第1頁（共1頁）2025年重慶市九龍坡區(qū)春招數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確的答案對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）將下列平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到如圖所示的立體圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣3，1） D．（2，2）3．（4分）實數(shù)m，n在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．|m|＞2 B．m＞﹣1 C．m+n＞0 D．mn＞04．（4分）如圖，AB∥CD，CE交AB于點E，若∠1＝40°，則∠2等于（）A．40° B．50° C．48° D．49°5．（4分）估計的值應(yīng)在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間6．（4分）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．4 D．77．（4分）如圖，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1個大正方形需要4個小正方形，想一想，按照這樣的方法拼成的第50個大正方形比第49個大正方形多幾個小正方形？（）A．50 B．100 C．51 D．1018．（4分）如圖，在矩形ABCD中，以AB中點E為圓心，以點F為圓心，AD長為半徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，點G為對角線BD上一點，連接AG并延長交BC于點E，過點D作DF⊥AE于點F（）A． B． C． D．10．（4分）將幾個正整數(shù)排成一列數(shù)M：a1，a2，a3，…，an，其中n為正整數(shù)且n≥2，每次進行以下操作之一：操作一：將其中一個數(shù)刪除；操作二：將其中一個數(shù)變?yōu)楸仍摂?shù)更小的正整數(shù)；操作三：將其中一個數(shù)變?yōu)閮蓚€正整數(shù)，且兩個正整數(shù)之和小于原來的正整數(shù)；現(xiàn)甲、乙二人對這些數(shù)按照甲一乙一甲一乙一……的順序輪流進行操作，規(guī)定最后操作將所有數(shù)刪除的人獲勝．下列說法：①若M：1，4，則甲第一次操作后可能產(chǎn)生6種不同的結(jié)果；②若M：2，3，甲、乙二人共經(jīng)過k次操作后將所有數(shù)都刪除，且上述三種操作至少各進行了一次；③若M：1，2，2，則甲有必勝策略．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）計算：3﹣1+20＝．12．（4分）在一個不透明的盒子里裝有9個白球和若干個黑球，這些球除著色外都相同，搖勻后隨機摸出一個球，則黑球的個數(shù)為．13．（4分）如圖，在邊長為的等邊△ABC中，點E為點D關(guān)于直線AC的對稱點，連接BE、DE．14．（4分）若關(guān)于x的不等式組有且只有5個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是．15．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，BD為對角線，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接EO并延長，交AB于點F；⊙O的半徑為．16．（4分）對于一個四位正整數(shù)，去掉M的千位和百位上的數(shù)字后得到的兩位數(shù)記為；去掉M的十位和個位上的數(shù)字后得到的兩位數(shù)記為1比M2剛好大4，那么稱這個四位數(shù)M為“卯?dāng)?shù)”．例如：四位數(shù)2529，∵29﹣25＝4，∵34﹣25≠4，∴2534不是“卯?dāng)?shù)”．若一個“卯?dāng)?shù)”為；若一個“卯?dāng)?shù)”同時又是一個奇數(shù)，則稱這個數(shù)為“丙卯?dāng)?shù)”，設(shè)是一個四位的“丙卯?dāng)?shù)”（N）＝|a′d′﹣b′c′|，當(dāng)G（N）（除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的整數(shù)叫質(zhì)數(shù)，如2，3，5，7，11，……）時，則滿足條件的N的最大值與最小值之差是．三、解答題：（本大題共9個小題，第17-18題各8分，其余每題各10分，共86分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。17．（8分）計算：2（a+1）+a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣1）．