③培養學生分析、綜合解決問題的能力.

培養學生數學應用的意識和科學分析問題的精神和態度.

2.過程與方法

①讓學生經歷并推理出對數的運算性質.

②讓學生歸納整理本節所學的知識.

3.情感、態度、和價值觀

讓學生感覺對數運算性質的重要性，增加學生的成功感，增強學習的積極性.

二.教學重點、難點

重點：對數運算的性質與對數知識的應用

難點：正確使用對數的運算性質

三.學法和教學用具

學法：學生自主推理、討論和概括，從而更好地完本錢節課的教學目標.

教學用具：投影儀

四.教學過程

1.設置情境

復習：對數的定義及對數恒等式

h

logt/N=ba=N(a>0,且。Wl,N>0),

指數的運算性質.

mnmn

a^a=a-

(a,n),,=amn;丘=/

2.講授新課

探究：在上課中，我們知道，對數式可看作指數運算的逆運算，你能從指數與對數的關系以及指數

運算性質，得出相應的對數運算性質嗎？如我們知道"〃?/=""+〃，那根+〃如何表示，能用對數式運

算嗎？

如：a,n-an=am+\設M=/',N=/。于是MN=。所”，由對數的定義得到

M=a"om=log”M,N=a"on=logzJN

MN=a,,,+nom+n=log,MN

.?.logaM+logKN=log,MN(放出投影)

BP：同底對數相加，底數不變，真數相乘

提問：你能根據指數的性質按照以上的方法推出對數的其它性質嗎？

(讓學生探究，討論)

如果。>0且。六1,M>0；N>0,那么：

(1)log,MN=log”M+log”N

M

⑵log“元=log,M-log.N

n

(3)\ogaM=n\ogaM(we7?)

證明：

(1)令M="",N=a"

那么：—=am^-an=am-n

N

.M

二.m-n—log?—

"N

又由M=/,N=cT

in=log”M,n=log“N

,,M

u即tl：log“M-log“N=m-n=log”——

N

N

⑶〃工0時，令N=log〃M”,則M=a；

b

b=nlog”M,則M=a"

N_h

a7=a7,

:.N=b

M

即log,五=log“M-log*

當〃:0時，顯然成立.

n

/.\ogaM=n\ogaM

提問：1.在上面的式子中，為什么要規定。>0,且M>0,N>0?

2.你能用自己的語言分別表述出以上三個等式嗎？

例題：1.判斷以下式子是否正確，。>0且aKI,x>0且。#1,x>0,x>y,那么有

(1)log”xlog。y=log〃(x+y)⑵log“X一log"y=10g“(x-y)

x

⑶10ga-=logax4-logfly(4)\ogaxy=\ogax-\ogay

y

⑸(log.幻"=〃log”元(6)logx=-log-

dttx

⑺yiog“x=-iog〃x

n

例2：用10gL,log“y,log“z表示出⑴(2)小題，并求出⑶、(4)小題的值.

75

(I)log”？(2)⑶Iogz(4x2)(4)IgVlOO

z>/8

分析?：利用對數運算性質直接計算：

(1)log”—=log”盯Tog”z=log”X+logy-logz

zt/a

,r~

(2)Ioga=log?-bg“妮=]og“Y+log,6Tog“痣

…1.1,

=21ogax+-logfly--logflz

乙J

7575

(3)log2(4x2)-log24+log22=14+5-19

-----?

(4)lgV100=lgl()5=-

5

點評：此題關鍵是要記住這數運算性質的形式，要求學生不要記住公式.

讓學生完成P79練習的第1，2,3題

提出問題：

你能根據對數的定義推導出下面的換底公式嗎？

a>0,且oWl,c>0,且e￥l,bX)

log加

log/=

log"

先讓學生自己探究討論，教師巡視，最后投影出證明過程.

MN

設M=log,,a,N=logcb,則。=c,b=c

11N

且=c，所以(??=?，)"=,，=b

N.7m.Nlog,,b

Hn即：―――lOg”Th7,又因為=-----

MMlog"

所以：意二電”

小結：以上這個式子換底公式，換的底C只要滿足C>0且C#1就行了，除此之外，對C再也沒

有什么特定的要求.

