廣東省廣大附中鐵一廣外三校2020-2021學年高二下學期期中聯考試題(數學)一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=2x-3，若f(2a-1)=3a+1，則a的值為：A.1B.2C.3D.42.若等差數列{an}的公差為d，且a1+a3=6，a2+a4=12，則d的值為：A.2B.3C.4D.53.已知函數f(x)=x^2-4x+4，若f(x)的圖像關于直線x=2對稱，則f(3)的值為：A.1B.2C.3D.44.若等比數列{bn}的公比為q，且b1=2，b2=4，則b3的值為：A.8B.16C.32D.645.已知函數f(x)=|x-1|+|x+1|，若f(x)的圖像與x軸的交點個數為3，則x的取值范圍為：A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪[1,+∞)D.(-1,1)∪(1,+∞)6.若函數f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得最小值，則a、b、c之間的關系為：A.a>0，b=0，c>0B.a<0，b=0，c<0C.a>0，b≠0，c>0D.a<0，b≠0，c<07.已知數列{an}的前n項和為Sn，若S1=1，S2=3，S3=7，則數列{an}的通項公式為：A.an=2n-1B.an=3n-2C.an=2n+1D.an=3n+28.若函數f(x)=x^3-3x+2在x=1時取得極小值，則f(1)的值為：A.-1B.0C.1D.29.已知函數f(x)=|x|+|x-2|，若f(x)的圖像與x軸的交點個數為2，則x的取值范圍為：A.(-∞,0]∪[2,+∞)B.(-∞,0)∪(0,2)C.(-∞,0)∪[2,+∞)D.(0,2)∪(2,+∞)10.若函數f(x)=ax^2+bx+c在x=-1時取得最大值，則a、b、c之間的關系為：A.a>0，b=0，c>0B.a<0，b=0，c<0C.a>0，b≠0，c>0D.a<0，b≠0，c<0二、填空題要求：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.若等差數列{an}的公差為d，且a1=2，a4=10，則d的值為______。12.已知函數f(x)=x^2-4x+4，若f(x)的圖像關于直線x=2對稱，則f(3)的值為______。13.若等比數列{bn}的公比為q，且b1=2，b2=4，則b3的值為______。14.已知數列{an}的前n項和為Sn，若S1=1，S2=3，S3=7，則數列{an}的通項公式為______。15.若函數f(x)=x^3-3x+2在x=1時取得極小值，則f(1)的值為______。三、解答題要求：本大題共4小題，共25分。16.（本小題共10分）已知函數f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=2，f(2)=5，f(3)=8，求a、b、c的值。17.（本小題共10分）已知數列{an}的前n項和為Sn，若S1=1，S2=3，S3=7，求數列{an}的通項公式。18.（本小題共10分）已知函數f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的極值及極值點。19.（本小題共5分）已知等差數列{an}的公差為d，且a1=2，a4=10，求d的值。四、證明題要求：本大題共1小題，共10分。20.已知數列{an}是等差數列，且a1=3，a5=13，證明：數列{an}的通項公式為an=2n+1。五、應用題要求：本大題共1小題，共10分。21.一輛汽車從靜止開始加速，加速度為a=2m/s^2，求汽車從靜止到速度達到10m/s所需的時間。六、綜合題要求：本大題共1小題，共15分。22.已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求：（1）函數f(x)的圖像與x軸的交點個數；（2）函數f(x)的極值及極值點；（3）函數f(x)在區間[-2,3]上的最大值和最小值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.2解析：將2a-1代入函數f(x)，得到f(2a-1)=2(2a-1)-3=4a-5。由于f(2a-1)=3a+1，解方程4a-5=3a+1，得到a=2。2.B.3解析：由等差數列的性質，a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d。根據題目條件，a1+a3=6，a2+a4=12，可以列出方程組：a1+(a1+2d)=6(a1+d)+(a1+3d)=12解得d=3。3.C.3解析：由于函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱，那么f(2-x)=f(2+x)。代入x=1，得到f(1)=f(3)。由于f(1)=1^2-4*1+4=1，所以f(3)=1。4.A.8解析：由于等比數列的性質，b2=b1*q，b3=b2*q。代入b1=2，b2=4，得到q=2，所以b3=4*2=8。5.A.(-∞,-1]∪[1,+∞)解析：由于f(x)=|x-1|+|x+1|，分別考慮x<-1，-1≤x<1，x≥1的情況。當x<-1時，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x；當-1≤x<1時，f(x)=(x-1)-(x+1)=-2；當x≥1時，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。所以f(x)的圖像與x軸的交點個數為3。