18．（8分）先化簡，再求值：，其中．19．（10分）數(shù)學(xué)來源于生活，也應(yīng)用于生活．在石材加工場中，如圖所示的四邊形花崗巖ABCD，需要在這塊石材上精準(zhǔn)繪制菱形標(biāo)線．我們把此生活問題轉(zhuǎn)化為以下數(shù)學(xué)問題，請同學(xué)們按要求完成作圖與填空．（1）用直尺和圓規(guī)作圖：連接AC，作AC的垂直平分線交AB于點E，交CD于點F，AC與EF交于點O．（只保留作圖痕跡）（2）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，EF垂直平分AC，垂足為點O．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，AE＝CE，AO＝CO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又④，∴平行四邊形AECF是菱形．20．（10分）除夕夜，重慶夜空的無人機表演為大家提供了一場精彩絕倫的空中視覺盛宴．某公司為了檢測甲、乙兩款無人機的續(xù)航時間，工作人員分別隨機抽查了兩款無人機各10架進行試飛（分鐘），并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析（續(xù)航時間用x表示，共分為三組：A.30≤x≤40，B.20≤x＜30，C.10≤x＜20），下面給出了部分信息：甲款10架無人機續(xù)航時間在A組中的數(shù)據(jù)是：33，33，35，35，35，乙款10架無人機續(xù)航時間是：20，22，22，30，32，33，33抽取的甲、乙兩款無人機續(xù)航時間統(tǒng)計表型號平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲29333549.4乙29bc37.4根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝，b＝，c＝．（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該公司哪款無人機的續(xù)航時間更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．（3）若該公司倉庫有甲款無人機700架、乙款無人機900架，估計兩款無人機續(xù)航時間在A組的總共有多少架？21．（10分）某咖啡店2024年12月銷售咖啡1200杯，每杯成本10元、售價15元．因新年人們對咖啡的需求增加，咖啡豆售價隨之上漲（1）2025年1月該咖啡店的銷售量為1500杯，但銷售利潤與2024年12月持平，求2025年1月該咖啡店每杯咖啡的售價是多少元？（2）2025年2月該咖啡店每杯咖啡的售價比1月每杯咖啡的售價提高了a%，2025年2月的銷售量比2024年12月的銷售量減少了a%，求a的值．22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠BAC＝90°．動點D以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿折線A→B→C的方向運動，沿折線C→B→A的方向運動，當(dāng)動點D運動到點C時兩點都停止運動．設(shè)運動時間為t（t＞0）1：△ABC的周長與點D的運動時間之比為y2．（1）請直接寫出y1、y2關(guān)于t的函數(shù)表達式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出y1、y2的函數(shù)圖象，并寫出y1的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出當(dāng)一次函數(shù)y3＝kx+5與y1的圖象有兩個交點時k的取值范圍．23．（10分）如圖，小紅同學(xué)為了測量小河對岸某塔AB的高度，他在與塔底B同一水平線BF上的點C處測得塔的頂端A的仰角為45°的斜坡CE向上行走10米到達點D處（點A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)），此時測得塔的頂端A的仰角為31°．（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.41）（1）求點D到FC的距離；（2）求塔AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米）24．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2x+c的對稱軸為x＝﹣1，且拋物線交x軸于A，B（1，0）兩點（點A在點B的左側(cè)），連接BC．（1）求拋物線的表達式．（2）點P在直線AC上方拋物線上運動，過點P作PD∥y軸，交直線AC于點D，點F在點G的左側(cè)，，連接PF、GB．