提問：你能用自己的話概括出換底公式嗎？

說明：我們使用的計算器中，“log”通常是常用對數.因此，要使用計算器對數，一定要先用換

底公式轉化為常用對數.如:

皿譚

即計算log：的值的按鍵順序為:"log”一“3"一"+"-Mlog”“2”

再如：在前面要求我國人匚到達18億的年份，就是要計算

尤=logmII所以

,18

18_唱」Igl8-lgl31.2553-1.139

log?

131g1.011g1.010.043

=32.8837b33(年)

練習：P79練習4

讓學生自己閱讀思考P77~P：8的例5,例的題目，教師點撥.

3、歸納小結

(1)學習歸納本節

(2)你認為學習對數有什么意義？大家議論.

4、作業

(1)書面作業：P-習題2.2第3、4題P87第11、12題

2、思考：(1)證明和應用對數運算性質時，應注意哪些問題？

(2)log2(-3)(-5)等于log2(-3)+log?(-5)嗎?

§對敷函數及其膛質〔第一、二點時〕

一.教學目標

1.知識技能

①對數函數的概念，熟悉對數函數的圖象與性質規律.

②掌握對數函數的性質，能初步運用性質解決問題.

2.過程與方法

讓學生通過觀察對數函數的圖象，發現并歸納對數函數的性質.

3.情感、態度與價值觀

①培養學生數形結合的思想以及分析推理的能力；

②培養學生嚴謹的科學態度.

二.學法與教學用具

I.學法：通過讓學生觀察、思考、交流、討論、發現函數的性質；

2.教學手段：多媒體計算機輔助教學.

三.教學重點、難點

I、重點：理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象和性質.

2、難點：底數。對圖象的影響及對數函數性質的作用.

四.教學過程

1.設置情境

在2.2.1的例6中，考古學家利用log萬P估算出土文物或古遺址的年代，對于每一個Cu含

叫5

量P,通過關系式，都有唯一確定的年代，與之對應.同理，對于每一個對數式y=log：中的工，任取

一個正的實數值，y均有唯一的值與之對應，所以y=log：關于x的函數.

2.探索新知

一般地，我們把函數乩x(。>0且。工1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域

是(0,+8).

提問：(1).在函數的定義中，為什么要限定。>0且。#1.

(2).為什么對數函數)，=log,x(。>0且。"1)的定義域是(0,+8).組織學生充分討論、

交流，使學生更加理解對數函數的含義，從而加深對對數函數的理解.

答：①根據對數與指數式的關系，知)，=log〃x可化為由指數的概念，要使/=x有意

文，必須規定a>0且〃￥1.

②因為丁=log“x可化為x="v,不管)，取什么值，由指數函數的性質，4V>0,所以式三(0,+8).

例題1：求以下函數的定義域

(1)y=log,/2(2)y=log〃(4-x)］。>0且

分析：由對數函數的定義知：x2>0；4-x>0,解出不等式就可求出定義域..

解：(1)因為Y>o,即xwo,所以函數y=log/的定義域為{x|xw()}.

（2）囚為4-尤＞0,即人74,所以函數），=1。九’1）的定義域為｛川^^勺.

下面我們來研究函數的圖象，并通過圖象來研究函數的性質：

先完成P8i表2—3,并根據此表用描點法或用電腦畫出函數y=log2*的圖象，再利用電腦軟件畫

出y=log””的圖象，

X124681216

2

y-10122.5833.584

注意到：y=log1x=-log2x,假設點（x,y）在y=log2X的圖象上，那么點（x,-y）在y=log]x

22

的圖象上.由于（蒼一））與（工,一丁）關于工軸對稱，因此，＞=1。81X的圖象與），=1082"勺圖象關

2

于X軸對稱.所以，由此我們可以畫出y=log]X的圖象.

2

先由學生自己畫出y=log]X的圖象，再由電腦軟件畫出y=log2工與y=k）g|X的圖象.

22

探究：選取底數且的假設干不同的值，在同一平面直角坐標系內作出相應的對數函數

的圖象.觀察圖象，你能發現它們有哪些特征嗎？

.作法：用多媒體再畫出y