第四章直梁的彎曲

第一節梁的彎曲實例與概念

5/27/202515/27/202525/27/20253受力特點：力偶或垂直于軸線的外力作用在一個通過軸線平面內。變形特點：桿件的軸線（力偶或橫向力）由直線變為曲線。彎曲變形梁平面彎曲

把以彎曲為主要變形的桿稱為梁。載荷作用在同一平面，并使梁的軸線在該平面內彎曲時稱為平面彎曲。5/27/20254工程中的梁橫截面一般都是對稱的。平面彎曲

外載荷作用在縱向對稱平面內，梁的軸線在縱向對稱平面內彎曲成一條平面曲線——撓曲線。PPP縱向對稱面撓曲線5/27/20255懸臂梁外伸梁簡支梁一、梁的計算簡圖:二、載荷的形式:qlPRARBABC2aaqP=qaABDRARB集中力AB集中力偶分布力CqPM梁的支座和載荷的簡化5/27/20256第二節梁橫截面上的兩種內力—剪力和彎矩1、剪力和彎矩梁在外力作用下，內部將產生內力。為求出梁橫截面1-1上的內力，假想沿1-1截面將梁截為兩段，取其中一段（此處取左段）作為研究對象。在這段上作用的外力有支座約束反力。截面上的內力應與這些外力相平衡。由靜力平衡方程判斷截面上作用有沿截面的力Q，截面上還應有一個力偶M，以滿足平衡方程，該力偶與外力對截面1-1形心O的力矩相平衡。

5/27/202575/27/20258一、截面法求內力—剪力Q和彎矩M內力Q稱為橫截面上的剪力。內力偶M稱為橫截面上的彎矩。因此，梁彎曲時的內力包括剪力Q與彎矩M。運用靜力平衡方程求圖中1-1和2-2截面上的剪力和彎矩。5/27/202595/27/202510二、內力符號規定：剪力符號:-Q+Q－Q剪力—截面一側所有豎向分力的代數和;

彎矩—截面一側所有外力對截面形心力矩的代數和。以某一截面為界，左右兩段梁發生左上右下的相對錯動時，該截面上剪力為正，反之為負。+Q∑F∑F左右∑F∑F左右5/27/202511彎矩符號:+M-M+M-M左側外力對截面之矩為順時針時為正彎矩，逆時針時為負；∑M∑M∑M∑M右側外力對截面之矩為逆時針時為正彎矩，順時針時為負；5/27/202512三、梁內力的簡便求法——“外力簡化法”剪力——截面一側所有豎向分力的代數和；

“左上右下為正”彎矩——截面一側所有外力對截面形心力矩的代數和；“左順右逆為正”oo+Q+M5/27/202513例題：簡支梁，求1-1，2-2截面上的內力B（1）求支反力RA、RBRA–8–22+RB=0RA=7kN（2）求內力

Q1=RA–8；Q1=–1kNM1=RA1.5–80.5；M1=6.5kN.m5/27/202514B亦可取2-2截面的右側研究5/27/202515練習題練習題：試求1-1，2-2截面的彎曲內力。q=10kN/m

200mm1122答案:1-1截面Q1=1.33kNM1=266N.m2-2截面Q2=0.67kNM2=322N.m200mm200mm5/27/202516步驟：(1)求支反力(2)列剪力、彎矩方程描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化規律的方程．一、剪力方程Q(x)和彎矩方程M(x)：yxmmAB例如在m-m截面，畫出正號內力，列出平衡方程第三節彎矩方程與彎矩圖二、內力圖—剪力圖和彎矩圖5/27/202517寫剪力方程和彎矩方程的要點：（1）分段表示，規則為：（2）區間表示，規則為：剪力方程：在集中力(包括約束反力)作用點、分布載荷的起點和終點處，要分段表示。彎矩方程：在集中力(包括約束反力)作用點、集中力偶(包括約束反力偶)作用點、分布載荷的起點和終點處，要分段表示。剪力：在集中力作用點要用開區間表示，在分布載荷的起點和終點處要用閉區間表示。彎矩：在集中力偶作用點要用開區間表示，其它點處要用閉區間表示。5/27/202518