當(dāng)，求此時PF+FG+GB的最小值．（3）在（2）中取最大值的條件下，連接AP．將原拋物線沿射線AC方向平移，新拋物線y′與直線AC交于M、N兩點（點M在點N的左側(cè)），在新拋物線y′上存在點Q，并寫出求解點Q的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝9，DC＝EC，連接DE．將△CDE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)（0°＜θ＜180°），連接AE、BE．（1）如圖1，若θ＝60°，CE＝，求△AEC的面積．（2）如圖2，若θ＝120°，點A、E、D三點在同一直線上，使BM＝DE，連接DM，點Q為DM中點，連接PQ．求證：PQ＝（3）若90°＜θ＜180°，設(shè)BE與AC交于點H，AH＝2CH，連接HK，將線段HK繞點K逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到線段KN，請直接寫出d2的值．

2025年重慶市九龍坡區(qū)春招數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BCCBBBDDDB一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確的答案對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）將下列平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到如圖所示的立體圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、繞軸旋轉(zhuǎn)一周，故不合題意；B、繞軸旋轉(zhuǎn)一周，故符合題意；C、繞軸旋轉(zhuǎn)一周，故不合題意；D、繞軸旋轉(zhuǎn)一周，故不合題意．故選：B．2．（4分）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣3，1） D．（2，2）【解答】解：A．當(dāng)x＝1時，；B．當(dāng)x＝﹣8時，；C．當(dāng)x＝﹣3時，；D．當(dāng)x＝5時，；故選：C．3．（4分）實數(shù)m，n在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．|m|＞2 B．m＞﹣1 C．m+n＞0 D．mn＞0【解答】解：觀察數(shù)軸得|m|＜2，m＜﹣1，mn＜8，故ABD錯誤，C正確，故選：C．4．（4分）如圖，AB∥CD，CE交AB于點E，若∠1＝40°，則∠2等于（）A．40° B．50° C．48° D．49°【解答】解：∵∠1＝40°，EF⊥CE，∴∠C＝90°﹣40°＝50°．又∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝50°．故選：B．5．（4分）估計的值應(yīng)在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【解答】解：，∵，∴，∴，即，∴的值在2和2之間．故選：B．6．（4分）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．4 D．7【解答】解：根據(jù)題意，得：（n﹣2）?180°＝720°，解得：n＝6．故選：B．7．（4分）如圖，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1個大正方形需要4個小正方形，想一想，按照這樣的方法拼成的第50個大正方形比第49個大正方形多幾個小正方形？（）A．50 B．100 C．51 D．101【解答】解：由所給圖形可知，拼第1個大正方形需要的小正方形個數(shù)為：4＝72；拼第2個大正方形需要的小正方形個數(shù)為：5＝32；拼第2個大正方形需要的小正方形個數(shù)為：16＝42；…，所以拼第n個大正方形需要的小正方形個數(shù)為（n+4）2個，所以按照這樣的方法拼成的第50個大正方形比第49個大正方形多的正方形個數(shù)為：512﹣505＝101（個）．故選：D．8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，以AB中點E為圓心，以點F為圓心，AD長為半徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接GF．由題意易知△GEF是等邊三角形，S陰＝S扇形GEF+S弓形GF＝（）＝3π﹣．故選：D．9．（4分）如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，點G為對角線BD上一點，連接AG并延長交BC于點E，過點D作DF⊥AE于點F（）A． B． C． D．