PAGE1-§6正態(tài)分布A組1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是()A.f(x)=,μ和σ(σ>0)都是實(shí)數(shù)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=解析:依據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)=進(jìn)行推斷.答案:B2.設(shè)隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),則c=()A.1 B.2 C.3 D.4解析:因?yàn)棣蝵N(2,9),所以正態(tài)密度曲線關(guān)于x=2對稱,又概率表示它與x軸所圍成的面積,所以=2,所以c=2.答案:B3.聽從正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)變量X在區(qū)間(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為P1,P2,則()A.P1>P2 B.P1<P2C.P1=P2 D.不確定解析:∵X~N(0,1),∴正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱.∴隨機(jī)變量在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率相等,即P1=P2.答案:C4.已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ<0)=()A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.84解析:由ξ~N(2,σ2),可知正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=2,易知P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16.答案:A5.在正態(tài)分布N中,隨機(jī)變量在(-∞,-1)∪(1,+∞)內(nèi)的概率為()A.0.997 B.0.046C.0.03 D.0.003解析:∵μ=0,σ=,∴P(x<-1或x>1)=1-P(-1≤x≤1)=1-P(μ-3σ≤x≤μ+3σ)=1-0.997=0.003.答案:D6.在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為.

解析:∵ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2),∴ξ在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同,均為0.4.∴ξ在(0,2)內(nèi)取值概率為0.4+0.4=0.8.答案:0.87.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)是φμ,σ(x)=(x∈R),則E(2X-1)=.

解析:∵σ=2,μ=-2,∴EX=-2.∴E(2X-1)=2EX-1=2×(-2)-1=-5.答案:-58.在一次測試中,測量結(jié)果X聽從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2,求:(1)X在(0,4)內(nèi)取值的概率;(2)P(X>4).解(1)由X~N(2,σ2),得對稱軸為x=2,畫出示意圖,∵P(0<X<2)=P(2<X<4),∴P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=[1-P(0<X<4)]=×(1-0.4)=0.3.9.已知某地農(nóng)夫工年均收入ξ聽從正態(tài)分布,某密度函數(shù)圖像如圖所示.(1)寫出此地農(nóng)夫工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式;(2)求此地農(nóng)夫工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)百分比.解設(shè)農(nóng)夫工年均收入ξ~N(μ,σ2),結(jié)合圖像可知μ=8000,σ=500.(1)此地農(nóng)夫工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式為P(x)=,x∈(-∞,+∞).(2)∵P(7500<ξ≤8500)=P(8000-500<ξ≤8000+500)=0.683,∴P(8000<ξ≤8500)=P(7500<ξ≤8500)=0.3415.∴此地農(nóng)夫工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)百分比為34.15%.B組1.設(shè)隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N,集合A={x|x>X},集合B=,則A?B的概率為()A. B. C. D.解析:由A?B得X≥.∵μ=,∴P.答案:C2.關(guān)于正態(tài)曲線的性質(zhì):①曲線關(guān)于直線x=μ對稱,并且曲線在x軸上方;②曲線關(guān)于y軸對稱,且曲線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是;③曲線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是,且曲線無最低點(diǎn);④σ越大,曲線越“高瘦”;σ越小,曲線越“矮胖”.其中正確的是()A.①② B.②③ C.④③ D.①③答案:D3.(2024·武漢市重點(diǎn)中學(xué)高二期末聯(lián)考)隨機(jī)變量ξ~N(2,10),若ξ落在區(qū)間(-∞,k)和(k,+∞)的概率相等,則k等于()A.1 B.10 C.2 D.解析:∵區(qū)間(-∞,k)和(k,+∞)關(guān)于x=k對稱,∴x=k為正態(tài)曲線的對稱軸,∴k=2,故選C.答案:C4.某市組織一次高三調(diào)研考試,考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布,其密度函數(shù)為f(x)=(x∈R),則下列命題不正確的是()A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成果為80分B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成果方差為100解析:因?yàn)棣?80,σ=10,所以A,D正確,依據(jù)3σ原則知C正確.答案:B5.已知X~N(0,1),則X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率為.

解析:因?yàn)閄~N(0,1),所以X在區(qū)間(-∞,-2)和(2,+∞)內(nèi)取值的概率相等.又知X在(-2,2)內(nèi)取值的概率是0.954,所以X在(-∞,-2)內(nèi)取值的概率為=0.023.答案:0.0236.已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),且P(ξ<1)=,P(ξ>2)=0.4,則P(0<ξ<1)=.

解析:由P(ξ<1)=得μ=1,所以隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2),所以曲線關(guān)于x=1對稱.因?yàn)镻(ξ<2)=0.6,所以P(0<ξ<1)=0.6-0.5=0.1.答案:0.17.導(dǎo)學(xué)號(hào)43944046假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是聽從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.(1)求p0的值;(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997)(2)某客運(yùn)公司用A,B兩種型號(hào)的車輛擔(dān)當(dāng)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù),每車每天來回一次.A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì),并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小,那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛?解(1)由于隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.954.由正態(tài)分布的對稱性,可得p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=P(700<X≤900)=0.977.(2)設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x,y,則相應(yīng)的營運(yùn)成本為(1600x+2400y)元.依題意,x,y還需滿意:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0.由(1)知,p0=P(X≤900),故P(X≤36x+60y)≥p0等價(jià)于36x+60y≥900.于是原問題等價(jià)于求滿意約束條件且使目標(biāo)函數(shù)z=1600x+2400y達(dá)到最小的x,y.作可行域如圖所示,可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由圖可知,當(dāng)直線z=1600x+2400y經(jīng)過可行域的點(diǎn)P時(shí),直線z=1600x+2400y在y軸上截距最小,即z取得最小值.故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛.8.導(dǎo)學(xué)號(hào)43944047為了解一種植物的生長狀況,抽取一批該植物樣本測量高度(單位:cm),其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求該植物樣本高度的平均數(shù)和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)假設(shè)該植物的高度Z聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2,利用該正態(tài)分布求P(64.5<Z<96).附:≈10.5,若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954.解(1)=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75,s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110.(2)