不等式塊

1.排序不等式（又稱(chēng)排序原理）

設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組64…4。”及仇^b2<---<b?.

則％濟(jì)+a2bl+-??+anb?（同序和）

2a/jt+a2bj2+?-?+anbJn（亂序和）

>a[bn+a2bn_{+---+allbl（逆序和）

其中九方，…，?/”是1，2，…，n的任一排歹U.當(dāng)且僅當(dāng)％=W="?=4或

bx=b2>..=2時(shí)等號(hào)（對(duì)任一排列力,，2,…,j“）成立.

2.應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”：

設(shè)有n個(gè)正數(shù)q,%的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是

此外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學(xué)及電路分析中要用到

n

*11

-------1----------F,??H--------

和平方平均（在統(tǒng)計(jì)學(xué)及誤差分析中用到）

Qn=這四個(gè)平均值有以下關(guān)系Hn<G?<A?<Q?.

3.應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)——幾何平均數(shù)不等式，可用來(lái)證明下述重要不等式.

柯西（Cavchy）不等式：設(shè)為、出、的，…，%是任意實(shí)數(shù)，則

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，=上《（左為常數(shù)，j=1,2,…，鹿）時(shí)成立.

4.利用排序不等式還可證明下述重要不等式.

切比雪夫不等式：若％<電<…仇4仇<…4包，

則3+通2+…+。也〉q+4+…+%.4+%+??,+〃,

nnn

例題講解

1.a,b,c>0,求證：ab(a+Z?)+bc(b+c)+ca(c+a)>baba

a+b+c

2.a,h,c>0,求證：aabhcc>(abc)3

7八+4T7+/rb+cc+a~

3.a,b,ceR,求證Q+〃+CK-------------H-----------------1---------------

2c2a2bbecaab

4.設(shè)q,%，…，〃〃eN”,且各不相同,

求證：1+W…+34+冬+冬+???+&?

23n12232/

5.利用基本不等式證明a1+Z?2+c2>ab+bc+ca.

6.已知。+〃=1,々,〃20,求證：a4.

8

7.利用排序不等式證明G,w4,

8.證明：對(duì)于任意正整數(shù)R,有(1+工)“<(1+」一)"”.

n〃+1

-111—

9.〃為正整數(shù)，證明:4(l+?)n-1J<!+-+-+?--+-<rt-(/?-l)nn-'.

23n

例題答案：

1.證明：:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+Q)-6abc

評(píng)述：(1)本題所證不等式為對(duì)稱(chēng)式(任意互換兩個(gè)字母，不等式不變)，在因式分解

或配方時(shí)，往往采用輪換技巧.再如證明22azJ+兒.+以時(shí)，可將/+從

-(H?+bc+ca)配方為』[(a-1)?+(Z?-c)2+(c—a)2],亦可利用a2+b2>2ab,

2

b2+c2>2hc,c2+a2>2ca,3式相加證明.(2)本題亦可連用兩次基本不等式

獲證.

2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.

不等式關(guān)于Q,4C對(duì)稱(chēng)，不妨QNC,貝布—〃/一C,Q—C￡/?+,且？,一，

bc

3都大于等于1.

C

評(píng)述：(1)證明對(duì)稱(chēng)不等式時(shí)，不妨假定〃個(gè)字母的大小順序，可方便解題.

(2)本題可作如下推廣若

（i\+a2+—4a”

q>0（i=1,2,貝（之（％。2…%）〃.

（3）本題還可用其他方法得證。因儲(chǔ)7/2。少"，同理Z/cCNW,c%"Nc、c,

另aabbcc>aabhcc,4式相乘即得證.

（4）設(shè)aZbNcNO,則IgaNlgbNlgc例3等價(jià)于alga+blgb之a(chǎn)lgb+blga,類(lèi)似例4

可證alga+bigb+cigc>a\gb+bigc+ciga>a\gc+b\gb+ciga事實(shí)上,一般地

有排序不等式（排序原理）：

設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組q<a2<-??<an,bx<b2<…<久，則a自+a2b2+…+a也（順

序和）

>a]bh+a2bh+…+a”如（亂序和）

N+。也…+4〃"（逆序和）

99a

其中力/，…，，〃是12…，幾的任一排列,當(dāng)且僅當(dāng)％=%-'~n或

4=b2=…=b〃時(shí)等號(hào)成立.

排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序

數(shù)組的積的形式.如

>a2b^-b2-c+c2—>df+Z?+c<=>--+/72-4-c2-->a2--+b2-4-c2--

bcabcaabc

3.思路分析：中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開(kāi)，再用排序不等式證明.

不妨設(shè)aNONc,則/NC2,J，N,之則/.[十〃.工十。？.J.（亂序和）

cbacab

>a2--+b2--+c2--（逆序和），同理/〃，+,2.J_（亂序和）

abccab

>a2--+b2--+c2--（逆序和）兩式相加再除以2,即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)

abc

組N03N,3及J_N_LNJ_,仿上可證第二個(gè)不等式

beacab

4.分析：不等式右邊各項(xiàng)今■=a「（；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.

設(shè)仇也，…,由是％,。2,…,4,的重新排列，滿(mǎn)足仇<仇<…<2，

所以a+烏+與+…+&LN/,+與+與+…+與.由于仇,…a是互不相同的正整

12232n12232/-

數(shù)，故仇22,…也,2幾從而々+%+&+…+”21+,+…+!，原式得證.

評(píng)述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2+b2>a-b+b-a,

5.思路分析：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱(chēng)性，可用輪塊的方

法.

a2+b2>2a上同理〃+c3>2bc,c2+a2>2ca；三式相加再除以2即得證.

評(píng)述：（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧.

222

如—+玉~4--1-%->Xj4-X2H----FXn?可在不等式兩邊同時(shí)加上

x2x3X]

尤2+工3+…++再?

再如證（a+1）（。+l）（a+（b+靖>25642b2c3（Q力,。>o）時(shí)，可連續(xù)使用基本不

等式.

（2）基本不等式有各種變式如（審）24月匕等,但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系

數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2,系數(shù)和為1.

6.思路分析：不等式左邊是a、〃的4次式，右邊為常數(shù),，如何也轉(zhuǎn)化為。、萬(wàn)的4次

8

式呢.

444

要證1+h之」,即證/+h>-（a+b）.

88

評(píng)述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知玉+々+工3=LW之°，求證：X\+X2

+石2：.右側(cè)的g可理解為g（X1+々+芻）3?再如已知玉+九2+工3=。，求證：X\X2+尤2%3

+尤3匹40,此處可以把0理解為3（玉+*2+工）2，當(dāng)然本題另有簡(jiǎn)使證法.

8

（2）基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.（一般地，對(duì)于〃個(gè)正數(shù)a”的，…%）

n

調(diào)和平均”“=-一?--------「

---1+…H---

Q]

幾何平均G”…3

算術(shù)平均A,=:+/+..?+”，，

n

Cl7+Q；+…+d~

J-——：----------

這四個(gè)平均值有以下關(guān)系：Hn<Gtt<An<Qn，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

a}=a2=???=〃”時(shí)成立.

7.證明:令々=今,（i=l,2,…,〃）則匕也…a=1，故可取玉,X,,…>0,使得

*=五力，=%,…=工由排序不等式有：

修WX,,X,

=—+—+??■+—（亂序和）

x2x3X[