【解答】解：過點B作BH⊥AE于點H，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，∴△ADG∽△EBG，∴，∵DG＝2GB，∴BE＝，∴AE＝a，∵∠ABC＝90°，BH⊥AE，∴，∴BH＝＝a，∴EH＝＝a．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠BEH，∵∠DFA＝∠BHE＝90°，∴△DAF∽△BEH，∴，∴，∴AF＝a．故選：D．10．（4分）將幾個正整數(shù)排成一列數(shù)M：a1，a2，a3，…，an，其中n為正整數(shù)且n≥2，每次進行以下操作之一：操作一：將其中一個數(shù)刪除；操作二：將其中一個數(shù)變?yōu)楸仍摂?shù)更小的正整數(shù)；操作三：將其中一個數(shù)變?yōu)閮蓚€正整數(shù)，且兩個正整數(shù)之和小于原來的正整數(shù)；現(xiàn)甲、乙二人對這些數(shù)按照甲一乙一甲一乙一……的順序輪流進行操作，規(guī)定最后操作將所有數(shù)刪除的人獲勝．下列說法：①若M：1，4，則甲第一次操作后可能產(chǎn)生6種不同的結(jié)果；②若M：2，3，甲、乙二人共經(jīng)過k次操作后將所有數(shù)都刪除，且上述三種操作至少各進行了一次；③若M：1，2，2，則甲有必勝策略．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①當(dāng)甲進行操作一時，會產(chǎn)生2種不同的結(jié)果，當(dāng)甲進行操作二時，會產(chǎn)生3種不同的結(jié)果，2或M：1，1，當(dāng)甲進行操作三時，會產(chǎn)生7種結(jié)果，1，2或M：2，1，1，因此甲第一次操作后可以產(chǎn)生2種不同的結(jié)果，故①錯誤；②在數(shù)列M中，只有a2項能進行操作三，并要求三種操作至少各進行了一次，項數(shù)為3，4，1，當(dāng)?shù)诙较冗M行操作一時，只能刪除為1的項，當(dāng)?shù)诙较冗M行操作二時，k＝8（操作三）+1（操作二）+3（操作一）＝6，因此k＝5或6，故②錯誤；③根據(jù)題意可知，若數(shù)列M有奇數(shù)個項，甲，最終甲執(zhí)行最后一次操作，有偶數(shù)個項逐個消去，最終乙執(zhí)行最后一次操作，執(zhí)行操作二、操作三不影響最終結(jié)果，∵M：3，2，2，為奇數(shù)項且最多可執(zhí)行3（偶數(shù)）次操作二，∴能確保甲最后將所有項消除，只需保證進行偶數(shù)次操作二即可，故選：B．二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）計算：3﹣1+20＝．【解答】解：原式＝＝，故答案為：．12．（4分）在一個不透明的盒子里裝有9個白球和若干個黑球，這些球除著色外都相同，搖勻后隨機摸出一個球，則黑球的個數(shù)為6個．【解答】解：由題意知，盒子中球的總個數(shù)為9÷（1﹣，所以黑球的個數(shù)為15﹣9＝8（個），故答案為：6個．13．（4分）如圖，在邊長為的等邊△ABC中，點E為點D關(guān)于直線AC的對稱點，連接BE、DE3．【解答】解：設(shè)AC與DE交于點G，連接CE，交BC的延長線于點F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∵AD是BC邊的中線，∴BD＝CD＝BC＝2，∵點E為點D關(guān)于直線AC的對稱點，∴CD＝CE＝2，CG⊥DE，∴∠DCE＝2∠ACB＝120°，∴∠ECF＝180°﹣∠DCE＝60°，在Rt△ECF中，EF＝CE?sin60°＝2×，∴△BDE的面積＝BD?EF＝×3＝3，故答案為：3．14．（4分）若關(guān)于x的不等式組有且只有5個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是8．【解答】解：解不等式組，得﹣5≤x＜，∵它有且只有4個整數(shù)解，即它的整數(shù)解為﹣3，﹣2，8，1，∴1＜≤2，解得5＜a≤5，解分式方程，得y＝，∵關(guān)于y的分式方程有解，∴﹣2≠0，∴a≠4，∴所有滿足條件的整數(shù)a為：2，5，∴所有滿足條件的整數(shù)a的和是：3+5＝8，故答案為：8．15．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，BD為對角線，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接EO并延長，交AB于點F；⊙O的半徑為．【解答】解：作FH⊥BC于點H，如圖1所示，∵E為CD中點，OE為過圓心的直線，∴由垂徑定理推論可得OE⊥CD．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四邊形CEFH為矩形，CE＝FH＝．