6.B.a<0，b=0，c<0解析：由于函數f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得最小值，那么函數的導數f'(x)在x=1時為0。由于f(x)是二次函數，其導數f'(x)=2ax+b。代入x=1，得到2a+b=0，即b=-2a。由于a<0，那么b<0。又因為f(x)在x=1時取得最小值，所以a<0，c<0。7.B.an=3n-2解析：由數列的前n項和Sn，可以得到數列的通項公式an=Sn-Sn-1。代入S1=1，S2=3，S3=7，得到：a1=S1=1a2=S2-S1=3-1=2a3=S3-S2=7-3=4由上述計算可得an=3n-2。8.C.1解析：由于函數f(x)=x^3-3x+2在x=1時取得極小值，那么函數的導數f'(x)在x=1時為0。由于f(x)是三次函數，其導數f'(x)=3x^2-3。代入x=1，得到f'(1)=0。由于f(1)=1^3-3*1+2=0，所以f(1)=1。9.C.(-∞,0)∪[2,+∞)解析：由于f(x)=|x|+|x-2|，分別考慮x<0，0≤x<2，x≥2的情況。當x<0時，f(x)=-x-(x-2)=-2x+2；當0≤x<2時，f(x)=x-(x-2)=2；當x≥2時，f(x)=x+(x-2)=2x-2。所以f(x)的圖像與x軸的交點個數為2。10.A.a>0，b=0，c>0解析：由于函數f(x)=ax^2+bx+c在x=-1時取得最大值，那么函數的導數f'(x)在x=-1時為0。由于f(x)是二次函數，其導數f'(x)=2ax+b。代入x=-1，得到2a-b=0，即b=2a。由于a>0，那么b>0。又因為f(x)在x=-1時取得最大值，所以a>0，c>0。二、填空題11.d的值為______。答案：3解析：由等差數列的性質，a4=a1+3d，代入a1=2，a4=10，得到10=2+3d，解得d=3。12.f(3)的值為______。答案：1解析：由于函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱，那么f(2-x)=f(2+x)。代入x=1，得到f(1)=f(3)。由于f(1)=1^2-4*1+4=1，所以f(3)=1。13.b3的值為______。答案：8解析：由等比數列的性質，b3=b2*q，代入b1=2，b2=4，得到q=2，所以b3=4*2=8。14.數列{an}的通項公式為______。答案：an=3n-2解析：由數列的前n項和Sn，可以得到數列的通項公式an=Sn-Sn-1。代入S1=1，S2=3，S3=7，得到an=3n-2。15.f(1)的值為______。答案：1解析：由于函數f(x)=x^3-3x+2在x=1時取得極小值，那么函數的導數f'(x)在x=1時為0。由于f(x)是三次函數，其導數f'(x)=3x^2-3。代入x=1，得到f'(1)=0。由于f(1)=1^3-3*1+2=0，所以f(1)=1。三、解答題16.求a、b、c的值。答案：a=1，b=2，c=1解析：由題目條件，得到方程組：a+b+c=24a+2b+c=59a+3b+c=8解得a=1，b=2，c=1。17.求數列{an}的通項公式。答案：an=3n-2解析：由數列的前n項和Sn，可以得到數列的通項公式an=Sn-Sn-1。代入S1=1，S2=3，S3=7，得到an=3n-2。18.求f(x)的極值及極值點。答案：極小值點為x=1，極小值為f(1)=0；極大值點為x=2，極大值為f(2)=1。解析：由于f(x)=x^3-3x+2，其導數f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得到x^2=1，解得x=-1或x=1。由于f'(x)在x=-1時由正變負，所以x=-1是極大值點，f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+2=4。在x=1時，f'(x)由負變正，所以x=1是極小值點，f(1)=1^3-3*1+2=0。19.求d的值。答案：d=3解析：由等差數列的性質，a4=a1+3d，代入a1=2，a4=10，得到10=2+3d，解得d=3。四、證明題20.證明：數列{an}的通項公式為an=2n+1。證明：由題目條件，得到a5=a1+4d=13，代入a1=3，得到3+4d=13，解得d=2。所以數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=3+(n-1)*2=2n+1。五、應用題21.求汽車從靜止到速度達到10m/s所需的時間。答案：t=5s解析：由勻加速直線運動的公式v=at，代入a=2m/s^2，v=10m/s，得到t=v/a=10/2=5s。六、綜合題22.求函數f(x)的圖像與x軸的交點個數、極值及極值點、在區間[-2,3]上的最大值和最小值。答案：（1）交點個數：2（2）極值及極值點：極小值點為x=2，極小值為f(2)=-1；無極大值點。（3）最大值和最小值：最大值為f(-2)=1，最小值為f(2)=-1。解析：（1）求f(x)的圖像與x軸的交點個數，即解方程f(x)=0。由于f(x)=x^3-6x^2+9x+1，可以嘗試因式分解或使用求根公式。這里通過試根法找到x=1是f(x)的一個根，然后使用多項式除法得到f(x)=(x-1)(x^2-5x+1)。再解方程x^2-5x+1=0，使用求根公式得到兩個實數根，因此交點個數為2。（2）求f(x)的極值及極值點，需要求f(x)的導數f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，得到x^2-4x+3=0，解得x=1或x=3。由于f'(x)在x=1時由正變負，所以x=1是極大值點，f(1)=1^3-6*1^2