三角形的證明試卷及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.在三角形ABC中，若∠A=60°，a=√3，則b=c，那么三角形ABC是（）。A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形答案：B2.在三角形ABC中，已知a=7，b=14，c=24，則三角形ABC是（）。A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能構成三角形答案：D3.在三角形ABC中，若b2=a2+c2-ac，則三角形ABC是（）。A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定答案：B4.在三角形ABC中，若∠A=2∠B，且a=2c，則三角形ABC是（）。A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形答案：C二、填空題（每題5分，共20分）5.在三角形ABC中，若∠A=90°，a=7，b=24，則c=______。答案：256.在三角形ABC中，若∠A=60°，b=4，c=6，則a=______。答案：2√77.在三角形ABC中，若a=5，b=7，c=8，則三角形ABC的面積為______。答案：128.在三角形ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，則∠C=______。答案：75°三、解答題（每題15分，共40分）9.在三角形ABC中，已知a=7，b=14，c=15，求證：三角形ABC是直角三角形。證明：根據勾股定理的逆定理，若a2+b2=c2，則三角形ABC是直角三角形。已知a=7，b=14，c=15，計算得：72+142=49+196=245152=225因為72+142≠152，所以三角形ABC不是直角三角形。10.在三角形ABC中，已知∠A=60°，a=√3，b=c，求證：三角形ABC是等邊三角形。證明：已知∠A=60°，a=√3，b=c。根據正弦定理，有：a/sinA=b/sinB=c/sinC將已知條件代入，得：√3/sin60°=b/sinB=c/sinC由于b=c，所以sinB=sinC。又因為∠A=60°，所以∠B+∠C=120°。由于sinB=sinC，且∠B和∠C都在0°到180°之間，所以∠B=∠C=60°。因此，三角形ABC的三個內角都是60°，所以三角形ABC是等邊三角形。11.在三角形ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求證：三角形ABC是銳角三角形。證明：已知a=5，b=7，c=8，計算得：a2+b2=52+72=25+49=74c2=82=64因為a2+b2>c2，所以三角形ABC是銳角三角形。12.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，求證：∠C=75°。證明：已知∠A=45°，∠B=60°，根據三角形內角和定理，有：∠A+∠B+∠C=180°代入已知條件，得：45°+60°+∠C=180°解得：∠C=75°四、綜合題（每題20分，共20分）13.在三角形ABC中，已知a=6，b=8，c=10，求三角形ABC的面積。解：根據海倫公式，三角形的面積S可以表示為：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p為半周長，即p=(a+b+c)/2。計算得：p=(6+8+10)/2=