∵AD＝CD＝2，BD＝4，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，BC＝＝．∴BF＝＝＝．連接OG、OD，如圖1所示，由切線性質(zhì)可得∠FGO＝90°．∵∠BFH＝30°，∴BH＝＝，∴HC＝BC﹣BH＝＝．∵四邊形CEFH為矩形，∴EF＝HC＝．∵∠JDE＝60°，∠JED＝90°，∴∠DJE＝30°＝∠FJB，∵∠FBD＝30°，∴BF＝JF＝．設(shè)JO＝x，則OF＝FJ+JO＝，∵∠BFH＝30°，∠HFE＝90°，∴∠GFO＝60°，故半徑GO＝sin60°×OF＝（+x）＝5+，OE＝EF﹣FO＝﹣（．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OE2+DE2＝OD6，即（）2+3＝（1+）2，整理得，解得x＝或（不合題意，故GO＝1+（）＝．故答案為：，．16．（4分）對于一個四位正整數(shù)，去掉M的千位和百位上的數(shù)字后得到的兩位數(shù)記為；去掉M的十位和個位上的數(shù)字后得到的兩位數(shù)記為1比M2剛好大4，那么稱這個四位數(shù)M為“卯?dāng)?shù)”．例如：四位數(shù)2529，∵29﹣25＝4，∵34﹣25≠4，∴2534不是“卯?dāng)?shù)”．若一個“卯?dāng)?shù)”為2125；若一個“卯?dāng)?shù)”同時又是一個奇數(shù)，則稱這個數(shù)為“丙卯?dāng)?shù)”，設(shè)是一個四位的“丙卯?dāng)?shù)”（N）＝|a′d′﹣b′c′|，當(dāng)G（N）（除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的整數(shù)叫質(zhì)數(shù)，如2，3，5，7，11，……）時，則滿足條件的N的最大值與最小值之差是5050．【解答】解：第一空：（末兩位），．根據(jù)“卯?dāng)?shù)”定義：M1﹣M2＝8，即：25﹣（20+a）＝4，解得：a＝1，故四位數(shù)為2125．第二空：四位數(shù)滿足：c'd'﹣a'b'＝3（“卯?dāng)?shù)”條件）．G（N）＝|a'd'﹣b'c'|為質(zhì)數(shù)．設(shè)c'＝a'+kd'＝b'+m，代入c'd'﹣a'b'＝4．當(dāng)k＝1時，c'＝a'+4，且b′為7或9（保證d′為奇非負）．b′＝5時，G（N）＝6a'+7，解得a'＝3，2，4，4，6．b′＝9時，G（N）＝7a'+9均為合數(shù)．∴符合條件的四位數(shù)為：1721、2731、5761．最大值：6771，最小值：1721，差值為：6771﹣1721＝5050．故答案為：2125，5050．三、解答題：（本大題共9個小題，第17-18題各8分，其余每題各10分，共86分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。17．（8分）計算：2（a+1）+a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣1）．【解答】解：2（a+1）+a（a﹣8）﹣（a+1）（a﹣1）＝4a+2+a2﹣7a﹣（a2﹣1）＝a7+2﹣a2+7＝3．18．（8分）先化簡，再求值：，其中．【解答】解：＝?＝?＝，當(dāng)x＝﹣1時＝．19．（10分）數(shù)學(xué)來源于生活，也應(yīng)用于生活．在石材加工場中，如圖所示的四邊形花崗巖ABCD，需要在這塊石材上精準(zhǔn)繪制菱形標(biāo)線．我們把此生活問題轉(zhuǎn)化為以下數(shù)學(xué)問題，請同學(xué)們按要求完成作圖與填空．（1）用直尺和圓規(guī)作圖：連接AC，作AC的垂直平分線交AB于點E，交CD于點F，AC與EF交于點O．（只保留作圖痕跡）（2）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，EF垂直平分AC，垂足為點O．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，AE＝CE，AO＝CO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又④AF＝CF，∴平行四邊形AECF是菱形．【解答】（1）解：圖形如圖所：（2）證明：∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，AE＝CE，∠AOE＝∠COF＝90°，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又④AF＝CF．，∴平行四邊形AECF是菱形．故答案為：∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，AF＝CF．20．（10分）除夕夜，重慶夜空的無人機表演為大家提供了一場精彩絕倫的空中視覺盛宴．