小專題02：全等模型、中點(diǎn)的巧用考點(diǎn)1：全等模型題型一：平移型例1．已知：如圖，，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（1）求證：；（2）求證：．【練習(xí)1】如圖，已知點(diǎn)、、、在同一直線上，，，，試說明與平行的理由．解：因?yàn)椋ㄒ阎裕驗(yàn)椋ㄒ阎裕矗诤椭校裕裕裕}型二：對(duì)稱型例2．在①，②這兩個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，請(qǐng)完成問題的解答．問題：如圖，中，，點(diǎn)，在邊上（不與點(diǎn)，重合）連結(jié)，．若，求證：．【練習(xí)2】如圖，以的兩邊，為邊分別向外作和，使得，，．（1）求證：．（2）若，，求的度數(shù)．題型三：旋轉(zhuǎn)型例3．（1）如（圖一），分別以的兩邊、為直角邊向外作兩個(gè)等腰直角三角形，，，，連接、交于點(diǎn)．①求證：；②當(dāng)和滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，并說明理由；（2）運(yùn)用（1）解答中獲取的經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如（圖二），為了測(cè)量一狹長(zhǎng)水庫兩端、的距離，小王在水庫旁邊的空地上選擇點(diǎn)，能直達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)，并以為斜邊在內(nèi)作，且，連接：測(cè)得，千米，千米，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量結(jié)果直接寫出之長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．【練習(xí)3】如圖，，，，點(diǎn)在邊上．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．題型四：“一線三角”型例4．在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，，，在直線上方有，且滿足．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn)，且，分別連接，，，，試判斷的形狀，并說明理由．【練習(xí)4】如圖，，，，，垂足分別為，．（1）求證：；（2）若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．考點(diǎn)2：中點(diǎn)的使用技巧題型一：倍長(zhǎng)中線例5．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長(zhǎng)至，使，是邊上的中線在和中（依據(jù)一）在中，（依據(jù)二）．任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)；依據(jù)．歸納總結(jié)：上述方法是通過延長(zhǎng)中線，使，構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將，，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，是邊上的中線，，，則的取值范圍是；任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以和為邊作等腰直角三角形，在中，，；中，，．連接．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【練習(xí)5】如圖，是的中線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，求證：．題型二：作垂線法例6．已知，如圖：是的中線，，，，，連接．試猜想線段與的關(guān)系，并證明．【練習(xí)6】如圖，，且，且，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．1．如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，，寫出與之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．如圖，，，．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．3．如圖，，，，于，，，求的長(zhǎng)．4．如圖，在一個(gè)風(fēng)箏中，，，分別在、的中點(diǎn)、處掛兩根彩線、．求證：．5．如圖，在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，若，，求的長(zhǎng)．6．如圖，是的中線，，，，．求證：．7．如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．求證：．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形