例3-1簡支梁受集度為q的均布荷載作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。5/27/202519 例3-2簡支梁在C點處受集中荷載P作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。5/27/202520 例3-3簡支梁在C處受一集中力偶mC的作用，畫出剪力圖和彎矩圖。5/27/202521 若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。5/27/202522 若梁上某段有集中力，則集中力作用處，剪力圖有突變，突變值即為該處集中力的大小，彎矩圖此處有折角。5/27/202523 若梁上無均布荷載，剪力圖為一平行于x軸水平線。集中力偶作用處剪力圖無變化，彎矩圖出現突變，突變的絕對值等于集中力偶的數值。5/27/202524歸納①Q圖曲線的切線斜率為q(x)②M圖曲線的切線斜率為Q(x)③M圖曲線的凹凸向與q(x)符號有關5/27/2025251、q(x)=0：一段梁上無均布荷載，剪力圖為一平行于x軸水平線，彎矩圖為一斜直線；2、q(x)=常數：一段梁上有均布荷載，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一條二次曲線，當均布荷載q(x)向下時，彎矩圖凸向上，當均布荷載向上時，曲線凸向下；3、彎矩的極值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0，則該截面的彎矩為一極值；4、集中力作用處：此處剪力圖有突變，突變方向與集中力方向一致，突變絕對值等于集中力數值，彎矩圖上形成尖角；5、集中力偶作用處：此處剪力圖無變化，彎矩圖出現突變，突變的絕對值等于集中力偶的數值。內力圖的一些規律:5/27/202526 例3-4．外伸梁上均布荷載的集度為q=3kN/m,集中力偶矩m=3kN.m,畫出剪力圖和彎矩圖。5/27/202527第四節彎曲時橫截面上的正應力及其分布規律一、純彎曲的變形特征5/27/202528中性層現象：①mm,nn變形后仍為直線。②bb伸長，aa縮短；推斷：①同層纖維變形相等(平面假設)；②中性層沒有變形。變形后(小變形)m’m’MMn’a’b’n’a’b’o’o’nmxamnabb變形前ooyz中性軸z二、中性層的概念及性質:中性層中性軸5/27/202529三、橫截面上的正應力

變形幾何條件物理條件：彈性范圍內

5/27/202530靜力平衡：

5/27/202531橫截面對中性軸z的慣性矩，單位為m4WZ稱為抗彎截面模量，單位為m3。

梁純彎曲時橫截面上的最大正應力的公式為：5/27/202532四、橫力彎曲 以上有關純彎曲的正應力的公式，對于橫力彎曲的情形，如果是細長桿，也是近似適用。理論與實驗結果都表明，由于剪應力的存在，梁的橫截面在變形之后將不再保持平面，而是要發生翹曲，此時平面假設和各縱向纖維不互相擠壓不成立。而對于細長梁，這種翹曲對正應力的影響是很小的。通常都可以忽略不計。 均布載荷作用下的矩形截面簡支梁，L/h>5時，按純彎曲正應力計算，誤差<1%。5/27/2025335/27/202534第五節梁彎曲時的強度條件 利用強度條件，可對梁進行強度校核、選擇截面尺寸及確定許可荷載。

5/27/202535 例3-5容器四個耳座支架在四根各長2.4m的工字鋼梁的中點上，工字鋼再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字鋼為16號型鋼，鋼材彎曲許用應力[s]=120MPa，試校核工字鋼的強度。5/27/202536最大彎矩在梁的中間，為：由型鋼表查得16號工字鋼的Wz=141cm35/27/202537例3-6：選擇工字鋼型號。已知：P2P1l/3l/3l/33834M圖(kN·m)（1）畫彎矩圖，確定（2）計算Wz解：19kN17kN（3）查表：>計算值如果:Wz小于計算值，驗算

max，不超過[

]的5%，工程上允許。選20a,5/27/202538一、支撐和荷載的合理布置

1.支撐的合理布置

第六節提高梁彎曲強度的措施

5/27/2025392.載荷的合理布置

5/27/202540二、選擇合理的截面形狀

5/27/202541材料遠離中性軸矩形0.167h；圓形0.125h；環形0.205h工字鋼和槽鋼(0.27～0.31)h5/27/202542等強度梁5/27/202543第七節梁的彎曲變形一、梁的撓度和轉角變形后梁的軸線稱為彈性曲線或撓曲線撓度f梁的撓曲線方程f=f(x)轉角θ5/27/202544梁的抗彎剛度EJz二．梁的變形的求解直接積分法和疊加法5/27/202545直接積分法邊界條件和連續條件可求出C、D5/27/202546例3-6等截面懸臂梁的自由端作用一集中力，梁的抗彎剛度為EJz，求此梁的撓曲線方程以及自由端截面的轉角和撓度。5/27/202547疊加法表3-3基本值5/2