某公司為了檢測甲、乙兩款無人機的續(xù)航時間，工作人員分別隨機抽查了兩款無人機各10架進行試飛（分鐘），并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析（續(xù)航時間用x表示，共分為三組：A.30≤x≤40，B.20≤x＜30，C.10≤x＜20），下面給出了部分信息：甲款10架無人機續(xù)航時間在A組中的數(shù)據(jù)是：33，33，35，35，35，乙款10架無人機續(xù)航時間是：20，22，22，30，32，33，33抽取的甲、乙兩款無人機續(xù)航時間統(tǒng)計表型號平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲29333549.4乙29bc37.4根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝10，b＝31，c＝33．（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該公司哪款無人機的續(xù)航時間更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．（3）若該公司倉庫有甲款無人機700架、乙款無人機900架，估計兩款無人機續(xù)航時間在A組的總共有多少架？【解答】解：（1）A組所占百分比為：×100%＝60%，C組所占百分比為：1﹣30%﹣60%＝10%，∴a＝10；乙組的中位數(shù)為：＝31，∴b＝31；乙組中出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是33，∴c＝33．故答案為：10，31；（2）甲款無人機運行性能更好些，理由如下：雖然兩款無人機運行最長時間的平均數(shù)相同，甲款無人機運行最長時間的中位數(shù)和眾數(shù)均高于乙款無人機；（3）700×+900×，答：估計兩款無人機續(xù)航時間在A組的總共有960架．21．（10分）某咖啡店2024年12月銷售咖啡1200杯，每杯成本10元、售價15元．因新年人們對咖啡的需求增加，咖啡豆售價隨之上漲（1）2025年1月該咖啡店的銷售量為1500杯，但銷售利潤與2024年12月持平，求2025年1月該咖啡店每杯咖啡的售價是多少元？（2）2025年2月該咖啡店每杯咖啡的售價比1月每杯咖啡的售價提高了a%，2025年2月的銷售量比2024年12月的銷售量減少了a%，求a的值．【解答】解：（1）設(shè)2025年1月該咖啡店每杯咖啡的售價是x元，根據(jù)題意得：1500（x﹣12）＝（15﹣10）×1200，解得：x＝16．答：2025年1月該咖啡店每杯咖啡的售價是16元；（2）根據(jù)題意得：[16（3+a%）﹣12]×1200（2﹣a%）＝（15﹣10）×1200×，整理得：3.64a2﹣16a＝0，解得：a2＝25，a2＝0（不符合題意，舍去）．答：a的值為25．22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠BAC＝90°．動點D以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿折線A→B→C的方向運動，沿折線C→B→A的方向運動，當(dāng)動點D運動到點C時兩點都停止運動．設(shè)運動時間為t（t＞0）1：△ABC的周長與點D的運動時間之比為y2．（1）請直接寫出y1、y2關(guān)于t的函數(shù)表達式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出y1、y2的函數(shù)圖象，并寫出y1的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出當(dāng)一次函數(shù)y3＝kx+5與y1的圖象有兩個交點時k的取值范圍．【解答】解：（1）由題意得：，①當(dāng)D在AB上，即0≤t≤4時，BD＝5﹣t，此時，E在BC上，∴y1＝BD+BE＝4﹣t+5﹣t＝﹣2t+9；②當(dāng)D在BC上，E在BC上，同理得：BD＝t﹣4，BE＝5﹣t，∴y1＝t﹣8+5﹣t＝1；③當(dāng)D在BC上，E在BC上，同理得：BD＝t﹣2，BE＝t﹣5，∴y1＝t﹣2+t﹣5＝2t﹣8；綜上，；∵△ABC的周長為：AB+AC+BC＝12，∴；（2）函數(shù)圖象如圖所示：y1的一條性質(zhì)：當(dāng)0≤t≤5時，y1隨t的增大而減小；當(dāng)4＜t≤4時，y1隨t的增大而不變；當(dāng)5＜t≤5時，y1隨t的增大而增大；（3）∵一次函數(shù)y3＝kx+3恒過點（0，5），如圖，當(dāng)一次函數(shù)y4＝kx+5過點（4，5）時，解得k＝﹣1；當(dāng)一次函數(shù)y3＝kx+6過點（9，9）時，解得，故根據(jù)圖象可得一次函數(shù)y3＝kx+4與y的圖象有兩個交點時，．23．（10分）如圖，小紅同學(xué)為了測量小河對岸某塔AB的高度，他在與塔底B同一水平線BF上的點C處測得塔的頂端A的仰角為45°的斜坡CE向上行走10米到達點D處（點A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)），此時測得塔的頂端A的仰角為31°．（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.41）（1）求點D到FC的距離；（2）求塔AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米）【解答】解：（1）過D點作DM⊥BF于M點．如圖，∵斜坡CE的坡度i＝1：，∴＝，設(shè)DM＝x，CM＝x，∴CD＝＝5x，即2x＝10，解得x＝5（米），∴DM＝2米，CM＝5米，答：點D到FC的距離為8米；（2）過D點作DH⊥AB于H點，如圖，∵∠DMB＝∠DHB＝∠HBM＝90°，∴四邊形DMBH為矩形，∴BH＝DM＝5米，DH＝CM+BC，在Rt△ADH中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝AH+5，∴DH＝BC+CM＝AH+2+5，在Rt△ADH中，∵tan∠ADH＝，∴AH＝DH?tan31°，即AH＝3.6（AH+5+6），解得AH≈20.475（米），∴AB＝AH+BH＝20.475+5≈25.5（米）．答：塔AB的高度為25.5米．24．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2x+c的對稱軸為x＝﹣1，且拋物線交x軸于A，B（1，0）兩點（點A在點B的左側(cè)），連接BC．（1）求拋物線的表達式．（2）點P在直線AC上方拋物線上運動，過點P作PD∥y軸，交直線AC于點D，點F在點G的左側(cè)，，連接PF、GB．當(dāng)，求此時PF+FG+GB的最小值．（3）在（2）中取最大值的條件下，連接AP．將原拋物線沿射線AC方向平移，新拋物線y′與直線AC交于M、N兩點（點M在點N的左側(cè)），在新拋物線y′上存在點Q，并寫出求解點Q的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x+c的對稱軸為直線x＝﹣7，且過點B（1，，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x7﹣2x+3；（2）如圖，延長PD交x軸于點H，令y＝7，得y＝﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3，∴A（﹣8，0），令x＝0，得y＝﹣x8﹣2x+3＝8，則C（0，3），∵B（5，0），∴OB＝1，∴，∵PD∥y，DE∥BC，∴∠DHE＝∠COB＝90°，∠DEH＝∠CBO，∴△DEH∽△CBO，∴，即，∴，∴，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（﹣3，0），5）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+4，設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+8）（﹣3＜m＜0），則D（m，m+2），0），PD﹣DE＝PD﹣DH＝（﹣m4﹣2m+3﹣m﹣8）﹣（m+3）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）7+1，∵﹣1＜6，﹣3＜m＜0，∴當(dāng)m＝﹣6時，取得最大值，此時，﹣m2﹣3m+3＝﹣4+4+3＝3，則P（﹣8，3），∵OA＝OC＝3，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，如圖，過點F作FT∥x軸，∴∠GFT＝∠FGT＝45°，∴，將PF沿FG方向平移個單位長度得到點P'G個單位長度個單位長度，∴即，由平移得PF＝P'G，∴，由兩點之間線段最短，得P'G+GB≥P'B、G、B依次共線時，∵，∴PF+FG+GB的最小值為；（3）沿射線AC方平移個單位長度，可知相當(dāng)于水平向右平移，再水平向上平移，則新拋物的解析式為y'＝﹣（x﹣2）2﹣2（x﹣6）+3+2＝﹣x5+2x+5，聯(lián)立﹣x2+2x+5＝x+8，解得：x1＝2，x6＝﹣1，當(dāng)x＝2時，y'＝﹣x5+2x+5＝5，∴N（2，5），∵P（﹣5，3），0），∴AH＝4﹣2＝1，PH＝6，∴，∵∠MNQ＝∠CAO+∠APD＝45°+∠APD，如圖，當(dāng)點Q在直線AC上方時2，過點Q1作Q1S∥y軸交AN于點S，過點N作NZ∥x軸于交Q3S于點Z，∴∠ZNS＝∠CAO＝45°，∠NZS＝90°，∴∠ZNS＝∠ZSN＝45°，ZS＝ZN，∴∠MNQ1＝45°+∠Q1NZ，∴∠Q5NZ＝∠APD，∴，∴ZN＝3Q3Z，設(shè)，∴S（t，t+3），∴ZN＝ZS＝4﹣t，Q，Z＝QS﹣ZS＝﹣t2+2t+8﹣t﹣3﹣（2﹣t）＝﹣i6+2t，∴2﹣t＝2（﹣t